2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第9講函數(shù)與方程學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第9講　函數(shù)與方程最新考綱考向預(yù)測結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).命題趨勢利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或函數(shù)的圖象，對函數(shù)是否存在零點(diǎn)進(jìn)行判斷或利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在情況求相關(guān)參數(shù)的范圍，是高考的熱點(diǎn)，題型以選擇、填空題為主，也可和導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯出現(xiàn)解答題，中高檔難度.核心素養(yǎng)直觀想象、邏輯推理 1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：一般地，把使函數(shù)y＝f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．2．函數(shù)零點(diǎn)的判定若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點(diǎn)零點(diǎn)x1，x2x1無常用結(jié)論有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的三個(gè)結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．常見誤區(qū)1．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象等綜合考慮．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(　　)(2)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值．(　　)(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn)．(　　)(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(多選)(易錯(cuò)題)下列說法中正確的是(　　)A．函數(shù)f(x)＝x＋1的零點(diǎn)為(－1，0)B．函數(shù)f(x)＝x＋1的零點(diǎn)為－1C．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)D．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)解析：選BD.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可知f(x)＝x＋1的零點(diǎn)為－1.函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此B，D正確，A，C錯(cuò)誤．3．函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的大致范圍是(　　)A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，3)C.和(3，4) D．(4，＋∞)解析：選B.易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故選B.4．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有________個(gè)．解析：依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以可知，f(x)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有3個(gè)．答案：35．已知函數(shù)f(x)＝2ax－a＋3，若?x∈(－1，1)，使得f(x)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：依題意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)　　　　　　函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 (一題多解)函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　)A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】　方法一(定理法)：函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的定義域?yàn)?0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，圖象是一條連續(xù)曲線．由題意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2有惟一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)．方法二(圖象法)：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍．作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)．故選B.【答案】　B 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法方法解讀適合題型定理法利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷能夠容易判斷區(qū)間端點(diǎn)值所對應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)圖象法畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷容易畫出函數(shù)的圖象　 1．已知實(shí)數(shù)a>1，0<b<1，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　)A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析：選B.因?yàn)?/span>a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，可知f(x)在區(qū)間(－1，0)上存在零點(diǎn)．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x，則函數(shù)y＝f(x)(　　)A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)解析：選D.令f(x)＝0得x＝ln x.作出函數(shù)y＝x和y＝ln x的圖象，如圖，顯然y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)．　　　　　　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 (一題多解)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．3 B．2C．1 D．0【解析】　方法一(方程法)：由f(x)＝0，得或解得x＝－2或x＝e.因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．方法二(圖形法)：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】　B 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)圖形法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．　 1．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.令f(x)＋3x＝0，則或解得x＝0或x＝－1，所以函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.2．函數(shù)f(x)＝3x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.由題意知f(x)單調(diào)遞增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)不斷，所以f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．3．函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的圖象．如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選C.　　　　　　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 (1)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C. D.(2)(2020·蘇北四市高三質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【解析】　(1)由題意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，設(shè)t＝x＋，x∈，則t的取值范圍是.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1.【答案】　(1)D　(2)[－1，＋∞) 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．　 1．函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(1，3)　　 B．(1，2) C．(0，3)　　 D．(0，2)解析：選C.由題意，知函數(shù)f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，所以即解得0<a<3，故選C.2．若函數(shù)f(x)＝|2x－4|－a存在兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)為正數(shù)，另一個(gè)為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為(　　)A．(0，4) B．(0，＋∞)C．(3，4) D．(3，＋∞)解析：選C.令g(x)＝|2x－4|，其圖象如圖所示，若f(x)＝|2x－4|－a存在兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)為正數(shù)，另一個(gè)為負(fù)數(shù)，則a∈(3，4)．思想方法系列6　破解嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題函數(shù)的零點(diǎn)是高考命題的熱點(diǎn)，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或范圍，?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)零點(diǎn)，與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯．對于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．類型一　嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 (2021·沈陽市教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一))已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝，則函數(shù)g(x)＝f2(x)－f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．4　　　　　　　　　 B．5C．6 D．7【解析】　因?yàn)楫?dāng)x∈(0，2]時(shí)，f(x)＝(x－1)2，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝f(x－2)＋1，所以將f(x)在區(qū)間(0，2]上的圖象向右平移2個(gè)單位長度，同時(shí)再向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)f(x)在(2，4]上的圖象．同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的圖象．再由f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱得到f(x)在(－∞，0)上的圖象，從而得到f(x)在其定義域內(nèi)的圖象，如圖所示：令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由圖可知直線y＝0與y＝1和函數(shù)y＝f(x)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)共有6個(gè)零點(diǎn)．故選C.【答案】　C 破解此類問題的主要步驟(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點(diǎn)．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．　類型二　求嵌套函數(shù)零點(diǎn)中的參數(shù) 函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．　【解析】　設(shè)t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，則a＝f(t)．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作y＝a，y＝f(t)的圖象(如圖)．當(dāng)a≥－1時(shí)，y＝a與y＝f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1，t2(不妨設(shè)t2>t1)，則t1<－1，t2≥－1.當(dāng)t1<－1時(shí)，t1＝f(x)有一解；當(dāng)t2≥－1時(shí)，t2＝f(x)有兩解．綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個(gè)不同的零點(diǎn)．【答案】　[－1，＋∞) (1)求解本題抓住分段函數(shù)的圖象性質(zhì)，由y＝a與y＝f(t)的圖象，確定t1，t2的取值范圍，進(jìn)而由t＝f(x)的圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程，還應(yīng)注意讓參數(shù)的取值“動(dòng)起來”，抓臨界位置，動(dòng)靜結(jié)合．　設(shè)定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)f(x)＝若b<0，則關(guān)于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＝0的不同實(shí)數(shù)根共有(　　)A．4個(gè) B．5個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)解析：選C.由[f(x)]2＋bf(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝－b.所以方程[f(x)]2＋bf(x)＝0的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝0，y＝－b(b<0)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，f(x)＝0有3個(gè)實(shí)數(shù)根，f(x)＝－b(b<0)有4個(gè)實(shí)數(shù)根，所以[f(x)]2＋bf(x)＝0共有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．故選C.

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