第7講　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)最新考綱考向預(yù)測1.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用．2．理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)．3．知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．4．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a>0且a≠1).命題趨勢對數(shù)函數(shù)中利用性質(zhì)比較對數(shù)值大小，求對數(shù)型函數(shù)的定義域、值域、最值等仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型多以選擇、填空題為主，屬中檔題.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象 1．對數(shù)概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么就稱b是以a為底數(shù)N的對數(shù)，記作b＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0且a≠1)運(yùn)算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)   2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．常用結(jié)論1．換底公式的三個(gè)重要結(jié)論①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad.2．對數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)(1)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限．(2)函數(shù)y＝logax與y＝logx(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對稱．(3)在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．常見誤區(qū)1．在運(yùn)算性質(zhì)logaMn＝nlogaM中，要特別注意M>0的條件，當(dāng)n∈N*，且n為偶數(shù)時(shí)，在無M>0的條件下應(yīng)為logaMn＝nloga|M|.2．研究對數(shù)函數(shù)問題應(yīng)注意函數(shù)的定義域．3．解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，若底數(shù)不確定，應(yīng)注意對a>1及0<a<1進(jìn)行分類討論．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)(2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　)(3)函數(shù)y＝logax2與函數(shù)y＝2logax是相等函數(shù)．(　　)(4)若M>N>0，則logaM>logaN.(　　)(5)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√2．log29·log34＝(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C．2 D．4解析：選D.原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4××＝4.3．函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象大致是(　　)解析：選C.函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象是把函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位長度得到的，圖象過定點(diǎn)(0，0)，函數(shù)定義域?yàn)?－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，故選C.4．(易錯(cuò)題)函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)開_______．解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．答案：(－1，0)∪(0，2]5．(易錯(cuò)題)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________．解析：分兩種情況討論：①當(dāng)a>1時(shí)，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②當(dāng)0<a<1時(shí)，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或a＝.答案：2或　　　　　　對數(shù)式的化簡與求值[題組練透]1．(2020·高考全國卷Ⅰ)設(shè)alog34＝2，則4－a＝(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C. D.解析：選B.方法一：因?yàn)?/span>alog34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故選B.方法二：因?yàn)?/span>alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故選B.方法三：因?yàn)?/span>alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，兩邊同時(shí)平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故選B.方法四：因?yàn)?/span>alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故選B.方法五：令4－a＝t，兩邊同時(shí)取對數(shù)得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，因?yàn)?/span>alog34＝2，所以log3＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故選B.方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4.由alog34＝2，得a＝＝＝log49，所以log4＝log49，所以＝9，t＝，即4－a＝，故選B.2．計(jì)算：lg－lg 8＋lg 7＝________．解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.答案：3．計(jì)算：(1)÷100－；(2).解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝＝＝＝＝＝1. [提醒]　對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對數(shù)符號有意義的前提下才成立的，不能出現(xiàn)log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的錯(cuò)誤．　 　　　　　　對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 (1)若函數(shù)y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是(　　)(2)若方程4x＝logax在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．【解析】　(1)由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}，所以a>1，則y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對稱．因此y＝loga|x|的圖象大致為選項(xiàng)B.(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當(dāng)a>1時(shí)不滿足條件，當(dāng)0<a<1時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)在上的圖象，可知，只需兩圖象在上有交點(diǎn)即可，則f≥g，即2≥loga，則a≤，所以a的取值范圍為.【答案】　(1)B　(2) 對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．　 函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是(　　)解析：選C.函數(shù)y＝2log4(1－x)的定義域?yàn)?－∞，1)，排除A，B；函數(shù)y＝2log4(1－x)在定義域上單調(diào)遞減，排除D.選C.　　　　　　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度一　比較對數(shù)值的大小 (2020·高考全國卷Ⅲ)設(shè)a＝log32，b＝log53，c＝，則(　　)A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【解析】　因?yàn)?3<32，所以2<3，所以log32<log33＝，所以a<c.因?yàn)?3>52，所以3>5，所以log53>log55＝，所以b>c，所以a<c<b，故選A.【答案】　A 比較對數(shù)值的大小的方法　 角度二　解簡單的對數(shù)不等式或方程 (1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝log3x，則滿足不等式f(x)>0的x的取值范圍是________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】　(1)由題意知y＝f(x)的圖象如圖所示，所以滿足f(x)>0的x的取值范圍是(－1，0)∪(1，＋∞)．(2)由f(a)<f(－a)得或即或解得0<a<1或a<－1.【答案】　(1)(－1，0)∪(1，＋∞)(2)(－∞，－1)∪(0，1) 解對數(shù)不等式的函數(shù)及方法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論；(2)形如logax>b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式．　 角度三　對數(shù)型函數(shù)的綜合問題 (1)(多選)已知函數(shù)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，則(　　)A．f(x)在(2，6)上單調(diào)遞增B．f(x)在(2，6)上的最大值為2ln 2C．f(x)在(2，6)上單調(diào)遞減D．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為(　　)A．[1，2) B．[1，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【解析】　(1)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定義域?yàn)?2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，則y＝ln t．因?yàn)槎魏瘮?shù)t＝(x－2)(6－x)的圖象的對稱軸為直線x＝4，又f(x)的定義域?yàn)?2，6)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，且在(2，4)上單調(diào)遞增，在(4，6)上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝4時(shí)，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故選BD.(2)令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數(shù)在(－∞，1]上遞減，則有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．【答案】　(1)BD　(2)A 解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟　 1．(2020·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(1＋2－x)，則函數(shù)f(x)的值域是(　　)A．[0，2) B．(0，＋∞)C．(0，2) D．[0，＋∞)解析：選B.f(x)＝log2(1＋2－x)，因?yàn)?＋2－x>1，所以log2(1＋2－x)>0，所以函數(shù)f(x)的值域是(0，＋∞)，故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)解析：因?yàn)?/span>f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a>1，所以a＋1>2.因?yàn)?/span>f(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)<f(a＋1)．答案：<3．已知a>0，若函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上單調(diào)遞增，則y＝ax2－x在[3，4]上單調(diào)遞增，且y＝ax2－x>0恒成立，即解得a>.答案：思想方法系列5　換元法的應(yīng)用換元法又稱變量代換法．通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者將題目變?yōu)槭煜さ男问?，簡化?fù)雜的計(jì)算和推證． 若x，y，z∈R＋，且3x＝4y＝12z，∈(n，n＋1)，n∈N，則n的值是(　　)A．2　　　　　　　　　　 B．3C．4 D．5【解析】　設(shè)3x＝4y＝12z＝t(t>1)，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，所以＝＝＋＝log312＋log412＝2＋log34＋log43.因?yàn)?<log34<2，0<log43<1，所以1<log34＋log43<3.又log34＋log43>2＝2，所以4<2＋log34＋log43<5，即∈(4，5)．所以n＝4.【答案】　C 換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中再研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化．換元法經(jīng)常用于研究指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡求值、解析幾何中計(jì)算等．　 函數(shù)f(x)＝log2·log(2x)的最小值為________．　解析：依題意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，當(dāng)log2x＝－，即x＝時(shí)等號成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為－.答案：－

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