高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修第二冊3.1 二倍角公式第1課時學(xué)案設(shè)計(jì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

§3　二倍角的三角函數(shù)公式第1課時　二倍角公式學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(難點(diǎn))2．能熟練運(yùn)用二倍角的公式進(jìn)行簡單的恒等變換并能靈活地將公式變形運(yùn)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過對二倍角公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2. 通過利用二倍角公式求值、化簡和證明，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α)tan 2α＝. (T2α)2．二倍角公式的變形(1)公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos2α－sin2α＝cos_2α，＝tan 2α.(2)二倍角公式的重要變形——升冪公式和降冪公式升冪公式1＋cos 2α＝2cos2_α，1－cos 2α＝2sin2_α，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2 .降冪公式cos2α＝，sin2α＝.思考：1.什么情況下sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α？提示：一般情況下，sin 2α≠2sin α，例如sin≠2sin，只有當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時，sin 2α＝2sin α才成立．只有當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時，tan 2α＝2tan α成立．2．sin 3α用二倍角公式展開是什么？提示：sin 3α＝2sincos.1．已知sin α＝，cos α＝，則sin 2α等于(　　)A． B．C． D．D　[sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.]2．計(jì)算cos215°－sin215°結(jié)果等于(　　)A． B．C． D．D　[cos215°－sin215°＝cos 30°＝.]3．已知α為第三象限角，cos α＝－，則tan 2α＝________.－　[因?yàn)?/span>α為第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－，所以tan α＝，所以tan 2α＝＝－.]給角求值問題【例1】　求下列各式的值：(1)sincos；(2)1－2sin2750°；(3)；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.[解]　 (1)原式＝＝＝.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.(4)原式＝＝＝＝＝.此類題型(1)(2)(3)小題直接利用公式或逆用公式較為簡單．而(4)小題通過觀察角度的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得問題中可連用正弦二倍角公式，所以在解題過程中要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及角之間是否存在特殊的倍數(shù)關(guān)系，靈活運(yùn)用公式及其變形，從而使問題迎刃而解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求下列各式的值．(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos2－1；(4).[解]　(1)∵sin ＝sin＝cos ，∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos＝sin＝.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.(3)2cos2－1＝cos＝－.(4)＝＝tan 60°＝.三角函數(shù)式的化簡【例2】　化簡：.[解]　法一：原式＝＝＝＝＝1.法二：原式＝＝＝＝＝1.(1)對于三角函數(shù)式的化簡有下列要求：①能求出值的應(yīng)求出值．②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少．③使三角函數(shù)式中的項(xiàng)數(shù)盡量少．④盡量使分母不含有三角函數(shù)．⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．(2)化簡的方法：①弦切互化，異名化同名，異角化同角．②降冪或升冪．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．化簡下列各式：(1)若＜α＜，則＝________；(2)若α為第三象限角，則－＝________.(1)sin α－cos α　(2)0　[(1)∵α∈，∴sin α＞cos α，∴＝＝＝＝sin α－cos α.(2)∵α為第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，∴－＝－＝－＝0.]條件求值問題[探究問題]1．對于條件求值問題，要從哪幾個方面觀察條件和所求之間的聯(lián)系？提示：從函數(shù)名和角兩個方面來觀察條件和所求之間的聯(lián)系．2. 條件求值問題有哪兩種解題途徑？提示：①對題設(shè)條件變形，把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏．②對結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論．【例3】　已知cos＝，≤α<，求cos的值．[解]　∵≤α<，∴≤α＋<.∵cos>0，∴<α＋<.∴sin＝－＝－＝－.∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝.∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－.1．例3的條件不變，求的值．[解]　原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos＝.2. 例3的條件變?yōu)椋喝?/span>x∈，sin＝，求sin的值．[解]　由sin＝，得sin xcos －cos xsin ＝，兩邊平方，得sin2x＋－sin 2x＝，∴·＋－sin 2x＝，即sin 2x·＋cos 2x·＝，∴sin＝.解決給值求值問題的方法給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個觀察方向：(1)有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；(2)尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系．1．對于“二倍角”應(yīng)該有廣義上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N＋)．2．二倍角余弦公式的運(yùn)用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應(yīng)用廣泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝.1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)sin α＝2sin cos ． (　　)(2)cos 4α＝cos22α－sin22α． (　　)(3)對任意角α，tan 2α＝． (　　)(4)cos2α＝． (　　)[提示]　(1)正確；(2)正確．(3)錯誤，公式中所含各角應(yīng)使三角函數(shù)有意義．如α＝及α＝，上式均無意義．(4)錯誤，cos2α＝.[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×2. sin cos 的值等于(　　)A．　　　　　 B．C． D．B　[原式＝sin ＝.]3．若sin＝，則cos α＝(　　)A．－ B．－C． D．C　[因?yàn)?/span>sin＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.]4．已知α為第二象限角，且sin α＝，求的值．[解]　原式＝＝.∵α為第二象限角，且sin α＝，∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－，∴原式＝＝－.