【學(xué)習(xí)目標】
1. 理解正整數(shù)冪的運算性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；
2. 會推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；
3. 掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；
4. 理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解.
【知識網(wǎng)絡(luò)】
【要點梳理】
要點一、冪的運算
1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
2.冪的乘方： (為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
3.積的乘方： (為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.
4.同底數(shù)冪的除法：(≠0, 為正整數(shù)，并且).
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.
要點詮釋：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.
要點二、整式的乘法和除法
1.單項式乘以單項式
單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.
2.單項式乘以多項式
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).
3.多項式乘以多項式
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.
要點詮釋：運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項式的乘法，能得出一個應(yīng)用比較廣泛的公式：.
4.單項式相除
把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.
5.多項式除以單項式
先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.
即：
要點三、乘法公式
1.平方差公式： 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.
平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.
2. 完全平方公式：兩數(shù)和 (差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.
；
要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.
要點四、因式分解
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法等.
要點詮釋：落實好方法的綜合運用：
首先提取公因式，然后考慮用公式；
兩項平方或立方，三項考慮完全平方；
四項以上想分組，分組分得要合適；
幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；
因式分解要徹底，一次一次又一次.
【典型例題】
類型一、冪的運算
1、已知，求的值．
【思路點撥】由于已知的值，所以逆用冪的乘方把變?yōu)?，再代入計算?br>【答案與解析】
解：∵，
∴．
【總結(jié)升華】本題培養(yǎng)了學(xué)生的整體思想和逆向思維能力．
舉一反三：
【變式】（1）已知，比較的大小.
（2）比較大小。
【答案】
解：（1）； （2）
提示：（1）轉(zhuǎn)化為同指數(shù)不同底數(shù)的情況進行比較，指數(shù)轉(zhuǎn)化為12；
（2）轉(zhuǎn)化成比較同底數(shù)不同指數(shù)，底數(shù)轉(zhuǎn)化為3.
類型二、整式的乘除法運算
2、（2015?杭州模擬）已知代數(shù)式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化簡以后是一個四次多項式，并且不含二次項，請分別求出m，n的值，并求出一次項系數(shù)．
【思路點撥】先把代數(shù)式按照多項式乘以多項式展開，因為化簡后是一個四次多項式，所以x的最高指數(shù)m+2=4；不含二次項，即二次項的系數(shù)為0，即可解答．
【答案與解析】
解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，
因為該多項式是四次多項式，
所以m+2=4，
解得：m=2，
原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多項式不含二次項，
∴3+12n=0，
解得：n=，
所以一次項系數(shù)8﹣3n=8+=．
【總結(jié)升華】本題考查了多項式乘以多項式，解決本題的關(guān)鍵是明確化簡后是一個四次多項式，所以x的最高指數(shù)m+2=4；不含二次項，即二次項的系數(shù)為0，即可解答．
舉一反三：
【變式】若的乘積中不含的一次項，則等于______．
【答案】；
類型三、乘法公式
3、計算：(1)；(2)．
【思路點撥】（1）中可以將兩因式變成與的和差.（2）中可將兩因式變成與的和差.
【答案與解析】
解：(1)原式
．
(2)原式

.
【總結(jié)升華】(1)在乘法計算中，經(jīng)常同時應(yīng)用平方差公式和完全平方公式．(2)當兩個因式中的項非常接近時，有時通過拆項用平方差公式會達到意想不到的效果．
舉一反三：
【變式】計算：．
【答案】
解：
．
4、已知，求代數(shù)式的值.
【思路點撥】將原式配方，變成幾個非負數(shù)的和為零的形式，這樣就能解出.
【答案與解析】
解：
所以
所以.
【總結(jié)升華】一個方程，三個未知數(shù)，從理論上不可能解出方程，嘗試將原式配方過后就能得出正確答案.
舉一反三：
【變式1】配方，求＝________.
【答案】
解：原式＝
所以，解得
所以.
【變式2】（2015春?祁陽縣期末）課堂上老師指出：若a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，請判斷該三角形的形狀．小明在與同學(xué)一起合作探究這個問題時，說出了自己的猜想及理由，得到了老師的贊揚．請你寫出小明的猜想和理由．
【答案】
解：依題意得：
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0
所以a=b，b=c，c=a．
故△ABC是等邊三角形．
5、求證：無論為何有理數(shù)，多項式的值恒為正數(shù)．
【答案與解析】
解：原式＝
所以多項式的值恒為正數(shù).
【總結(jié)升華】通過配方，將原式變成非負數(shù)＋正數(shù)的形式，這樣可以判斷多項式的正負.
舉一反三：
【變式】證明:不論為何值 , 多項式的值一定小于0.
【答案】
證明：
＝
＝
∵ ,
∴,
∴ 原式一定小于0.
類型四、因式分解
6、若，則E是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】
解：．故選C．
【總結(jié)升華】觀察等式的右邊，提取的是，故可把變成，即左邊＝.注意偶次冪時，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，值不變；奇次冪時，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，應(yīng)加上負號．
舉一反三：
【變式】把多項式提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D；
解：，
＝，
＝．
7、分解因式：
（1）； （2）； （3）．
【思路點撥】（1）把看做整體，變形為后分解．（2）可寫成，可寫成，和分別相當于公式里的和．（3）把、看作一個整體進行分解．
【答案與解析】
解：（1）．
（2）
．
（3）
．
【總結(jié)升華】注意套用公式時要注意字母的廣泛意義，可以是字母，也可以是單項式或多項式.
舉一反三：
【變式】將下列各式分解因式：
（1）； （2）
（3）； （4）；
【答案】
解：（1）原式

（2）原式＝
＝
（3）原式
（4）原式
ADDIN CNKISM.UserStyle【鞏固練習(xí)】
一.選擇題
1．若二項式加上一個單項式后構(gòu)成的三項式是一個完全平方式，則這樣的單項式的個數(shù)有（ ）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2. 已知：△ABC的三邊長分別為，那么代數(shù)式的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能確定
3. 下列因式分解正確的是( ).
A.B.
C. D.
4．（2015?邵陽）已知a+b=3，ab=2，則a2+b2的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5. 若能被60或70之間的兩個整數(shù)所整除，這兩個數(shù)應(yīng)當是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
6. 乘積應(yīng)等于（ ）
A． B． C． D．
7. 下列各式中正確的有（ ）個：
①；② ； ③；
④；⑤；⑥
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若為任意實數(shù)時，二次三項式的值都不小于0，則常數(shù)滿足的條件是（ ）
A. B. C. D.
二.填空題
9.（2015?游仙區(qū)模擬）已知關(guān)于x的二次三項式x2+2mx﹣m2+4是一個完全平方式，則m的值為 ．
10.若，，則用含的代數(shù)式表示為______．
11.已知，則＝ ．
12．若，化簡＝_________．
13．若有一個因式為，則的值應(yīng)當是_________.
14. 設(shè)實數(shù)，滿足，則＝_________，＝__________.
15.已知，則＝ ．
16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.
三.解答題
17.（2015春?禪城區(qū)校級期末）請你說明：當n為自然數(shù)時，（n+7）2﹣（n﹣5）2能被24整除．
18.（2015春?碑林區(qū)期中）圖①是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．
（1）圖②中的陰影部分的面積為 ；
（2）觀察圖②，三個代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系是 ；
（3）觀察圖③，你能得到怎樣的代數(shù)等式呢？
（4）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）；
（5）若x+y=﹣6，xy=2.75，求x﹣y的值．
19.計算
20.下面是某同學(xué)對多項式＋4進行因式分解的過程：
解：設(shè)
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝ （第三步）
＝ （第四步）
回答下列問題：
（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？______________(填徹底或不徹底)
若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_______________.
（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式 進行因式分解.
【答案與解析】
一.選擇題
1. 【答案】D；
【解析】可以是，，.
2. 【答案】C；
【解析】，因為為三角形三邊長，所以，所以原式小于零.
3. 【答案】C；
【解析】；
；
.
4. 【答案】C；
【解析】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2
=（a+b）2﹣2ab
=32﹣2×2
=5，
故選C.
5. 【答案】C；
【解析】

6. 【答案】C；
【解析】

7. 【答案】D；
【解析】②④⑤⑥正確.
8. 【答案】B；
【解析】，由題意得，，所以.
二.填空題
9. 【答案】±；
【解析】解：∵關(guān)于x的二次三項式x2+2mx﹣m2+4是一個完全平方式，
即x2+2mx﹣m2+4，
∴﹣m2+4=m2，
解得：m=±．
故答案為：±．
10.【答案】
【解析】∵，∴.
11.【答案】－3；
【解析】.
12.【答案】
【解析】因為，所以，原式＝.
13.【答案】－6；
【解析】由題意，當時，，解得＝－6.
14.【答案】2；4；
【解析】等式兩邊同乘以4，得：
∴∴ .
15.【答案】39；
【解析】原式＝.
16.【答案】；；
【解析】；
.
三.解答題
17.【解析】
解：原式=（n+7+n﹣5）（n+7﹣n+5）
=24（n+1），
則當n為自然數(shù)時，（n+7）2﹣（n﹣5）2能被24整除．
18.【解析】
解：（1）陰影部分的邊長為（m﹣n），所以陰影部分的面積為（m﹣n）2；
故答案為：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；
故答案為：（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；
（3）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；
（4）答案不唯一：
（5）∵（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=（﹣6）2﹣2.75×4=25，
∴x﹣y=±5．
19.【解析】
解：原式＝

.
20.【解析】
解：（1）C；
（2）不徹底；；
（3）設(shè)，原式＝
.

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