熟練掌握對頂角，余角，補角，鄰補角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；
2. 區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運用；
3. 了解尺規(guī)作圖的概念，熟練掌握用尺規(guī)作角或線段的方法.
【知識網(wǎng)絡(luò)】
【要點梳理】
要點一、兩條直線的位置關(guān)系
1.同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系：相交與平行.
要點詮釋：
（1）只有一個公共點的兩條直線叫做相交直線，這個公共點叫做交點.
（2）在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“∥”表示.
2.對頂角、補角、余角
（1）定義：
①由兩條直線相交構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角.
②如果兩個角的和是180°，那么這兩個角互為補角，簡稱互補，其中一個角叫做另一個角的補角．類似地，如果兩個角的和是90°，那么這兩個角互為余角．簡稱互余，其中一個角叫做另一個角的余角．
（2）性質(zhì)：同角或等角的余角相等．同角或等角的補角相等．對頂角相等．
3.垂線
（1）垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足．垂直用符號“⊥”表示，如下圖．
（2）垂線的性質(zhì)：
①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
②垂線段最短．
（3）點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
要點二、平行線的判定與性質(zhì)
1．平行線的判定
判定方法1：同位角相等，兩直線平行．
判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．
要點詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：
（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行.
（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.
（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.
（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
2．平行線的性質(zhì)
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.
要點詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：
（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點．
（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．
3．兩條平行線間的距離
如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.
要點詮釋：
（1）兩條平行線之間的距離處處相等.
（2）初中階級學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點間的距離、點到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點在于都是線段的長度,它們的區(qū)別是兩點間的距離是連接這兩點的線段的長度,點到直線距離是直線外一點引已知直線的垂線段的長度, 平行線間的距離是一條直線上的一點到與之平行的另一直線的距離.
（3）如何理解 “垂線段”與 “距離”的關(guān)系：垂線段是一個圖形，距離是線段的長度，是一個量，它們之間不能等同.
要點三、用尺規(guī)作線段和角
1.用尺規(guī)作線段
（1）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段.
（2）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的倍數(shù).
（3）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的和.
（4）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的差.
2.用尺規(guī)作角
（1）用尺規(guī)作一個角等于已知角.
（2）用尺規(guī)作一個角等于已知角的倍數(shù).
（3）用尺規(guī)作一個角等于已知角的和.
（4）用尺規(guī)作一個角等于已知角的差.
【典型例題】
類型一、兩條直線的位置關(guān)系
1. (1)如圖（1）已知直線AB，CD相交于點0．
(2)如圖（2）已知直線AE，BD相交于點C．
分別指出兩圖中哪些角是鄰補角? 哪些角是對頂角?

【答案與解析】
解： (1)鄰補角是∠DOA與∠AOC，∠AOE與∠EOB，∠BOC與∠COA，∠COE與∠DOE，∠DOA與∠DOB，∠DOB與∠BOC；對頂角是∠AOD與∠COB，∠AOC與∠DOB.
(2)鄰補角是∠ACB與∠ACD，∠ECD與∠DCA，∠DCE與∠ECB，∠ECB與∠ACB；對頂角是∠ACB與∠DCE，∠BCE與∠ACD．
【總結(jié)升華】當(dāng)需要寫出的角較多時，寫完后再計算一下個數(shù)，可以檢驗是否寫全.
2.直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB于點O，∠COE＝40°，求∠BOD的度數(shù).
【答案與解析】
解：分兩種情況.
第一種：如圖1，直線AB，CD相交后，∠BOD是銳角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°.
∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°
第二種：如圖2，直線AB、CD相交后，∠BOD是鈍角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°.
∵∠COE＝40°,
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°.
【總計升華】本題屬于無圖題，首先應(yīng)根據(jù)題意，畫出圖形，畫圖時要考慮兩種情況：一種情況為∠BOD是銳角，第二種情況是∠BOD是鈍角.此外關(guān)于兩條直線相交，應(yīng)想到鄰補角、對頂角的定義及性質(zhì).
舉一反三：
【變式】如圖所示，O是直線AB上一點，射線OC、OD在AB的兩側(cè)，且∠AOC＝∠BOD，試證明∠AOC與∠BOD是對頂角．
【答案】
證明：因為∠AOC+∠COB＝180°(平角定義)，
又因為∠AOC＝∠BOD(已知)，
所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．
所以C、O、D三點在一條直線上(平角定義)，
即直線AB、CD相交于點O，
所以∠AOC與∠BOD是對頂角(對頂角定義)．
提示：證三點共線的方法，通常采用證這三點組成的角為平角，即∠COD＝180°．
類型二、平行線的性質(zhì)與判定
3.如圖所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，試說明BE⊥DE．
【思路點撥】這是初學(xué)幾何時較為復(fù)雜的題目，通常是過“拐點”(拐角處的頂點)作平行線為輔助線，把一個大角分成兩個角，分別與兩個已知角建立起了聯(lián)系．
【答案與解析】
解：過E點作EF∥AB，
因為AB∥CD(已知)，
所以EF∥CD．
所以∠4＝∠D(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．
又因為∠D＝∠2(已知)，
所以∠4＝∠2(等量代換)．
同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．
因為∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定義)，
所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
即∠BED＝90°．故BE⊥DE．
【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是如何構(gòu)造平行關(guān)系，即過哪一點作哪條直線的平行線，只有通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能逐步達(dá)到熟練解題的目的．
舉一反三：
【變式1】已知直線AB∥CD，當(dāng)點E在直線AB與CD之間時，有∠BED＝
∠ABE+∠CDE成立；而當(dāng)點E在直線AB與CD之外時，下列關(guān)系式成立的是( ).
A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDE
B．∠BED＝∠ABE-∠CDE
C．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDE
D．∠BED＝∠CDE-∠ABE
【答案】C （提示：過點E作EF∥AB）
【變式2】如圖，兩直線AB、CD平行，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ .
【答案】900°
4.如圖，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求證：AB∥GF.
【答案與解析】
證明：如圖，過點C做CK∥FG，并延長GF、CD交于點H，
∵ CD∥EF （已知），
∴ ∠CHG＝∠1(兩直線平行，同位角相等）.
又∵ CK∥FG，
∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.
∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代換）.
∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知），
∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代換）.
∴ CK∥AB（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.
∴ AB∥GF（平行的傳遞性）.
【總結(jié)升華】反復(fù)應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)，見到角相等或互補，就應(yīng)該想到判斷直線是否平行，見到直線平行就應(yīng)聯(lián)想到角相等或互補.
類型三、用尺規(guī)作線段和角
5. A
B
E
D
C
已知：如圖，AB//CD，BC//DE，∠B＝70°，
（1）求∠D的度數(shù).
（2）用尺規(guī)在圖上作一個∠，使∠=∠D—∠B（不寫作法，保留痕跡）.
【思路點撥】
（1）根據(jù)作一個角等于已知角的方法即可作出；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
【答案與解析】
解：（1）∵AB//CD，BC//DE，
∴ ∠C＝∠B＝70°，∠D＝180°－∠C＝180°－70°＝110°.
（2）作法如圖：
【總結(jié)升華】本題考查了基本作圖：作一個角等于已知角的差，以及平行線的性質(zhì)定理，正確掌握基本作圖是關(guān)鍵．
類型四、實際應(yīng)用
6.手工制作課上，老師先將一張長方形紙片折疊成如圖所示的那樣，若折痕與一條邊BC的夾角∠EFB＝30°，你能說出∠EGF的度數(shù)嗎？
【思路點撥】長方形的對邊是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因為折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，所以∠EGC＝180°－∠DEG，問題可解.
【答案與解析】
解：因為AD∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠EFG＝30°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.
因為∠GEF＝∠DEF＝30°（對折后重合部分相等），
所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.
所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.
【總結(jié)升華】本題利用了：（1）折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；（2）平行線的性質(zhì)．
舉一反三：
【變式】ADDIN CNKISM.UserStyle《相交線與平行線》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）鞏固練習(xí)
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題
1．(濟南)已知，如圖所示，AB⊥CD，垂足為O，EF為過點O的一條直線，則∠1與∠2的關(guān)系一定成立的是( ).
A．相等 B．互余 C．互補 D．互為對頂角
2．一學(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是( ) .
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°.
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°.
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°.
D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°.
3．已知：如圖，AB∥DE，∠E＝65°，則∠B+∠C的度數(shù)是( ) .

A．135° B．115° C．65° D．35°
4．兩條平行直線被第三條直線所截時，產(chǎn)生的八個角中，角平分線互相平行的兩個角是（ ）.
A．同位角 B．同旁內(nèi)角 C．內(nèi)錯角 D. 同位角或內(nèi)錯角
5. 如圖所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，則∠2＝（ ）．
A．30° B. 40° C. 50° D. 60°
6. 如圖，已知∠A＝∠C，如果要判斷AB∥CD，則需要補充的條件是（ ）．
A．∠ABD＝∠CEF B．∠CED＝∠ADB
A
B
C
D
E
C．∠CDB＝∠CEF D．∠ABD+∠CED＝180°
(第5題) (第6題) (第7題)
7.如圖，，則AEB＝（ ）．
A． B． C． D．
8. 如圖所示，把一張對面互相平行的紙條折成如圖所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則下列結(jié)論不正確的有（ ）．
A
B
C
D
E
F
G
A. B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116°
二、填空題
9. (荊州二模)如圖所示，AB∥CD，點E在CB的延長線上．若∠ECD＝110°，則∠ABE的度數(shù)為________．

10. (寧波外校一模)如圖所示，C島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西40°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB等于________．

11. (吉安)如圖所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分別是∠BEN和∠MFD的平分線，那么EG與FG的位置關(guān)系是 ．

12．如圖，一塊梯形玻璃的下半部分打碎了，若∠A＝125°，∠D＝107°，則打碎部分的兩個角的度數(shù)分別為 .
13. 如圖所示，已知AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，則∠E的度數(shù) ．

14. 已知，如圖∠1＝∠2，∠C＝∠D，則∠A ∠F（填“＞”“＝”“＜”）．
15．如圖所示，直線AD、BE、CF相交于一點O，∠BOC的同位角有________，∠OED的同旁內(nèi)角有________，∠ABO的內(nèi)錯角有________，由∠OED＝∠BOC得________∥________，由∠OED＝∠ABO得________∥________，由AB∥DE，CF∥DE可得AB________CF．
16. 如圖，AB∥CD，則α、β、γ之間的關(guān)系為 ．
γ
A
B
C
D
α
β
三、解答題
17．如圖所示，直線AB、MN分別與直線PQ相交于O、S，射線OG⊥PQ，且OG將∠BOQ分成1:5兩部分，∠PSN比它的同位角的2倍小60°，求∠PSN的度數(shù)．
18. 已知，如圖AB∥EF，∠ABC＝∠DEF,試判斷BC和DE的位置關(guān)系，并說明理由．
19. 如圖所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大?。?br>
20.河的兩岸成平行線，A,B是位于河兩岸的兩個車間（如圖），要在河上造一座橋，使橋垂直于河岸，并且使A，B間的路程最短.確定橋的位置的方法是：作從A到河岸的垂線，分別交河岸PQ，MN于F，G.在AG上取AE＝FG，連接EB，EB交MN于D.在D處作到對岸的垂線DC，垂足為C，那么DC就是造橋的位置．試說出橋造在CD位置時路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．
【答案與解析】
一、選擇題
1. 【答案】B；
【解析】因為AB⊥CD，所以∠1+∠2＝90°，因此∠1與∠2的關(guān)系是互為余角．
2. 【答案】A；
【解析】首先根據(jù)題意對各選項畫出示意圖，觀察圖形，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可得出答案.
3. 【答案】C；
【解析】∠CFA＝∠E＝65°，再由三角形的內(nèi)角和為180°，可得答案.
4. 【答案】D；
【解析】三線八角中，角平分線互相平行的兩角是同位角或內(nèi)錯角，互相垂直的兩角是同旁內(nèi)角.
5. 【答案】B；
【解析】反向延長射線a交c于點M，則∠2＝90°－（180°－130°）＝40°.
6.【答案】B；
7.【答案】B；
【解析】，∠EAB＝75°－25°＝50°.
8.【答案】B.
二、填空題
9. 【答案】70°；
【解析】因AB∥CD，所以∠ABC＝∠ECD＝110°，所以∠ABE＝180°-110°＝70°．
10.【答案】90°；
【解析】過點C作CD∥AE，由AE∥BF，知CD∥AE∥BF，則有∠ACD＝∠EAC＝
50°，∠BCD＝∠CBF＝40°，從而有∠ACB＝∠ACD十∠BCD＝50°+40°＝90°．
11.【答案】垂直；
【解析】
解：EG⊥FG，理由如下：

∵ AB∥CD，∴ ∠BEN+∠MFD＝180°．
∵ EG和FG分別是∠BEN和∠MFD的平分線，
∴ ∠GEN+∠GFM＝(∠BEN+∠MFD)＝×180°＝90°．
∴ ∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°．
∴ EG⊥FG．
12．【答案】55°，73°；
【解析】如圖，將原圖補全，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案.
.
13.【答案】56°；
【解析】過點F作FG∥EC，交AC于G，
∴ ∠ECF＝∠CFG，

∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠AFC．
又∵ ∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，
∴ ∠BAE＝3×28°＝84°．
∴ ∠CFG＝28°，∠AFC＝84°．
∴ ∠AFG＝∠AFC-∠CFG＝56°．
又 FG∥EC，∴ ∠AFG＝∠E．
∴ ∠E＝56°．
14.【答案】＝；
【解析】平行線的判定與性質(zhì)及對頂角的性質(zhì)的應(yīng)用．
15.【答案】∠AFO、∠OED，∠EOD、∠EOC、∠OBC、∠EDO、∠EDC，
∠COB、∠DEB、∠DOB， OC、DE， DE、AB，∥；
【解析】本題主要考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別和平行線的判定和性質(zhì)．
16.【答案】α+β-γ=180°；
【解析】通過做平行線或構(gòu)造三角形得解．
三、解答題
17.【解析】
解：因為OG⊥PQ(已知)，
所以∠GOQ＝90°(垂直定義)，
因為∠BOG:∠GOQ＝1:5(已知)，
所以∠BOG＝18°，所以∠BOQ＝108°．
因為∠POB+∠BOQ＝180°(補角定義)，
所以∠POB＝180°-∠BOQ＝180°-108°＝72°．
因為∠PSN＝2∠POB-60°(已知)，
所以∠PSN＝2×72°-60°＝84°．
點撥：此題的關(guān)鍵是找出要求的∠PSN與題中的各已知量的關(guān)系．
18.【解析】
解：如圖，連接BE，因為AB∥EF，所以∠ABE＝∠BEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
又因為∠ABC＝∠DEF，
所以∠ABE－∠ABC＝∠BEF－∠DEF，即∠CBE＝∠BED．
所以BC∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
19.【解析】
解：過E點作EF∥AB，則∠3＝180°-∠1＝70°．

因為EF∥AB，AB∥CD，
所以EF∥CD．
所以∠4＝180°-∠2＝55°．
所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°．
20.【解析】
解：利用圖形平移的性質(zhì)及連接兩點的線中，線段最短，可知：
.
而CD的長度又是平行線PQ與MN之間的距離，所以AC+CD+DB最短.
（山東濱州）如圖，把—個長方形紙片對折兩次，然后剪下—個角．為了得到一個正方形，剪刀與折痕所成的角的度數(shù)應(yīng)為（ ）．
A．60° B．30° C．45° D．90°
【答案】C

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