3.1　二倍角公式
課標(biāo)闡釋
1.掌握二倍角公式及其推導(dǎo)過程.(邏輯推理)2.靈活運(yùn)用二倍角公式與和角、差角公式解決求值、化簡(jiǎn)和證明問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.體會(huì)二倍角公式與和角、差角公式的內(nèi)在聯(lián)系.(數(shù)學(xué)抽象)4.能綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式解決綜合問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
思維脈絡(luò)
激趣誘思
知識(shí)點(diǎn)撥
我們學(xué)過的和角公式中α與β的取值范圍是什么?如果α=β,這些公式還成立嗎?如果成立,這些公式是什么樣子呢?請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍约和茖?dǎo)一下.
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知識(shí)點(diǎn)撥
二倍角的正弦、余弦和正切公式1.sin 2α=2sin αcos α.(S2α)2.cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(C2α)
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知識(shí)點(diǎn)撥
微練習(xí)1對(duì)任意角α,下列各式中,不一定成立的是(　　)A.sin 8α=2sin 4αcos 4αB.1-cos 2α=2sin2αC.(sin α+cos α)2=1+sin 2α答案D
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知識(shí)點(diǎn)撥
微練習(xí)2化簡(jiǎn)或求值:(1)cos215°-sin215°=　　　　　　;?
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
利用二倍角公式解決給角求值問題例1求下列各式的值:
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
反思感悟 對(duì)于給角求值問題,一般有兩類(1)直接正用或逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
利用二倍角公式解決條件求值問題
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
反思感悟 解決條件求值問題的方法給值求值問題,注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系,有兩個(gè)觀察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn),使關(guān)系明朗化;(2)尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
利用二倍角公式解決化簡(jiǎn)與證明問題例3(1)化簡(jiǎn):cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
反思感悟 1.對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),要注意以下兩點(diǎn):(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)有四個(gè)方向,即分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析,消除差異.(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),主要有以下幾類:①對(duì)三角的和式,基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式;②對(duì)三角的分式,基本思路是分子與分母的約分和逆用公式,最終變成整式或數(shù)值;③對(duì)二次根式,則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式.在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想,是一個(gè)“化異為同”的過程,涉及切弦互化,即“函數(shù)名”的“化同”;角的變換,即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段.
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
2.對(duì)于無條件的恒等式證明,常采用的方法有化繁為簡(jiǎn)和左右歸一,關(guān)鍵是分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)、角度和函數(shù)關(guān)系,找出差異,尋找突破口;有條件的等式證明,常先觀察條件及式中左右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系.另外,需注意二倍角公式本身是“升冪公式”,其變形是“降冪公式”,在證明中應(yīng)靈活選擇.
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
倍角公式在三角函數(shù)中的運(yùn)用
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
反思感悟 要研究三角函數(shù)的周期性、單調(diào)區(qū)間、值域等性質(zhì),就必須要把函數(shù)解析式化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,因此,化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是研究性質(zhì)的前提.而化簡(jiǎn)解析式時(shí),需要用到各種三角函數(shù)公式,例如,同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式,特別是當(dāng)解析式的次數(shù)不是1時(shí),經(jīng)常用倍角公式及其變形進(jìn)行降冪,然后用其他相關(guān)公式化簡(jiǎn).
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
當(dāng)堂檢測(cè)

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3.1 二倍角公式

版本： 北師大版 (2019)

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