1．以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過程，體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型；
2. 熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實(shí)際問題．
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、常見的一些等量關(guān)系（一）
1.和差倍分問題：
增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率 較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.
2.產(chǎn)品配套問題：
解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.
3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量.
4.利潤(rùn)問題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)， .
要點(diǎn)二、實(shí)際問題與二元一次方程組
1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想
列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系．一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.
2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：
設(shè)：用兩個(gè)字母表示問題中的兩個(gè)未知數(shù)；
列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；
解：解方程組，求出未知數(shù)的值；
驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；
答：寫出答案．
要點(diǎn)詮釋：
（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；
（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；
（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.
【典型例題】
類型一、和差倍分問題
1.在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，甲、乙兩校各有100名同學(xué)參加測(cè)試．測(cè)試結(jié)果顯示，甲校男生的優(yōu)分率為60％，女生的優(yōu)分率為40％，全校的優(yōu)分率為49.6％；乙校男生的優(yōu)分率為57％，女生的優(yōu)分率為37％．
(男(女)生優(yōu)分率＝，全校優(yōu)分率＝)
(1)求甲校參加測(cè)試的男、女生人數(shù)各是多少?
(2)從已知數(shù)據(jù)中不難發(fā)現(xiàn)甲校男、女生的優(yōu)分率都相應(yīng)高于乙校男、女生的優(yōu)分率，但最終的統(tǒng)計(jì)結(jié)果卻顯示甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低，請(qǐng)舉例說明原因．
【思路點(diǎn)撥】 (1)求甲校參加測(cè)試的男、女生人數(shù)需設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，故可建立二元一次方程組求解．(2)由于甲校男、女生的優(yōu)分率相應(yīng)高于乙校的男、女生的優(yōu)分率，要使乙校的全校優(yōu)分率比甲校的全校優(yōu)分率高，此時(shí)，只有乙校的男生較多時(shí)，才能提高全校的優(yōu)分率．
【答案與解析】
解：(1)設(shè)甲校參加測(cè)試的男生人數(shù)是x人，女生人數(shù)是y人．
由題意可列方程組：
解之得：．
答：甲校參加測(cè)試的男生有48人，女生有52人．
(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，則乙校的全校優(yōu)分率為
．51％＞49.6％
(說明：只要所舉例子中男生人數(shù)多于63人，且女生優(yōu)分率合適，即可得全分．)
【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．本題的第（2）問也可以用不等式求出甲乙兩校男生人數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)，才滿足甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低．
舉一反三：
【變式】為了拉動(dòng)內(nèi)需，全國(guó)各地汽車購(gòu)置稅補(bǔ)貼活動(dòng)在2009年正式開始．某經(jīng)銷商在政策出臺(tái)前一個(gè)月共售出某品牌汽車的手動(dòng)型和自動(dòng)型共960臺(tái)，政策出臺(tái)后的第一個(gè)月售出這兩種型號(hào)的汽車共1228臺(tái)，其中手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車的銷售量分別比政策出臺(tái)前一個(gè)月增長(zhǎng)30％和25%．
(1)在政策出臺(tái)前一個(gè)月，銷售的手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車分別為多少臺(tái)?
(2)若手動(dòng)型汽車每臺(tái)價(jià)格為8萬元，自動(dòng)型汽車每臺(tái)價(jià)格為9萬元．根據(jù)汽車補(bǔ)貼政策，政府按每臺(tái)汽車價(jià)格的5％給購(gòu)買汽車的用戶補(bǔ)貼，問政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車用戶共補(bǔ)貼了多少萬元？
【答案】
解：(1)設(shè)政策出臺(tái)前一個(gè)月銷售的手動(dòng)型汽車為x輛，自動(dòng)型汽車為y輛，
由題意可得：
解之得：．
答：政策出臺(tái)前一個(gè)月銷售的手動(dòng)型汽車為560輛，自動(dòng)型汽車為400輛．
(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(萬元)
答：政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車用戶共補(bǔ)貼了516.2萬元．
類型二、配套問題
2. 某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動(dòng)時(shí)恰需筐68 個(gè)，扁擔(dān)40 根，問這個(gè)班的男女生各有多少人？
【答案與解析】
解：設(shè)女生人，男生人，由題意得：
解得：
答：這個(gè)班的男生有32人，女生有21人.
【總結(jié)升華】?jī)扇颂列枰桓鈸?dān)，一只筐；一人挑土需要一根扁擔(dān)，兩只筐．題中的等量關(guān)系是：參加勞動(dòng)的同學(xué)一共用去籮筐68個(gè)和40根扁擔(dān)，從而列出方程組，解出即可．
【高清課堂：實(shí)際問題與二元一次方程組（一）409143 例2練習(xí)】
舉一反三：
【變式】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓和兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？
【答案】
解：設(shè)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則根據(jù)題意可得：
答：應(yīng)分配25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母.
類型三、工程問題
3. （2015春?定陶縣期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元，若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元，問：
（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付多少錢？
（2）已知甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需24天，單獨(dú)請(qǐng)哪個(gè)組，商店所需費(fèi)用最少？
（3）若裝修完后，商店每天可贏利200元，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？請(qǐng)你幫助商店決策．（可用（1）（2）問的條件及結(jié)論）
【思路點(diǎn)撥】（1）本題的等量關(guān)系是：甲做8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元．
甲組6天需付的費(fèi)用+乙做12天需付的費(fèi)用=3480元，由此可得出方程組求出解．
（2）根據(jù)（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的費(fèi)用，然后分別計(jì)算出甲單獨(dú)做12天需要的費(fèi)用，乙單獨(dú)做24天需要的費(fèi)用，讓兩者進(jìn)行比較即可．
（3）本題可將每種施工方法的施工費(fèi)加上施工期間商店損失的費(fèi)用，然后將不同方案計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案．
【答案與解析】
解：（1）設(shè)：甲組工作一天商店應(yīng)付x元，乙組工作一天商店付y元．
由題意得
解得
答：甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付300元和140元．
（2）單獨(dú)請(qǐng)甲組需要的費(fèi)用：300×12=3600元．
單獨(dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用：24×140=3360元．
答：?jiǎn)为?dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用少．
（3）請(qǐng)兩組同時(shí)裝修，理由：
甲單獨(dú)做，需費(fèi)用3600元，少贏利200×12=2400元，相當(dāng)于損失6000元；
乙單獨(dú)做，需費(fèi)用3360元，少贏利200×24=4800元，相當(dāng)于損失8160元；
甲乙合作，需費(fèi)用3520元，少贏利200×8=1600元，相當(dāng)于損失5120元；
因?yàn)?120＜6000＜8160，
所以甲乙合作損失費(fèi)用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
【總結(jié)升華】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系：甲做8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元．列出方程組，再求解．
類型四、利潤(rùn)問題
4.甲乙兩件服裝的成本為500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，決定將甲種服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙種服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)．實(shí)際出售時(shí)，兩種服裝均按九折出售，這樣商店共獲利157元．求甲乙兩件服裝的成本各是多少元？
【答案與解析】
解：設(shè)甲、乙兩件服裝的成本分別為元和元，由題意：
解得：
答：甲、乙兩件服裝的成本分別為300元和200元
【總結(jié)升華】本題也可以用一元一次方程的知識(shí)解答．
舉一反三：
【變式】（2015春?寧城縣期末）為處理甲、乙兩種積壓服裝，商場(chǎng)決定打折銷售，已知甲、乙兩種服裝的原單價(jià)共位880元，現(xiàn)將甲服裝打八折，乙服裝打七五折，結(jié)果兩種服裝的單價(jià)共為684元，則甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是多少？
【答案】
解：設(shè)甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是x元、y元．
根據(jù)題意，得：，
解得：，
即：甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是480元、400元．
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一、選擇題
1．某鞋店有甲、乙兩款鞋各30雙，甲鞋一雙200元，乙鞋一雙50元．該店促銷的方式：買一雙甲鞋，送一雙乙鞋；只買乙鞋沒有任何優(yōu)惠．若打烊后得知，此兩款鞋共賣得1800元，還剩甲鞋x雙、乙鞋y雙，則依題意可列出下列哪一個(gè)方程式? ( ) .
A．200(30-x)+50(30-y) ＝ 1800 B．200(30-x)十50(30-x-y)＝1800
C．200(30-x)+50(60-x-y)＝1800 D．200(30-x)十50[30-(30-x)-y]＝1800
2.（2015春?承德校級(jí)月考）現(xiàn)有大、小兩種船，1艘大船與4艘小船一次最多可以載客46名，2艘大船與3艘小船一次最多可以載客57名，某旅游點(diǎn)的船有3艘大船與6艘小船，一次最多可以載客的人數(shù)為（ ）
A．129B．120C．108D．96
3．欣平超市推出如下優(yōu)惠方案：(1)一次性購(gòu)物不超過100元不享受優(yōu)惠；(2)一次性購(gòu)物超過100元但不超過300元一律九折；(3)一次性購(gòu)物超過300元一律八折．王波兩次購(gòu)物分別付款80元、252元，如果王波一次性購(gòu)買與上兩次相同的商品，則應(yīng)付款( ).
A．288元 B．322 元 C．288元或316元 D．332元或363元
4．某次知識(shí)競(jìng)賽共出了25道試題．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：答對(duì)一道題加4分；答錯(cuò)1道題扣1分；不答記0分，已知李剛不答的題比答錯(cuò)的題多2道，他的總分為74分，則他答對(duì)了 ( ).
A．18道 B．19道 C．20道 D．21道
5．某班學(xué)生參加運(yùn)土勞動(dòng)，一部分學(xué)生抬土，另一部分學(xué)生挑土，已知全班共用籮筐59個(gè)，扁擔(dān)36根，若設(shè)抬土的學(xué)生x人，挑土的學(xué)生y人，則有 ( ).
A． B． C． D．
6.在早餐店里，王伯伯買5顆饅頭，3顆包子，老板少拿2元，只要50元．李太太買了11顆饅頭，5顆包子，老板以售價(jià)的九折優(yōu)待，只要90元．若饅頭每顆x元，包子每顆y元，則下列哪一個(gè)二元一次聯(lián)立方程式可表示題目中的數(shù)量關(guān)系？ （ ）
A. B.
C. D.
二、填空題
7.一張方桌由一個(gè)桌面和四條桌腿組成，如果1 m3木料可制作方桌的桌面50個(gè)，或制作桌腿300條，現(xiàn)有5 m3木料，設(shè)用x cm3木料制作桌面，用y m3木料制作桌腿，恰好配成方桌，則可得方程組為________．
8．如圖所示，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長(zhǎng)度是它的，另一根露出水面的長(zhǎng)度是它的，兩根鐵棒長(zhǎng)度之和為55cm，則木桶中水的深度是 cm.
9.（2015春?沂源縣期末）一個(gè)水池有兩個(gè)進(jìn)水管，單獨(dú)開甲管注滿水池需2小時(shí)，單獨(dú)開乙管注滿水池需3小時(shí)，兩個(gè)同時(shí)開注滿水池的時(shí)間是 小時(shí)．
10．某商場(chǎng)出售茶壺和茶杯，茶壺每只15元，茶杯每只3元，商店規(guī)定買一只茶壺贈(zèng)一只茶杯，某人共付款171元得茶壺、茶杯共36只(含贈(zèng)品在內(nèi))，其中茶壺________只，茶杯________只．
11．已知甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)和為100元，為促銷而打折銷售，若甲商品打8折，乙商品打6折，則可賺50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，則可賺30元，則甲、乙兩種商品的定價(jià)分別是________．
12. 如圖①，在第一個(gè)天平上，砝碼A的質(zhì)量等于砝碼B加上砝碼C的質(zhì)量；如圖②，在第二個(gè)天平上，砝碼A加上砝碼B的質(zhì)量等于3個(gè)砝碼C的質(zhì)量．請(qǐng)你判斷：1個(gè)砝碼A與________個(gè)砝碼C的質(zhì)量相等．
三、解答題
13. （2015春?自貢期末）某商場(chǎng)第1次用39萬元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后獲得利潤(rùn)6萬元，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：
（總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量）
（1）該商場(chǎng)第1次購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件？
（2）商場(chǎng)第2次以原價(jià)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，購(gòu)進(jìn)B商品的件數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)A商品的件數(shù)是第1次的2倍，A商品按原價(jià)銷售，而B商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢，要使得第2次經(jīng)營(yíng)活動(dòng)獲得利潤(rùn)不少于75000元，則B種商品最低售價(jià)為每件多少元？
14.某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出大樓共有4道門，其中2道正門大小相同，2道側(cè)門大小也相同，安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了測(cè)試：當(dāng)同時(shí)開啟1道正門和2道側(cè)門時(shí)，2分鐘內(nèi)可通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟1道正門和1道側(cè)門時(shí)，4分鐘內(nèi)可通過800名學(xué)生，求平均每分鐘1道正門和1道側(cè)門各可通過多少名學(xué)生？
15. [閱讀]在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2、y2)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．
[運(yùn)用](1)如圖所示，長(zhǎng)方形ONEF的對(duì)角線交于點(diǎn)M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，3)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________；
(2)平面直角坐標(biāo)系中，有A(-1，2)、B(3，1)、C(1，4)三點(diǎn)，另有一點(diǎn)D與點(diǎn)A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)(平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分)．
【答案與解析】
一、選擇題
1. 【答案】D；
【解析】由已知，賣出甲鞋（30-x）雙，則送出乙鞋也是（30-x）雙，那么乙賣出[30-（30-x）-y]雙，賣出甲鞋的錢數(shù)加上賣出乙鞋的錢數(shù)就等于1800元，由此得出答案．
2.【答案】D．
【解析】設(shè)1艘大船的載客量為x人，一艘小船的載客量為y人．
由題意可得：，
解得，
∴3x+6y=96．
∴3艘大船與6艘小船，一次可以載游客的人數(shù)為96人．
3. 【答案】C；
【解析】
解：一次性購(gòu)物超過100元，但不超過300元一律9折，則在這個(gè)范圍內(nèi)最低付款90元，因而第一次付款80元，沒有優(yōu)惠；
當(dāng)?shù)诙钨?gòu)物是第二種優(yōu)惠，可得出原價(jià)是 252÷0.9=280(元)（符合超過100不高于300）．則兩次共付款：80+280=360元，超過300元，則一次性購(gòu)買應(yīng)付款：360×0.8=288元；
當(dāng)?shù)诙胃犊钍浅^300元時(shí)：可得出原價(jià)是 252÷0.8=315（符合超過300元），
則兩次共應(yīng)付款：80+315=395元，則一次性購(gòu)買應(yīng)付款：395×0.8=316元．
故一次性購(gòu)買應(yīng)付款：288元或316元．
4. 【答案】B；
【解析】設(shè)李剛答錯(cuò)的題為道，答對(duì)的題道，則他不答的題道，且有
，
解得.
5. 【答案】B；
【解析】注意了解生活常識(shí)：抬土即兩個(gè)人需要一根扁擔(dān)和一個(gè)籮筐；挑土即一個(gè)人需要一根扁擔(dān)和兩個(gè)籮筐．
6. 【答案】B；
【解析】設(shè)饅頭每顆x元，包子每顆y元，根據(jù)題意王伯伯買5顆饅頭，3顆包子，老板少拿2元，只要50元，可列式為5x+3y=52，李太太買了11顆饅頭，5顆包子，老板以售價(jià)的九折優(yōu)待，只要90元，可列式為0.9（11x+5y）=90，聯(lián)立方程即可得到所求方程組．
二、填空題
7. 【答案】；
8.【答案】20；
【解析】設(shè)兩根鐵棒的長(zhǎng)度分別是a，b(a＞b)，則有 解得
所以，∴ 木桶中水的深度為20cm
9.【答案】．
【解析】設(shè)兩個(gè)同時(shí)開注滿水池的時(shí)間是x小時(shí)，由題意得
（+）x=1，解得：x=．答：兩個(gè)同時(shí)開注滿水池的時(shí)間是小時(shí)．
10．【答案】7， 29；
【解析】設(shè)買茶壺x只，那么贈(zèng)x只茶杯，所以要買（36-2x）茶杯，然后根據(jù)共付款171元即可列出方程，解方程就可以解決問題．
11.【答案】150元，50元；
【解析】設(shè)甲、乙兩種商品的定價(jià)分別為元，元，則：
，
解得.
12. 【答案】2.
【解析】此題可以分別設(shè)砝碼A、B、C的質(zhì)量是x，y，z．然后根據(jù)兩個(gè)天平列方程組，消去y，得到x和z之間的關(guān)系即可．
三、解答題
13.【答案】
解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種商品x件，B種商品y件，
根據(jù)題意得
化簡(jiǎn)得，
解之得．
答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品分別為200件和150件；
（2）由于A商品購(gòu)進(jìn)400件，獲利為
（1350﹣1200）×400=60000（元），
從而B商品售完獲利應(yīng)不少于75000﹣60000=15000（元），
設(shè)B商品每件售價(jià)為x元，則
150（x﹣1000）≥15000，
解之得x≥1100．
所以B種商品最低售價(jià)為每件1100元．
14.【解析】
解：設(shè)平均每分鐘1道正門可通過x名學(xué)生，1道側(cè)門可通過y名學(xué)生．
由題意，得，
解得．
答：平均每分鐘1道正門可通過120名學(xué)生，l道側(cè)門可通過80名學(xué)生．
15.【解析】
解：(1)因?yàn)樗倪呅蜲NEF是長(zhǎng)方形，所以點(diǎn)M是OE的中點(diǎn)．
因?yàn)镺(0，0)，E(4，3)所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，)．
(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，若以AB為對(duì)角線，AC、BC為鄰邊構(gòu)成平行四邊形，則AB、CD的中點(diǎn)重合．
所以 解得
若以BC為對(duì)角線，AB、AC為鄰邊構(gòu)成平行四邊形，則AD、BC的中點(diǎn)重合．
所以 解得
若以AC為對(duì)角線，AB、BC為鄰邊構(gòu)成平行四邊形，則BD、AC的中點(diǎn)重合．
所以 解得
綜上可知：點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，-1)或(5，3)或(-3，5)．
商品
價(jià)格
A
B
進(jìn)價(jià)（元/件）
1200
1000
售價(jià)（元/件）
1350
1200

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1.3 二元一次方程組的應(yīng)用

版本： 湘教版

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