專項(xiàng)訓(xùn)練2　垂徑定理的四種應(yīng)用技巧 方法指導(dǎo)：垂徑定理的巧用主要體現(xiàn)在求點(diǎn)的坐標(biāo)、解決最值問題、解決實(shí)際問題等．解題時，巧用弦的一半、圓的半徑和圓心到弦的垂線段三條線段組成的直角三角形，然后借助勾股定理，在這三個量中知道任意兩個，可求出第三個．  巧用垂徑定理求點(diǎn)的坐標(biāo)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8，0)，點(diǎn)C，D在以OA為直徑的半圓M上， 且四邊形OCDB是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(第1題)    巧用垂徑定理解決最值問題(對稱思想)2．如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為直線EF上的任意一點(diǎn)，求PA＋PC的最小值．(第2題)    巧用垂徑定理計(jì)算3．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)F，AO⊥BC，垂足為E，BC＝2.求：(1)AB的長；(2)⊙O的半徑．(第3題)      巧用垂徑定理解決實(shí)際問題(建模思想)4．某地有一座拱橋，它的橋拱是圓弧形，橋下的水面寬度為7.2 m，拱頂高出水面2.4 m，現(xiàn)有一艘寬3 m，船艙頂部為長方形并高出水面2 m的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？          參考答案1．解：如圖，連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四邊形OCDB為平行四邊形，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵MN⊥CD，∴CN＝DN＝CD＝4.易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝＝＝3.∴CH＝3.又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，3)．(第1題)2．解：如圖，易知點(diǎn)C關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，交MN于點(diǎn)P，連接PC，易知此時PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7.即PA＋PC的最小值為7.(第2題)【解析】本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將分散的線段轉(zhuǎn)化為一條線段，然后運(yùn)用勾股定理求出線段的長度．3．解：(1)連接AC，∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AF＝BF.∴AC＝BC.延長AE交⊙O于G，則AG為⊙O的直徑，又AO⊥BC，∴BE＝CE.∴AC＝AB.∴AB＝BC＝2.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在Rt△OAF中，AF＝，易得OA＝2，即⊙O的半徑為2.4．解：如圖，AB為水面位置，若MN為貨船頂部位置，則MN∥AB.設(shè)圓弧形橋拱AB所在圓的圓心為O，連接OA，ON，作OC⊥AB于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，交MN于點(diǎn)H，則OC⊥MN，由垂徑定理可知，D為AB的中點(diǎn)，H為MN的中點(diǎn)．所以AD＝3.6 m，NH＝1.5 m.(第4題)設(shè)OA＝r m，則OD＝OC－DC＝(r－2.4)m.在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝＝＝3.6(m)．所以DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．因?yàn)?/span>2.1 m＞2 m，所以此貨船能順利通過這座拱橋．

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