中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問(wèn)題第15節(jié)  矩形的存在性 方法點(diǎn)撥矩形ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則O的坐標(biāo)為（）或者（）解題方法：（在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線相等）（1）選一定點(diǎn)，再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線作為對(duì)角線，分類討論；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程：；（3）對(duì)角線相等：             例題演練1．如圖，在平面，在平面直角坐標(biāo)系中，地物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PB，PC，以PB，PC為鄰邊作平行四邊形CPBD，求四邊形CPBD面積的最大值；（3）將該拋物線沿射線CB方向平移個(gè)單位，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)M為直線BC上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)C，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．           2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，連接AD，點(diǎn)P為AD上方拋物線上一點(diǎn)，連接PA，PD，請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將原拋物線y＝ax2+bx+4沿x軸負(fù)半軸方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)M．點(diǎn)N是原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由              3．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．﹣1，3是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的兩個(gè)根．（1）求該拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D，AD與y軸交于點(diǎn)E，P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA交BC于點(diǎn)F，求S△PEF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)N，是否存在以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是以PA為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．             4．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，1），（﹣9，10），AC∥x軸．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB交于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，將該拋物線平移至其頂點(diǎn)與A′重合，得到一條新拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)D，但以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．             5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)B、D的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P在直線BD下方拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)B、D），記△PCB的面積為S1，記△PDB的面積為S2，求2S1﹣S2的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將該拋物線沿直線DB平移，設(shè)平移后的新拋物線的頂點(diǎn)為D'（D'與D不重合），新拋物線與直線DB的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)C、D'、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．             6．如圖，直線y＝﹣2x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5，3），拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（6，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，連接BD，AD，CD，動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段CA上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PQ交線段AD于點(diǎn)H．①當(dāng)∠DPH＝∠CAD時(shí)，求t的值；②過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BD，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BD交線段AB或AD于點(diǎn)N．在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)P，N，H，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．           7．已知，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）如圖1，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作DP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)P作PE⊥x軸，垂足為E，交BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥PE，交DP于G，連接CG，OG，求陰影部分面積S的最大值和D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖3，將拋物線沿射線AC方向移動(dòng)個(gè)單位得到新的拋物線y'＝ax2+bx+c（a≠0），是否在新拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CB為邊的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．           8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣3，0）、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)C（﹣1，﹣2），連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作∠ABC的角平分線BE，交對(duì)稱軸于交點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)F是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)和點(diǎn)B重合，連接DF，將△BDF沿DF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B1，△DFB1與△BDC的重疊部分為△DFG，請(qǐng)?zhí)骄浚谧鴺?biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使以點(diǎn)D、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．          9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x軸于A（﹣1，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線解析式；（2）點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接PB，過(guò)C作CQ∥BP交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，得到新拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在平面內(nèi)一點(diǎn)F，使得A，P，E，F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．             10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，直線PC與x軸交于點(diǎn)Q．使得PQ＝CQ．求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A，C，M，N為頂點(diǎn)的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．              11．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（﹣5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，若點(diǎn)P為拋物線上位于第二象限內(nèi)且在對(duì)稱軸左側(cè)的一點(diǎn)，連接PD、PB，求四邊形DHBP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)B、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．            12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB相交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y＝﹣x﹣6交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，是否存在點(diǎn)E，以A，E，F，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 

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