蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第2章軸對(duì)稱圖形章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷+解析卷）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點(diǎn)1 判斷軸對(duì)稱圖形】
【方法點(diǎn)撥】掌握軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。
注意：理解軸對(duì)稱圖形的定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：
（1）軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形，反映的是這個(gè)圖形自身的性質(zhì)。
（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。
【例1】（2019春?相城區(qū)期中）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2018秋?開封期中）下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2018秋?宜興市校級(jí)期中）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【考點(diǎn)2 角平分線的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等
牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)比較簡單的方法；
（2）當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問題時(shí)，通常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段。
【例2】（2019春?港南區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△DBE的周長是（）
A．6 cmB．7 cmC．8 cmD．9 cm
【變式2-1】（2018秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，已知△ABC的面積為28．AC＝6，DE＝4，則AB的長為（）
A．6B．8C．4D．10
【變式2-2】（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝2，則BF的長為（）
A．3B．4C．5D．6
【變式2-3】（2018秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，則AC長是（）
A．3B．4C．6D．5
【考點(diǎn)3 線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等
注意：（1）這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長度。
（2）在使用該定理時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。
【例3】（2019春?普寧市期中）如圖：在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，BC＝6cm，則△ADE的周長是（）
A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm
【變式3-1】（2019春?南華縣期中）如圖，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長是（）
A．7B．8C．9D．10
【變式3-2】（2018秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，DE是AB的垂直平分線，△ABC的周長為19，△BCE的周長為12，則線段AB的長為（）
A．9B．8C．7D．6
【變式3-3】（2018春?雨城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【考點(diǎn)4 等腰三角形的性質(zhì)】
【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：
1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。
2.等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）。
3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。
【例4】（2018春?金水區(qū)校級(jí)期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）
A．50°B．130°C．50°或 140°D．50°或 130°
【變式4-1】（2018秋?洪山區(qū)期中）如圖，已知AB＝AC＝BD，則∠1與∠2的關(guān)系是（）
A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2
【變式4-2】（2018秋?邗江區(qū)期中）如圖，若AB＝AC，下列三角形能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）
【變式4-3】（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，在第一個(gè)△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二個(gè)△A1A2C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法進(jìn)行下去，則以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（）
A．175°B．170°C．10°D．5°
【考點(diǎn)5 軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)：
1.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。
2.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。
3.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱。
【例5】（2019春?貴陽期末）如圖，點(diǎn)P是△ACB外的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是△ACB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于CA的對(duì)稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上，P點(diǎn)關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)P2落在ED的延長線上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，則線段P1P2的長為．
【變式5-1】（2019春?普寧市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AB，AC對(duì)稱的點(diǎn)分別為E、F，連接EF分別交AB、AC于M、N，分別連接DM、DN，已知△DMN的周長是6cm，那么EF＝．
【變式5-2】（2019春?山亭區(qū)期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，MN分別交OA，OB于C，D點(diǎn)，若△PCD的周長為30cm，則線段MN的長為 cm．
【變式5-3】（2018春?鳳翔縣期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在線段MN的延長線上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，則線段QR的長為．
【考點(diǎn)6 設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案】
【方法點(diǎn)撥】設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案往往以正方形、菱形、等邊三角形和網(wǎng)格紙（或格點(diǎn)紙）為基礎(chǔ)，因?yàn)檫@些圖形本身就是軸對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)容易設(shè)計(jì)出它們的對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ部分。設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案時(shí)，要先確定出有幾條對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸的不同，合理地設(shè)計(jì)出整體的軸對(duì)稱圖案。具體設(shè)計(jì)時(shí)，我們通常先以一條對(duì)稱軸為基線，根據(jù)構(gòu)思或需要，再添加其他的對(duì)稱軸，進(jìn)一步設(shè)計(jì)美觀、完善的圖案。
注意：（1）要設(shè)計(jì)的圖案是由哪些基本圖形組成的；
（2）是不是軸對(duì)稱圖形，如果是軸對(duì)稱圖形，要先確定它的對(duì)稱軸；
（3）設(shè)計(jì)軸對(duì)稱的美術(shù)圖案時(shí)，除圖形對(duì)稱外，有時(shí)顏色也要“對(duì)稱”。
【例6】（2019春?赫山區(qū)期末）如圖是網(wǎng)格中由五個(gè)小正方形組成的圖形，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）
（1）圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸；
（2）圖②中，添加一塊小正方形，使之成為軸對(duì)稱圖形，且只有一條對(duì)稱軸（畫出一個(gè)即可）
【變式6-1】（2019春?東明縣期末）如圖，下列4×4網(wǎng)格圖都是由16個(gè)相間小正方形組成，每個(gè)網(wǎng)格圖中有4個(gè)小正方形已涂上陰影，在空白小正方形中，選取2個(gè)涂上陰影，使6個(gè)陰影小正方形組成個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出四種方案．
【變式6-2】（2018秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．請(qǐng)分別在下列圖中畫一個(gè)位置不同、頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形，使其與△ABC成軸對(duì)稱圖形．
【變式6-3】（2018秋?東臺(tái)市期中）方格紙中每個(gè)小方格都的邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”．
（1）在圖1中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)稱圖形；
（2）在圖2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形，使其面積等于10；
（3）直接寫出圖3中△FGH的面積是．
【考點(diǎn)7 等腰三角形的判定】
【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對(duì)等邊”
牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”與等腰三角形的判定“等角對(duì)等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；
（2）判定定理可以用來判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。
【例7】（2019春?深圳期中）如圖，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求證：△DGE是等腰三角形．
【變式7-1】（2018秋?雙陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．求證：△BED是等腰三角形．
【變式7-2】（2018秋?鳩江區(qū)期中）已知：如圖，O為△ABC的∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，∠1＝∠2，求證：△ABC是等腰三角形．
【變式7-3】（2019秋?望謨縣期中）已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC．
求證：△ABC是等腰三角形．
【考點(diǎn)8 “三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。
【例8】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點(diǎn)，求證：AG⊥EF．
【變式8-1】（2019秋?青山區(qū)期中）在△ABC中，BC邊上的高AG平分∠BAC．
（1）如圖1，求證：AB＝AC；
（2）如圖2，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的長．
【變式8-2】（2019?衡陽校級(jí)期中）已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．
【變式8-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D為BC的中點(diǎn)，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長線交于M、N，問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．
【考點(diǎn)9 等邊三角形的判定與性質(zhì)】
【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：
（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且具有3條對(duì)稱軸；
（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60°。
等邊三角形的判定：
（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。
（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。
（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。
（4）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
【例9】（2018秋?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．
（1）求證：△PMN是等邊三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的長．
【變式9-1】（2018秋?邵陽縣期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周長．
【變式9-2】（2019秋?壽光市期末）如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點(diǎn)M，連接CD交BE于點(diǎn)N，連接MN得△BMN．
（1）求證：△ABE≌△DBC．
（2）試判斷△BMN的形狀，并說明理由．
【變式9-3】（2019秋?中江縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？
（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？
（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
【考點(diǎn)10 翻折變換】
【例10】（2018春?錦江區(qū)期末）在探索三角形全等的條件時(shí)，老師給出了定長線段a，b，且長度為b的邊所對(duì)的角為n°（0＜n＜90°）小明和小亮按照所給條件分別畫出了圖1中的三角形，他們把兩個(gè)三角形重合在一起（如圖2），其中AB＝a，BD＝BC＝b，發(fā)現(xiàn)它們不全等，但他們對(duì)該圖形產(chǎn)生了濃厚興趣，并進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：
（1）當(dāng)n＝45時(shí)（如圖2），小明測(cè)得∠ABC＝65°，請(qǐng)根據(jù)小明的測(cè)量結(jié)果，求∠ABD的大??；
（2）當(dāng)n≠45時(shí)，將△ABD沿AB翻折，得到△ABD′（如圖3），小明和小亮發(fā)現(xiàn)∠D′BC的大小與角度n有關(guān)，請(qǐng)找出它們的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖4，在（2）問的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)B作AD′的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長AE到點(diǎn)F，使得EF＝（AD+AC），連接BF，請(qǐng)判斷△ABF的形狀，并說明理由．
【變式10-1】（2019春?遷安市期末）已知∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）
觀察：
（1）如圖1，若∠OBA和∠OAB的平分線交于點(diǎn)C，∠ACB＝ °
猜想：
（2）如圖2，隨著點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)E，∠E的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠E的度數(shù)；如果會(huì)改變，說明理由．
拓展：
（3）如圖3，在（2）基礎(chǔ)上，小明將△ABE沿MN折疊，使點(diǎn)E落在四邊形ABMN內(nèi)點(diǎn)E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度數(shù)．
【變式10-2】（2019春?硚口區(qū)月考）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接EP，F(xiàn)P．過FP上的點(diǎn)M作MN∥EP，交CD于點(diǎn)N，且∠MNF＝∠AEP．
（1）求證：AB∥CD；
（2）如圖2，將射線FC沿FP折疊后交EP于點(diǎn)G，GH平分∠EGF，若GH∥AB，請(qǐng)寫出∠EPF與∠GFC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后兩條射線相交于點(diǎn)Q，直接寫出當(dāng)∠EPF＝度時(shí)，EQ⊥FQ．
【變式10-3】（2019春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由
思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度數(shù)；
拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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