3.1 對數(shù)函數(shù)的概念
一、【素養(yǎng)目標(biāo)】1．理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)．(數(shù)學(xué)抽象)2．了解反函數(shù)的概念，掌握互為反函數(shù)的特征．(直觀想象)3．能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象說明對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．(直觀想象)4．會(huì)解與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域、值域問題．(邏輯推理)5．掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)進(jìn)行對數(shù)大小的比較．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
二、【課程的主要內(nèi)容】在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)類比指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助對數(shù)函數(shù)的圖象得出其性質(zhì)，并把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中，學(xué)生通過對對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
對數(shù)函數(shù)1．定義：給定正數(shù)a，且a≠1，對應(yīng)每一個(gè)正數(shù)y，都存在唯一確定的實(shí)數(shù)x，使得y＝ax.則______是______的函數(shù)，稱為以a為底的對數(shù)函數(shù)，記作x＝lgay.一般寫成______________________________．2．性質(zhì)：(1)定義域是(0，＋∞)；(2)圖象過定點(diǎn)(1，0)；3．特殊的對數(shù)函數(shù)：常用對數(shù)函數(shù)：y＝lg x；自然對數(shù)函數(shù)：y＝ln x.
y＝lgax(a＞0且a≠1)
思考：為什么對數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1，0)?提示：因?yàn)閤＝1時(shí)，y＝lga1＝0.
反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax是對數(shù)函數(shù)y＝lgax的反函數(shù)，對數(shù)函數(shù)y＝lgax也是指數(shù)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)．即它們互為反函數(shù)．
1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是( )A．y＝2＋lg3xB．y＝lga(2a)(a＞0，且a≠1)C．y＝lgax2(a＞0，且a≠1)D．y＝ln x[解析] 判斷一個(gè)函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)，其關(guān)鍵是看其是否具有“y＝lgax”的形式，A，B，C全錯(cuò)，D正確．
3．對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(16，4)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為________________．[解析] 設(shè)對數(shù)函數(shù)為y＝lgax，則4＝lga16，∴a4＝16，∴a＝2，∴y＝lg2x.4．對數(shù)函數(shù)y＝lg3x的反函數(shù)為_________．[解析] 根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)可知答案為y＝3x.
下列函數(shù)表達(dá)式中，是對數(shù)函數(shù)的有( )①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝2lg4x；⑦y＝lg2(x＋1)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)[分析] (1)對數(shù)概念對底數(shù)、真數(shù)、系數(shù)的要求是什么？
[解析] 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，∴①不是對數(shù)函數(shù)；由于②中底數(shù)a∈R不能保證a＞0且a≠1，∴②不是對數(shù)函數(shù)；由于⑤、⑦的真數(shù)分別為(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是對數(shù)函數(shù)；由于⑥中l(wèi)g4x系數(shù)為2，∴⑥不是對數(shù)函數(shù)；只有③、④符合對數(shù)函數(shù)的定義．三、【總結(jié)探究】
[歸納提升] 對于對數(shù)概念要注意以下兩點(diǎn)：(1)在函數(shù)的定義中，a＞0且a≠1.(2)在解析式y(tǒng)＝lgax中，lgax的系數(shù)必須為1，真數(shù)必須為x，底數(shù)a必須是大于0且不等于1的常數(shù)．
[分析] 依據(jù)使函數(shù)有意義的條件列出不等式組→解不等式組→寫出函數(shù)的定義域．
[歸納提升] 定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，若已知函數(shù)解析式求定義域，常規(guī)為：①分母不能為零，②0的零次冪與負(fù)指數(shù)次冪無意義，③偶次方根的被開方式(數(shù))非負(fù)，④求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)，除遵循前面求函數(shù)定義域的方法外，還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性．
[歸納提升] 同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，注意底數(shù)必須相同．
1．下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是( )A．y＝lgxa(x＞0且x≠1)B．y＝lg2x－1C．y＝2lg8xD．y＝lg5x[解析] A、B、C都不符合對數(shù)函數(shù)的定義，故選D．
[解析] 設(shè)對數(shù)函數(shù)為y＝lgax，則2＝lga9，∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝lg3x，故選B．
3．函數(shù)f(x)＝ln(1－x)的定義域是( )A．(0，1)B．[0，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)[解析] 由1－x＞0得x＞1，故選D．
4．如果函數(shù)y＝lg2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4，y0)，那么y0＝_____．[解析] 將A(4，y0)代入y＝lg2x得lg24＝y(tǒng)0，∴y0＝2.5．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝____________．[解析] 函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)是f(x)＝lgax，又f(2)＝1，即lga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝lg2x.

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.1 對數(shù)函數(shù)的概念

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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