2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第10講函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第10講　函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱考向預(yù)測1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等普遍使用的函數(shù)模型)在社會生活中的廣泛應(yīng)用.命題趨勢考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解決問題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，預(yù)計高考對本講考查將延續(xù)近幾年的考查風(fēng)格，各種題型均有可能，屬中檔題.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算 1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0) 2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同常用結(jié)論1．“對勾”函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)的性質(zhì)(1)該函數(shù)在(－∞，－]和[，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－，0)和(0， ]上單調(diào)遞減．(2)當(dāng)x>0時，x＝時取最小值2；當(dāng)x<0時，x＝－時取最大值－2.2．“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢．常見誤區(qū)1．解應(yīng)用題的關(guān)鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關(guān)鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年”)，考生常常由于讀題不謹慎而漏讀和錯讀，導(dǎo)致題目不會做或函數(shù)解析式寫錯．2．解應(yīng)用題建模后一定要注意定義域．3．解決完數(shù)學(xué)模型后，注意轉(zhuǎn)化為實際問題寫出總結(jié)答案．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)冪函數(shù)增長比一次函數(shù)增長更快．(　　)(2)在(0，＋∞)內(nèi)，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xα(α>0)的增長速度．(　　)(3)指數(shù)型函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時間內(nèi)變化量較大的實際問題．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是(　　)A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：選D.根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．3．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是(　　)A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1B．結(jié)余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D．前6個月的平均收入為40萬元解析：選D.由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(萬元)，故D錯誤．4．(易錯題)某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100 km，票價是0.5元/km，如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是________．　解析：由題意可得y＝答案：y＝5．生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．解析：設(shè)利潤為L(x)，則利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18 時，L(x)有最大值．答案：18　　　　　　用函數(shù)圖象刻畫變化過程[題組練透]1．(多選)在一次社會實踐活動中，某數(shù)學(xué)調(diào)研小組根據(jù)車間持續(xù)5個小時的生產(chǎn)情況畫出了某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量y(單位：kg)與時間x(單位：h)的函數(shù)圖象，則以下關(guān)于該產(chǎn)品生產(chǎn)狀況的正確判斷是(　　)A．在前三小時內(nèi)，每小時的產(chǎn)量逐步增加B．在前三小時內(nèi)，每小時的產(chǎn)量逐步減少C．最后一小時內(nèi)的產(chǎn)量與第三小時內(nèi)的產(chǎn)量相同D．最后兩小時內(nèi)，該車間沒有生產(chǎn)該產(chǎn)品解析：選BD.由題圖得，前三小時的產(chǎn)量在逐步減少，故A錯誤，B項正確；最后兩小時內(nèi)沒有生產(chǎn)產(chǎn)品，故C項錯誤，D項正確．故選BD.2．(2020·廣州市綜合檢測(一))如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T. 若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是(　　)解析：選B.水位由高變低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故選B.3．(多選)小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30 s，他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時間為t(s)，他與教練間的距離為y(m)，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置不可能是圖1中的(　　)A．點M　　　　　　　 B．點NC．點P D．點Q解析：選ABC.假設(shè)這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數(shù)圖象不符，故A選項錯誤；假設(shè)這個位置在點N，則從A至C這段時間，A點與C點對應(yīng)y的大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，故B選項錯誤；假設(shè)這個位置在點P，則由函數(shù)圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過30 s時教練到小時的距離，而點P不符合這個條件，故C選項錯誤；經(jīng)判斷點Q符合函數(shù)圖象，故D選項正確，故選ABC. 判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇符合實際情況的答案．　　　　　　　已知函數(shù)模型求解實際問題人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級，聲音的等級d(x)(單位：dB)與聲音強度x(單位：W/m2)滿足d(x)＝9lg .一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54 dB，在有50人的課堂上課時，老師聲音的等級約為63 dB，那么老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的(　　)A．1倍 B．10倍C．100倍 D．1 000倍【解析】　設(shè)老師上課時聲音強度、一般兩人小聲交談時聲音強度分別為x1W/m2，x2W/m2，根據(jù)題意得d(x1)＝9lg ＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg ＝54，解得x2＝10－7，所以，＝10，因此，老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍，故選B.【答案】　B 求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．　據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：min)為f(x)＝(A，c為常數(shù))．已知某工人組裝第4件產(chǎn)品用時30 min，組裝第A件產(chǎn)品用時15 min，那么c和A的值分別是(　　)A．75，25 B．75，16C．60，25 D．60，16解析：選D.由題意可知4<A，則解得　　　　　　構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題角度一　構(gòu)建二次函數(shù)、分段函數(shù)、“對勾”函數(shù)模型 (2021·濟南一中月考)響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)＝x2＋2x.在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)＝7x＋－37.每件產(chǎn)品售價6元．通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解】　(1)因為每件商品售價為6元，則x萬件商品銷售收入為6x萬元．依題意得當(dāng)0<x<8時，P(x)＝6x－－2＝－x2＋4x－2，當(dāng)x≥8時，P(x)＝6x－－2＝35－.故P(x)＝(2)當(dāng)0<x<8時，P(x)＝－(x－6)2＋10.此時，當(dāng)x＝6時，P(x)取最大值，最大值為10萬元．當(dāng)x≥8時，P(x)＝35－≤35－2＝15(當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時，取等號)．此時，當(dāng)x＝10時，P(x)取得最大值，最大值為15萬元．因為10<15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．建模解決實際問題的三個步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型．(2)解模：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解．(3)回歸：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入的討論，作出評價、解釋，返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．即：[提醒]　(1)構(gòu)建函數(shù)模型時不要忘記考慮函數(shù)的定義域．(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．　角度二　構(gòu)建指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型某高校為提升科研能力，計劃逐年加大科研經(jīng)費投入．若該高校2020年全年投入科研經(jīng)費1 300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費開始超過2 000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年【解析】　若2021年是第1年，則第n年全年投入的科研經(jīng)費為1 300×1.12n萬元，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2024年全年投入的科研經(jīng)費開始超過2 000萬元，故選C.【答案】　C 指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)模型(1)在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸?/span>y＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應(yīng)求解．(2)有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題，一般都會給出函數(shù)解析式，要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)值回答其實際意義．　 1．一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x＞20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為____________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)．解析：年銷售總收入減去年總投資即可得到年利潤，年總投資為(x＋100)萬元，故函數(shù)關(guān)系式為y＝當(dāng)0<x≤20時，x＝16時函數(shù)值最大，且最大值為156；當(dāng)x>20時，y<140.故年產(chǎn)量為16件時，年利潤最大．答案：y＝　162．里氏震級M的計算公式為：M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標準地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1，A2，則9＝lg A1－lg A0＝lg ，則＝109，5＝lg A2－lg A0＝lg ，則＝105，所以＝104.即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10 000倍．　答案：6　10 000高考新聲音系列3　數(shù)學(xué)與美育教育——“斷臂維納斯”身高推演2019年高考全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)第4題考查了斷臂維納斯的身高，此題以著名的雕塑“斷臂維納斯”為命題背景，探討人體黃金分割之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育，考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．我們應(yīng)該為這次高考數(shù)學(xué)命題者點一個贊，讓維納斯進入了高考數(shù)學(xué)，可以說這是一次全國性的數(shù)學(xué)美的普及活動，使人們對抽象的數(shù)學(xué)不得不刮目相看．從該題的命題立意、命題導(dǎo)向、解題途徑等方面來看，這道網(wǎng)紅題可圈可點． (2019·高考全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是(　　)A．165 cm　　　　　　　 B．175 cmC．185 cm D．190 cm【解析】　26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故選B.【答案】　B 本題涉及了“黃金比”和“斷臂維納斯”，并滲透了估值思想．以往高考試題中往往選擇中國古代《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)文化題，這一網(wǎng)紅題選擇大家熟悉的黃金分割為背景，通過設(shè)置真實情景，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”到“解決問題”能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠靈活運用所學(xué)知識分析問題和解決問題．　中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)A的周長和面積同時平分的圖象對應(yīng)的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，給出下列命題：①對于任意一個圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個；②函數(shù)f(x)＝ln(x2＋)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；③函數(shù)y＝1＋sin x可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；④函數(shù)y＝2x＋1可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；⑤函數(shù)y＝f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形．其中正確的命題是________．(填序號)解析：①對于任意一個圓O，其對稱軸有無數(shù)條，所以其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個，①正確；②函數(shù)f(x)＝ln(x2＋)的定義域為R，值域為[0，＋∞)，其圖象關(guān)于y軸對稱，且在x軸及其上方，故不可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，②錯誤；③根據(jù)y＝sin x的圖象可知函數(shù)y＝1＋sin x的圖象可以將圓的周長和面積平分，又y＝1＋sin x的圖象可以延伸，所以可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，③正確；④函數(shù)y＝2x＋1的圖象只要過圓心，就可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”，④正確；⑤錯誤，有些中心對稱圖形對應(yīng)的函數(shù)不一定是圓的“優(yōu)美函數(shù)”，比如“雙曲線”．答案：①③④

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