知識(shí)點(diǎn)一　全稱量詞命題的否定(一)教材梳理填空1．命題的否定：(1)一般地，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行 ，就可以得到一個(gè)新的命題，這一新命題稱為原命題的否定．(2)一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能 _________ . [微提醒]　命題的否定是只否定結(jié)論，不否定條件．
2．全稱量詞命題的否定：[微思考]　用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？提示：不唯一．如“所有的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．
(二)基本知能小試1．判斷正誤：(1)全稱量詞命題與其否定的真假可以相同．( )(2)命題“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”．( )答案：(1)×　(2)×
2．命題“對(duì)于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．對(duì)任意的x∈R，x3－x2＋1＞0D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故排除C；由命題的否定只否定結(jié)論，不否定條件，故排除A、B，D正確．答案：D
3．命題“對(duì)任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是______________________．解析：該命題是全稱量詞命題，其否定應(yīng)該是存在量詞命題，既要改變量詞，又要否定結(jié)論，故命題的否定是：“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
知識(shí)點(diǎn)二　存在量詞命題的否定(一)教材梳理填空
(二)基本知能小試1．判斷正誤：(1)存在量詞命題與其否定的真假性可以相同．( )(2)用自然語言描述的存在量詞命題的否定形式是唯一的．( ) 答案：(1)×　(2)×2．命題p：“?x∈R，x2－2x＋1＝0”的否定綈p是________________________．解析：命題p是一個(gè)存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，即綈p為?x∈R，x2－2x＋1≠0.答案：?x∈R，x2－2x＋1≠0
題型一　全稱量詞命題的否定與真假判斷【學(xué)透用活】對(duì)全稱量詞命題的否定以及特點(diǎn)的理解(1)全稱量詞命題的否定實(shí)際上是將量詞“所有”否定為“并非所有”，所以全稱量詞命題的否定的等價(jià)形式就是存在量詞命題，將全稱量詞調(diào)整為存在量詞，就要對(duì)p(x)進(jìn)行否定，這是敘述命題的需要，不能認(rèn)為對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行了“兩次否定”．實(shí)際上，含有一個(gè)量詞的命題的否定仍是一次否定．(2)對(duì)于省去了全稱量詞的全稱量詞命題的否定，一般要先改寫為含有全稱量詞的命題，再寫出命題的否定命題．
[典例1]　寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根；(2)q：任意一個(gè)實(shí)數(shù)乘－1都等于它的相反數(shù)；(3)r：正方形的對(duì)角線相等．
[方法技巧]全稱量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)全稱量詞命題的形式是“?x∈M，p(x)”，其否定形式為“?x∈M， p(x)”，所以全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)若全稱量詞命題為真命題，其否定命題就是假命題；若全稱量詞命題為假命題，其否定命題就是真命題．　　
【對(duì)點(diǎn)練清】寫出下列全稱量詞命題的否定，并判斷其真假：(1)p：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；(2)q：任何實(shí)數(shù)x都是方程5x－12＝0的根；(3)r：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x2＋1≥0.解：(1)有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)．真命題．(2)存在實(shí)數(shù)x不是方程5x－12＝0的根．真命題．(3)存在實(shí)數(shù)x，使得x2＋1＜0.假命題．
題型二　存在量詞命題的否定與真假判斷【學(xué)透用活】對(duì)存在量詞命題的否定以及特點(diǎn)的理解(1)由于全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，而命題p與 p互為否定，所以存在量詞命題的否定就是全稱量詞命題．(2)全稱量詞命題與存在量詞命題以及否定命題都是形式化命題，敘述命題時(shí)要結(jié)合命題的內(nèi)容和特點(diǎn)，靈活運(yùn)用自然語言、符號(hào)語言進(jìn)行描述，這樣才能準(zhǔn)確判斷命題的真假．
[方法技巧]存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)存在量詞命題的形式是“?x∈M，p(x)”，其否定形式是“?x∈M， p(x)”，所以存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．(2)存在量詞命題的否定的真假性與存在量詞命題相反，要說明一個(gè)存在量詞命題是真命題，只需要找到一個(gè)實(shí)例即可．　　
題型三　全稱量詞命題、存在量詞命題為假時(shí)求參數(shù)問題　 【學(xué)透用活】[典例3]　已知命題“?x∈R，函數(shù)y＝x2＋x＋a的圖象和x軸至多有一個(gè)公共點(diǎn)”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[方法技巧]已知命題p為假時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為 p是真命題來求參數(shù)，從而減少失誤，運(yùn)算過程中注意合理地選擇方法．　
【對(duì)點(diǎn)練清】已知命題p：“?x∈R，ax2＋2x＋1≠0”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【課堂思維激活】一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．寫出下列命題的否定：(1)可以被5整除的數(shù)，末位數(shù)是0.(2)能被3整除的數(shù)，也能被4整除．以下是小明和小紅的解答過程，你能找出錯(cuò)誤之處嗎？小明：(1)可以被5整除的數(shù)，末位數(shù)不是0.(2)能被3整除的數(shù)，不能被4整除．小紅：(1)有些可以被5整除的數(shù)，末位數(shù)是0.(2)存在一個(gè)能被3整除的數(shù)，能被4整除．
提示：小明解答本題時(shí)忽略了題中隱含的量詞，如(1)實(shí)際上含有量詞“任意”，對(duì)隱含量詞沒有否定；小紅解答本題時(shí)雖然注意到了隱含的量詞，對(duì)這些量詞也作了否定，但對(duì)結(jié)論沒有否定．正解如下：(1)省略了全稱量詞“任何一個(gè)”，命題的否定為“有一些可以被5整除的數(shù)，末位數(shù)不是0”．(2)省略了全稱量詞“所有”，命題的否定為“存在一個(gè)能被3整除的數(shù)，不能被4整除”．
二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．一位探險(xiǎn)家被土著人抓住，土著人首領(lǐng)說：“如果你說真話，你將被燒死，說假話，將被五馬分尸”．請(qǐng)問：探險(xiǎn)家該如何保命？解：探險(xiǎn)家應(yīng)該說“我將被五馬分尸”．理由如下：如果土著人首領(lǐng)將探險(xiǎn)家五馬分尸，那就說明探險(xiǎn)家說的是真話，而說真話應(yīng)該被燒死；如果土著人首領(lǐng)將探險(xiǎn)家燒死，那就說明探險(xiǎn)家說的是假話，而說假話應(yīng)該被五馬分尸．所以土著人首領(lǐng)怎么處置探險(xiǎn)家都不行，只能讓他活著．
三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維3．[好題共享——選自北師大版新教材]請(qǐng)舉出幾個(gè)生活中的全稱量詞命題或存在量詞命題，并寫出這些命題的否定．解：(1)這個(gè)籃子里的雞蛋都是好的．其否定是這個(gè)籃子的雞蛋并非都是好的．(2)某箱產(chǎn)品至少有一件是次品．其否定是某箱產(chǎn)品都是正品．(答案不唯一)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

1.5 全稱量詞與存在量詞

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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