第6講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱考向預(yù)測1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景．2．理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算．3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)．4．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.命題趨勢在指數(shù)函數(shù)中，比較大小、與其他知識(shí)結(jié)合考查指數(shù)型函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用以及指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用是考查的熱點(diǎn)，題型一般為選擇、填空題，中檔難度.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象 1．根式(1)根式的概念①一般地，如果一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么稱x為a的n次實(shí)數(shù)方根．式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．②a的n次方根的表示：xn＝a?(2)根式的性質(zhì)①()n＝a(n∈N*，且n>1)．②＝2．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù) 常用結(jié)論指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)(0，1)，(1，a)，，依據(jù)這三點(diǎn)的坐標(biāo)可得到指數(shù)函數(shù)的大致圖象．(2)函數(shù)y＝ax與y＝(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱．(3)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝bx的圖象特征：在第一象限內(nèi)，圖象越高，底數(shù)越大；在第二象限內(nèi)，圖象越高，底數(shù)越?。?/span>常見誤區(qū)解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，若底數(shù)不確定，應(yīng)注意對a>1及0<a<1進(jìn)行分類討論．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)＝()n＝a.(　　)(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)(3)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．(　　)(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)(5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(　　)(6)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×2．化簡(x<0，y<0)得(　　)A．2x2y　　　　　　　 B．2xyC．4x2y D．－2x2y解析：選D.因?yàn)?/span>x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.3．已知當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝(3a－2)x的值總大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A. B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D.解析：選C.根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知3a－2>1，解得a>1.故選C.4．(易錯(cuò)題)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，則f(－1)＝________．解析：由題意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.答案：5．(易錯(cuò)題)已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：當(dāng)0<a<1時(shí)，a－a2＝，所以a＝或a＝0(舍去)．當(dāng)a>1時(shí)，a2－a＝，所以a＝或a＝0(舍去)．綜上所述，a＝或a＝.答案：或　　　　　　指數(shù)冪的化簡與求值[題組練透]1．若實(shí)數(shù)a>0，則下列等式成立的是(　　)A．(－2)－2＝4　　　　 B．2a－3＝C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝解析：選D.對于A，(－2)－2＝，故A錯(cuò)誤；對于B，2a－3＝，故B錯(cuò)誤；對于C，(－2)0＝1，故C錯(cuò)誤；對于D，(a－)4＝.2．計(jì)算：－＋＋(0.002)－＝________．解析：原式＝－＋＋＝－＋＋10＝10.答案：103．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，則f(2a)＝________．解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.答案：74．化簡下列各式：(1)[(0.064)－2.5]－ －π0；(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).解：(1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝－－1＝0.(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(a·b－)＝－a－·b－＝－·＝－. [提醒]　運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．　 　　　　　　指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 (1)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象為(　　)(2)若函數(shù)y＝|3x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為________．【解析】　(1)y2＝3x與y4＝10x在R上單調(diào)遞增；y1＝與y3＝10－x＝在R上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)作直線x＝1(圖略)，該直線與四條曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)對應(yīng)各底數(shù)，易知選A.(2)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．由圖象知，其在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以k的取值范圍為(－∞，0]．【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]【引申探究】1．(變條件)本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)＝|3x－1|－k有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為________．解析：函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，即y＝|3x－1|與y＝k有一個(gè)交點(diǎn)．由本例(2)得y＝|3x－1|的圖象如圖所示，故當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有惟一的交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．答案：{0}∪[1，＋∞)2．(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋喝艉瘮?shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：作出函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象如圖所示．由圖象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 指數(shù)函數(shù)圖象問題的求解策略變換作圖對指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問題得解數(shù)形結(jié)合一些指數(shù)型方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解　 1．(2020·南京市、鹽城市高三年級(jí)第二次模擬考試)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：選D.由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.2．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是________．解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個(gè)交點(diǎn)．(1)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；(2)當(dāng)a＞1時(shí)，如圖②，而y＝2a＞1不符合要求．所以0＜a＜.答案：　　　　　　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度一　比較指數(shù)冪的大小 (2021·宿州質(zhì)檢)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，則　(　　)A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>b>a【解析】　方法一：由指數(shù)函數(shù)y＝0.3x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，得a<b，由冪函數(shù)y＝x0.5在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，得c>b，故選D.方法二：因?yàn)?/span>＝0.3<1，且＝<1，又a，b，c都為正數(shù)，所以c>b>a，故選D.【答案】　D 比較指數(shù)冪大小的常用方法一是單調(diào)性法，不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底．二是取中間值法，不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值(特別是0，1)比較大小，然后得出大小關(guān)系．三是圖解法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，借助圖象比較大小．　 角度二　解簡單的指數(shù)方程或不等式 (1)若2x2＋1≤，則函數(shù)y＝2x的值域是(　　)A. B.C. D．[2，＋∞)(2)已知實(shí)數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________．【解析】　(1)因?yàn)?x2＋1≤＝24－2x，則x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.(2)當(dāng)a<1時(shí)，41－a＝21，解得a＝；當(dāng)a>1時(shí)，不成立應(yīng)舍去．故a的值為.【答案】　(1)B　(2) 解簡單的指數(shù)方程或不等式問題時(shí)，應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般方程或不等式求解．要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論．　 角度三　研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì) (1)函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間為________．(2)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________．【解析】　(1)設(shè)u＝－x2＋2x＋1，因?yàn)?/span>y＝在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間．又u＝－x2＋2x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1]，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1]．(2)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4] 求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的方法(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)求值域時(shí)，要借助換元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的單調(diào)性求出y＝af(x)的值域．(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)單調(diào)性的判斷，首先確定定義域D，再分兩種情況討論：當(dāng)a>1時(shí)，若f(x)在區(qū)間(m，n)上(其中(m，n)?D)具有單調(diào)性，則函數(shù)y＝af(x)在區(qū)間(m，n)上的單調(diào)性與f(x)在區(qū)間(m，n)上的單調(diào)性相同；當(dāng)0<a<1時(shí)，若f(x)在區(qū)間(m，n)上(其中(m，n)?D)具有單調(diào)性，則函數(shù)y＝af(x)在區(qū)間(m，n)上的單調(diào)性與f(x)在區(qū)間(m，n)上的單調(diào)性相反．　 1．若函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0且a≠1)的值域?yàn)閇1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的關(guān)系是(　　)A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能確定解析：選A.由題意知a>1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．2．若函數(shù)f(x)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：選B.將原函數(shù)看成復(fù)合函數(shù)f(x)＝，u＝|x－2|，f(x)是關(guān)于u的減函數(shù)，u在[2，＋∞)為增函數(shù)，在(－∞，2]為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)知，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，＋∞)．3．定義：區(qū)間[x1，x2](x1<x2)的長度為x2－x1.已知函數(shù)y＝2|x|的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇1，2]，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為(　　)A. B．1C. D．2解析：選B.如圖是函數(shù)y＝2|x|值域?yàn)閇1，2]上的圖象，使函數(shù)y＝2|x|的值域?yàn)閇1，2]的區(qū)間長度最小的區(qū)間為[－1，0]，[0，1]，區(qū)間長度最大的區(qū)間為[－1，1]，從而由定義可知區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為2－1＝1.高考新聲音系列2　德育為先，立德樹人——以德育為背景的高考試題道德源于生活，以德育為背景的考題，多以民族精神、理想信念、道德品質(zhì)、文明行為、社會(huì)公德、遵紀(jì)守法、心理健康等生活內(nèi)容為題材，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)． (2020·新高考卷Ⅰ)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln 2≈0.69)(　　)A．1.2天　　　　　　 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【解析】　因?yàn)?/span>R0＝1＋rT，所以3.28＝1＋6r，所以r＝0.38.若則e0.38(t2－t1)＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，選B.【答案】　B 例題以新冠肺炎為背景設(shè)計(jì)，情境貼近實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)社會(huì)，體現(xiàn)了品德教育的素養(yǎng)導(dǎo)向，著重考查學(xué)生的理性思維以及使用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力．　 (2019·高考全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行．L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r).設(shè)α＝.由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中≈3α3，則r的近似值為(　　)A.R　　B.R　　C.R　　D.R解析：選D.由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因?yàn)?/span>α＝，所以＋＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即3≈，所以r≈·R，故選D.

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