高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修第四冊(cè)第十一章立體幾何初步11.1 空間幾何體11.1.5 旋轉(zhuǎn)體教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

11.1.5　旋轉(zhuǎn)體學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義．(重點(diǎn))2.掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))3.能夠根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征識(shí)別和區(qū)分幾何體．(難點(diǎn))4.會(huì)作旋轉(zhuǎn)體的軸截面，并利用軸截面解決問(wèn)題．(難點(diǎn))1.通過(guò)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2.借助旋轉(zhuǎn)體的軸截面的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)　從我們常見(jiàn)的一些物體中可以抽象出圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球．思考：你能總結(jié)出形成圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的方式嗎？　1．圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸高：在軸上的邊(或它的長(zhǎng)度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸高：在軸上的邊(或它的長(zhǎng)度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊3.圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸高：在軸上的邊(或它的長(zhǎng)度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊4.軸截面在旋轉(zhuǎn)體中，通過(guò)軸的平面所得到的截面通常簡(jiǎn)稱為軸截面，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形．[拓展](1)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面都是矩形；過(guò)圓錐任意兩條母線的截面都是等腰三角形；過(guò)圓臺(tái)任意兩條母線的截面都是等腰梯形．(2)過(guò)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的兩母線的截面中，軸截面的面積最大．5．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積(1)旋轉(zhuǎn)體側(cè)面的面積稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，側(cè)面積與底面積之和稱為旋轉(zhuǎn)體的表面積(或全面積)．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式幾何體側(cè)面展開(kāi)圖表面積公式圓柱S圓柱＝2πr(r＋l)，r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)圓錐S圓錐＝πr(r＋l)，r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)圓臺(tái)＋r′l＋rl)，r′為上底面半徑，r為下底面半徑，l為母線長(zhǎng)6.球的結(jié)構(gòu)特征球面及球的定義　球面可以看成一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面；球面圍成的幾何體，稱為球．球面也可以看成：空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合圖示及相關(guān)概念球心：形成球面的半圓的圓心半徑：連接球面上一點(diǎn)和球心的線段直徑：連接球面上兩點(diǎn)且通過(guò)球心的線段大圓與小圓：球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱為球的小圓7.球的表面積S＝4πR2(R為球的半徑)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是圓柱． (　　)(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)． (　　)(3)用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)． (　　)[提示]　(1)正確；(2)錯(cuò)誤，應(yīng)以直角梯形的垂直于底邊的腰為軸；(3)錯(cuò)誤，應(yīng)是平面與圓錐底面平行．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．圓錐的母線長(zhǎng)為10，底面半徑為6，則其高等于(　　)A．6　　 B．8　　　　C．10　　　D．不確定B　[由圓錐的軸截面可知，圓錐的母線、底面半徑與高構(gòu)成直角三角形，所以其高為＝8.]3．矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2，分別以這兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，所形成幾何體的側(cè)面積之比為(　　)A．1∶2　　 B．1∶1C．1∶4 D．1∶3B　[以邊長(zhǎng)為1的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S1＝2π×2×1＝4π，以邊長(zhǎng)為2的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，選B．]4．有下列說(shuō)法：①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間的連線；③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的是一個(gè)圓．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是________．①　[利用球的結(jié)構(gòu)特征判斷：①正確；②不正確，因?yàn)橹睆奖剡^(guò)球心；③不正確，因?yàn)榈玫降氖且粋€(gè)圓面．]合作探究旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】　下列命題中正確的是________(填序號(hào))．①以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將等腰三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；⑤半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；⑥用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．④⑤⑥　[①以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體才是圓錐，①錯(cuò)誤；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，②錯(cuò)誤；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，③錯(cuò)誤；④⑤⑥正確．]識(shí)別簡(jiǎn)單幾何體的方法若題中幾何體由幾個(gè)面圍成，且有面面平行或各面有公共頂點(diǎn)，則從棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念入手；若題中幾何體由某平面圖形繞定直線旋轉(zhuǎn)形成，則從圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的概念入手．1．(多選題)下列命題中正確的是(　　)A．圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)D．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線AC　[A正確．B錯(cuò)誤，沒(méi)有說(shuō)明這兩個(gè)平行截面與底面的位置關(guān)系，當(dāng)這兩個(gè)平行截面與底面平行時(shí)正確，其他情況則是錯(cuò)誤的．C正確．D錯(cuò)誤，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線．故選AC．]簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征【例2】　一直角梯形ABCD如圖所示，分別以AB，BC，CD，DA為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的大致形狀．[思路探究]　平面圖形旋轉(zhuǎn)?旋轉(zhuǎn)體的概念及結(jié)構(gòu)特征．[解]　以AB為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓臺(tái)；以BC為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓柱和圓錐的組合體；以CD為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓臺(tái)，下底挖去一個(gè)小圓錐，上底增加一個(gè)較大的圓錐；以AD為軸旋轉(zhuǎn)可得一個(gè)圓柱，上面挖去一個(gè)圓錐，如圖所示．旋轉(zhuǎn)體的形狀判斷技巧(1)判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的關(guān)鍵是軸的確定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得，同一個(gè)平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的．(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡，應(yīng)利用空間想象能力，或親自動(dòng)手做出平面圖形的模型來(lái)分析旋轉(zhuǎn)體的形狀．2．描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．[解]　圖①所示的幾何體是由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；圖②所示的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐得到的組合體；圖③所示的幾何體是在一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)三棱柱后得到的組合體.旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算[探究問(wèn)題]1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)平行于底面的截面是什么樣的圖形？[提示]　圓面．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)過(guò)軸的截面是什么樣的圖形？[提示]　分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的任意兩條母線作截面，截面是什么圖形？[提示]　因?yàn)閳A臺(tái)可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以任意兩條母線長(zhǎng)度均相等，且延長(zhǎng)后相交，故經(jīng)過(guò)這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形．【例3】　一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2，求圓臺(tái)的高．[思路探究]　作出圓臺(tái)的軸截面，是一個(gè)等腰梯形．[解]　圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由題意知，腰長(zhǎng)為12 cm，所以高AM＝＝3(cm)．將本例中圓臺(tái)還原為圓錐后，求圓錐的母線長(zhǎng)．[解]　如圖所示，延長(zhǎng)BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm.即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm.與圓錐有關(guān)的截面問(wèn)題的解決策略求解有關(guān)圓錐的基本量的問(wèn)題時(shí)，一般先畫出圓錐的軸截面，得到一等腰三角形，進(jìn)而可得到直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)直角三角形的問(wèn)題進(jìn)行求解．通常在求圓錐的高、母線長(zhǎng)、底面圓的半徑長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí)，都是通過(guò)取其軸截面，化歸求解．巧妙之處就是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決．3．如圖，在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的底面半徑．[解]　設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似，得＝，即1－＝，解得r＝1.即圓柱的底面半徑為1.與球有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例4】　在球內(nèi)有相距9 cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49π cm2 ,400 π cm2，求此球的半徑．[解]　設(shè)球的半徑為R cm，兩截面圓的半徑分別為r cm，r1 cm(r1＜r)，由πr＝49 π，得r1＝7，由πr2＝400π，得r＝20.若兩截面位于球心的同側(cè)，如圖①，C，C1分別是兩平行截面的圓心，在Rt△OBC1中，OC1＝＝(cm)，在Rt△OAC中，OC＝＝(cm)，由題意知OC1－OC＝9 cm，即－＝9，解得R＝25.①　　　　　　　②若兩截面位于球心兩側(cè)，如圖②，OC1＝ cm，OC＝ cm，由題意知OC1＋OC＝9 cm，即＋＝9，＝9－，兩邊平方得＝－15，此方程無(wú)解，說(shuō)明第二種情況不存在．綜上所述，此球的半徑為25 cm.球的截面問(wèn)題的解題思路一般情況下，在球的截面問(wèn)題中，截面圓的半徑(r)、球心到截面的距離(d)、球的半徑(R)之間的數(shù)量關(guān)系(r2＋d2＝R2)是解決與之有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的基礎(chǔ)，而球的軸截面(過(guò)球的直徑的截面)是將球的問(wèn)題(立體問(wèn)題)轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題(平面問(wèn)題)的關(guān)鍵，因此在解決球的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們必須抓住球的軸截面，并充分利用它來(lái)分析、解決問(wèn)題．4．如圖所示，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為(　　)A．24π　　 B．28πC．32π D．36πC　[由題意知球的半徑R＝4，所以球的表面積為4πR2＝64π.設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r2＋＝42，得4r2＋h2＝64，即h2＝64－4r2，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π＝2π＝4π＝4π(0＜r＜4)，所以當(dāng)r2＝8，即r＝2時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為32π.此時(shí)球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差是64π－32π＝32π.]課堂小結(jié)知識(shí)：1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示．2．球面、球體的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系球面球的表面是球面，球面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面球面是球體的表面球體球體是幾何體，包括球面及所圍的空間部分方法：1．處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想．2．處理組合體問(wèn)題常采用分割思想．3．重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面和球大圓、球小圓在解決幾何量中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間問(wèn)題平面化的思想．1．旋轉(zhuǎn)后形成如圖所示的幾何體的平面圖形是(　　)A　　　　B　　　　C　　　DA　[觀察幾何體的軸截面知，A正確．]2．正方形繞其一條對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是(　　)A．圓柱　　　　 B．圓錐C．圓臺(tái) D．兩個(gè)圓錐D　[連接正方形的兩條對(duì)角線知對(duì)角線互相垂直，故繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)圓錐．]3．關(guān)于圓臺(tái)，下列說(shuō)法正確的是________．①兩個(gè)底面平行且全等；②圓臺(tái)的母線有無(wú)數(shù)條；③圓臺(tái)的母線長(zhǎng)大于高；④兩底面圓心的連線是高．②③④　[圓臺(tái)的上底面和下底面是兩個(gè)大小不同的圓面，則①不正確，②③④正確．]4．一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為________cm.10　[如圖是圓錐的軸截面，則SA＝20 cm，∠ASO＝30°，∴AO＝10 cm，SO＝10 cm.]5．已知一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)正方形且其面積是Q，求此圓柱的底面半徑．[解]　設(shè)圓柱底面半徑為r，母線為l，則由題意得解得r＝.所以此圓柱的底面半徑為.

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