1.導(dǎo)數(shù)（恒成立問(wèn)題1）2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題練

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一輪大題專練1—導(dǎo)數(shù)（恒成立問(wèn)題1）1．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，（1），則．實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（2）證明：，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，則，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，故當(dāng)時(shí)，．2．已知函數(shù)（其中，為的導(dǎo)數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1），則，又，函數(shù)在處的切線方程為；（2）令，則，，在，上單增，①當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，則恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由在，上單增，且，，故存在唯一，使得，則當(dāng)時(shí)，，單減，，此時(shí)與矛盾，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．3．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，，恒成立，求的取值范圍．解：（Ⅰ）時(shí)，，的定義域是，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增；（Ⅱ）恒成立，即，，，，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，恒成立，令，則，令，則，，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，顯然（1），故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在，遞減，在遞增，故（1），故，故的取值范圍是．4．已知函數(shù)，，．（1）若，證明：；（2）若，求的取值范圍．解：（1）證明：若，則，即證，只需證，設(shè)，則，，顯然在，上恒成立，在，上單增，，在，上單增，，，即得證；（2）令，依題意，對(duì)任意，，恒成立，則，解得，又在，上恒成立，顯然成立，在上恒成立，即，解得，故；下面證明：當(dāng)時(shí)，在，上恒成立，令，則，，（a），（a）在，上單減，則，由（1）知，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故在，上恒成立，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，，，則，又在上單調(diào)遞增，且，且（1），，，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，，，，，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，問(wèn)題等價(jià)于（記為在，上恒成立，令，，（1），要使式在，上恒成立，則必須（1），，下面證明當(dāng)時(shí)，在，上恒成立．，，，又，，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，（1），即式在，上恒成立，故的取值范圍為，．日期：2021/5/21 12:43:07；用戶：尹麗娜；郵箱：3603210371@zz.com；學(xué)號(hào)：198393776．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；分當(dāng)時(shí)，令，得，在，上有，在，上有，在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)分（2）當(dāng)時(shí)，，即令，則，若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，故有，即，得，故有．（由（1）可判斷，此不等式為常見(jiàn)不等式，熟記更利于解題）（當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時(shí)取等號(hào)）．函數(shù)在，單調(diào)遞增，，式成立．分②若，令．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．在區(qū)間，上單調(diào)遞增，，，，使得，則當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，式不恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是，分