【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 理解正整數(shù)冪的運算性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；
2. 會推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；
3. 掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；
4. 理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解.
【知識網(wǎng)絡(luò)】
【要點梳理】
要點一、冪的運算
1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
2.冪的乘方： (為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
3.積的乘方： (為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.
4.同底數(shù)冪的除法：(≠0, 為正整數(shù)，并且).
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.
要點詮釋：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.
要點二、整式的乘法和除法
1.單項式乘以單項式
單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.
2.單項式乘以多項式
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).
3.多項式乘以多項式
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.
要點詮釋：運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項式的乘法，能得出一個應(yīng)用比較廣泛的公式：.
4.單項式相除
把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.
5.多項式除以單項式
先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.
即：
要點三、乘法公式
1.平方差公式： 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.
平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.
2. 完全平方公式：兩數(shù)和 (差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.
；
要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.
要點四、因式分解
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法等.
要點詮釋：落實好方法的綜合運用：
首先提取公因式，然后考慮用公式；
兩項平方或立方，三項考慮完全平方；
四項以上想分組，分組分得要合適；
幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；
因式分解要徹底，一次一次又一次.
【典型例題】
類型一、冪的運算
1、計算下列各題：
（1） （2）
（3） （4）
【思路點撥】按順序進行計算，先算積的乘方，再算冪的乘方，最后算同底數(shù)的冪相乘.
【答案與解析】
解：（1）．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【總結(jié)升華】在進行冪的運算時，應(yīng)注意符號問題，尤其要注意系數(shù)為－1時“－”號、括號里的“－”號及其與括號外的“－”號的區(qū)別．
舉一反三：
【變式】當(dāng)，＝4時，求代數(shù)式的值．
【答案】
解：.
類型二、整式的乘除法運算
2、（2015秋?閔行區(qū)期中）解不等式：（x﹣6）（x﹣9）﹣（x﹣7）（x﹣1）＜7（2x﹣5）【答案與解析】
解：原不等可化為：x﹣15x+54﹣x+8x﹣7＜14x﹣35，
整理得：﹣21x＜﹣82，
解得：x＞．
則原不等式的解集是x＞．
【總結(jié)升華】此題考查了多項式乘多項式，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
3、已知，求的值．
【思路點撥】利用除法與乘法的互逆關(guān)系，通過計算比較系數(shù)和相同字母的指數(shù)得到的值即可代入求值．
【答案與解析】
解：由已知，得，
即，，，
解得，，．
所以．
【總結(jié)升華】也可以直接做除法，然后比較系數(shù)和相同字母的指數(shù)得到的值.
舉一反三：
【變式】（1）已知，求的值．
（2）已知，，求的值．
（3）已知，，求的值．
【答案】
解：（1）由題意，知．∴ ．
∴ ，解得．
（2）由已知，得，即．由已知，得．
∴ ，即．∴
∴ ．
（3）由已知，得．由已知，得．
∴ ．
類型三、乘法公式
4、對任意整數(shù)，整式是否是10的倍數(shù)？為什么？
【答案與解析】
解：∵
，
是10的倍數(shù)，∴ 原式是10的倍數(shù)．
【總結(jié)升華】要判斷整式是否是10的倍數(shù)，應(yīng)用平方差公式化簡后，看是否有因數(shù)10．
舉一反三：
【變式】解下列方程(組)：

【答案】
解： 原方程組化簡得，解得．
5、已知，，求： (1)；(2)
【思路點撥】在公式中能找到的關(guān)系.
【答案與解析】
解：(1)
∵，，
∴
(2)
∵，，
∴.
【總結(jié)升華】在無法直接利用公式的情況下，我們采取“配湊法”進行，通過配湊向公式過渡，架起了已知與未知之間橋梁，順利到達(dá)“彼岸”.在解題時，善于觀察，捕捉習(xí)題特點，聯(lián)想公式特征，便易于點燃思維的火花，找到最佳思路.
類型四、因式分解
6、 分解因式：
（1） （2）．
【思路點撥】若將括號完全展開，所含的項太多，很難找到恰當(dāng)?shù)囊蚴椒纸獾姆椒?，通過觀察發(fā)現(xiàn)：將相同的部分作為一個整體，展開后再進行分解就容易了．
【答案與解析】
解：（1）．
（2）

．
【總結(jié)升華】在因式分解中要注意整體思想的應(yīng)用，對于式子較復(fù)雜的題目不要輕易去括號．
舉一反三：
【變式】（2015春?禪城區(qū)校級期末）分解因式：
（1）（a2+b2）2﹣4a2b2
（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．
【答案】
解：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2
=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）
=（a+b）2（a﹣b）2；
（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1
=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1
=（x﹣y﹣1）2．
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一.選擇題
1．下列各式從左到右的變化中屬于因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列計算正確的是( )．
A.B.
C. D.
3.若是完全平方式，則的值是（ ）
A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—10
4. 將＋分解因式，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2015?本溪）下列運算正確的是（ ）
A．5m+2m=7m2 B．﹣2m2?m3=2m5
C．（﹣a2b）3=﹣a6b3 D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2
6. 若是的因式，則為（ ）
A.－15 B.－2 C.8 D.2
7. 因式分解的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
8. 下列多項式中能用平方差公式分解的有（ ）
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二.填空題
9．化簡＝______．
10．如果是一個完全平方式，那么＝______．
11．若，化簡＝________．
12. 若，＝__________.
13.把分解因式后是___________.
14.的值是________．
15.（2015春?福田區(qū)期末）若x﹣y=8，xy=10，則x2+y2= ．
16.下列運算中，結(jié)果正確的是___________
①，②， ③，④，⑤，⑥，⑦，
⑧ ，⑨
三.解答題
17.分解因式：
（1）； （2）.
18. 解不等式，并求出符合條件的最小整數(shù)解．
19．（2015春?濉溪縣期末）若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值．
20．某種液晶電視由于原料價格波動而先后兩次調(diào)價，有三種方案：(1)先提價10％，再降價10％；(2)先降價10％，再提價10％；(3)先提價20％，再降價20％．問三種方案調(diào)價的最終結(jié)果是否一樣？為什么？
【答案與解析】
一.選擇題
1. 【答案】A；
【解析】因式分解是把多項式化成整式乘積的形式.
2. 【答案】B；
3. 【答案】D；
【解析】
4. 【答案】C；
【解析】＋＝＝．
5. 【答案】C；
【解析】解：A、5m+2m=（5+2）m=7m，故A錯誤；
B、﹣2m2?m3=﹣2m5，故B錯誤；
C、（﹣a2b）3=﹣a6b3，故C正確；
D、（b+2a）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，故D錯誤．
故選：C．
6. 【答案】D；
【解析】.
7. 【答案】A
【解析】＝.
8. 【答案】D；
【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.
二.填空題
9. 【答案】.
10.【答案】±3；
【解析】.
11.【答案】1；
【解析】.
12.【答案】0；
【解析】.
13.【答案】；
【解析】.
14.【答案】－2；
【解析】
.
15.【答案】84；
【解析】解：∵x﹣y=8，
∴（x﹣y）2=64，
x2﹣2xy+y2=64．
∵xy=10，
∴x2+y2=64+20=84．
故答案為：84．
16.【答案】③⑤⑥⑨；
【解析】在整式的運算過程中，符號問題和去括號的問題是最常犯的錯誤，要保證不出現(xiàn)符號問題關(guān)鍵在于每一步的運算都要做到有根據(jù)，能夠用定理法則指導(dǎo)運算.
三.解答題
17.【解析】
解：（1）＝；
（2）.

18.【解析】
解：

符合條件的最小整數(shù)解為0，所以.
19.【解析】
解：本題考查整體代入的思想.
∵a2+a=0，
∴原式=2（a2+a）+2015=2015．
20．【解析】
解：設(shè)為原來的價格
(1) 由題意得：
（2）由題意得：
（3）由題意得：.
所以前兩種調(diào)價方案一樣.

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