考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值1．銳角三角函數(shù)的概念（1）銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).（2）在△ABC中，∠C=90°,∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cos A=,∠A的正切tan A=.2．特殊角的三角函數(shù)值(填寫下表)三角函數(shù)30°45°60°sin acos atan a1 【例1】（2021·湖南）下列計(jì)算正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則分別計(jì)算即可．【詳解】解：A、，此選項(xiàng)正確；B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【例2】如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．  1．（2021·天津）的值等于（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)30°的正切值直接求解即可．【詳解】解：由題意可知，，故選：A．2．（2021·浙江）如圖，已知在中，，則的值是______．【答案】【分析】在直角三角形中，銳角的正弦=銳角的對(duì)邊：直角三角形的斜邊，根據(jù)定義直接可得答案．【詳解】解： ， 故答案為：考點(diǎn)2：三角函數(shù)與圖形結(jié)合 【例3】如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）A．sinB B．sinCC．tanB D．sin2B+sin2C＝1【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：由勾股定理得：,∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴，，，，只有A錯(cuò)誤．故選擇：A．   1．（2020聊城）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解決問題．【解析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC=，∴sin∠ACH=，故選：D．2．（2020涼山州）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為（　　）A． B． C．2 D．2【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出tanA的值．【解析】如圖，連接BD，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，BD⊥AC，AD2，BD，∴tanA=，故選：A．  考點(diǎn)3：解直角三角形1．解直角三角形（1）解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有5個(gè)元素,即3條邊和2個(gè)銳角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法直角三角形的解法按除直角外已知2個(gè)元素的不同情況可大致分為四種類型:① 已知一條直角邊和一個(gè)銳角(如a,∠A),其解法為:∠B=90°-∠A,c=; ② 已知斜邊和一個(gè)銳角(如c,∠A),其解法為:∠B=90°-∠A,a=; ③ 已知兩直角邊(如a,b),其解法為:c2=a2+b2,tan A=; ④ 已知斜邊和一直角邊(如c,a),其解法為:b2=c2-a2,sin A=.  【例4】（2021·浙江金華市）如圖是一架人字梯，已知米，AC與地面BC的夾角為，則兩梯腳之間的距離BC為（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余弦的定義即可，得到答案．【詳解】過點(diǎn)A作，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【例5】（2021·四川樂山市）在中，．有一個(gè)銳角為，．若點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)、重合），且，則的長為________．【答案】或或2【分析】依據(jù)題意畫出圖形，分類討論，解直角三角形即可．【詳解】解：情形1：，則，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；情形2：，則，，，∵，∴，∴，解得；情形3：，則，，，∵，∴；故答案為：或或2．  1．（2021·云南）在中，，若，則的長是（    ）A． B． C．60 D．80【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，∴BC=100×3÷5=60，∴AB==80，故選D．2．（2021·浙江溫州市）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．【詳解】∵在中，，∴ 在中，，故選：A．3．如圖，點(diǎn)C是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（　　）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．

∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴OC＝AB＝，
∵＝?AB?CH＝?AC?BC，
∴CH＝，
∴sin∠BOC＝＝，
故選：B． 考點(diǎn)4：解直角三角形1．與解直角三角形有關(guān)的名詞、術(shù)語（1）視角:視線與水平線的夾角叫做視角.從下向上看,叫做仰角;從上往下看,叫做俯角.（2）方位角:目標(biāo)方向線與正北方向線順時(shí)針時(shí)的夾角.（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡度(或坡比),記作i=.坡面與水平面的夾角(α),叫做坡角. 【例6】如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)處前行到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)處，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔的高度是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】過作于，于，得到，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過作于，于，，，斜坡的斜面坡度，，設(shè)，，，，，，，，，，故選：A．【例7】小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個(gè)門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東方向前往游樂場(chǎng)D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走到達(dá)C處，再沿北偏東方向前往游樂場(chǎng)D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【分析】作于E，于F，易得四邊形BCFE是矩形，則，，設(shè)，則，在中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，在中，，根據(jù)題意得到，求得x的值，然后根據(jù)勾股定理求得AE和BE，進(jìn)而求得AB．【詳解】解：如圖，作于E，于F，，四邊形BCFE是矩形，，，設(shè)，則，在中，，，在中，，，，，解得：，，，，，由勾股定理得，，，答：公園北門A與南門B之間的距離約為．  解直角三角形的應(yīng)用問題的有關(guān)要點(diǎn)（1）應(yīng)用范圍：通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測(cè)量問題，如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、河寬等，解此類問題關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長度.（2）一般步驟① 將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）.② 根據(jù)題目的已知條件選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的答案.  1．（2021·湖北黃岡市）如圖，建筑物上有一高為的旗桿，從D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為，觀測(cè)旗桿底部B的仰角為，則建筑物的高約為_____（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)，，）【答案】【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得，再在中，利用正切三角函數(shù)解直角三角形即可得．【詳解】解：由題意得：，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，在中，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，且符合題意，
 即建筑物的高約為，故答案為：．2．（2021·四川涼山彝族自治州）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測(cè)量河對(duì)岸大樹AB的高度，他在點(diǎn)C處測(cè)得大樹頂端A的仰角為，再從C點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走米到達(dá)斜坡上D點(diǎn)，在點(diǎn)D處測(cè)得樹頂端A的仰角為，若斜坡CF的坡比為（點(diǎn)在同一水平線上）．（1）求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度；（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）2米；（2）米【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；（2）延長AD交CE于點(diǎn)G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再說明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定義求出AB即可．【詳解】解：（1）過D作DH⊥CE于H，如圖所示：在Rt△CDH中，，∴CH=3DH，∵CH2+DH2=CD2，∴（3DH）2+DH2=（）2，解得：DH=2或-2（舍），∴王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度為2米；（2）延長AD交CE于點(diǎn)G，設(shè)AB=x米，由題意得，∠AGC=30°，∴GH===，∵CH=3DH=6，∴GC=GH+CH=+6，在Rt△BAC中，∠ACB=45°，∴AB=BC，∴tan∠AGB=，解得：AB=，即大樹AB的高度為米．3．（2021·江蘇連云港市）我市的前三島是眾多海釣人的夢(mèng)想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿擺成如圖1所示．已知，魚竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行且相距，即．（1）如圖1，在無魚上鉤時(shí)，海面上方的魚線與海面的夾角，海面下方的魚線與海面垂直，魚竿與地面的夾角．求點(diǎn)O到岸邊的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時(shí)，魚竿與地面的夾角，此時(shí)魚線被拉直，魚線，點(diǎn)O恰好位于海面．求點(diǎn)O到岸邊的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，構(gòu)建和，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出FC，用;（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，構(gòu)建和，在中，根據(jù)53°和AB的長求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴，由，∴，∴，即，∴．又，∴，∴，即，∴，即到岸邊的距離為．（2）過點(diǎn)作，垂足為，延長交于點(diǎn)，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴．由，∴，∴，即，∴．∴，∴，即點(diǎn)到岸邊的距離為．
 

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