實數(shù)（提高） 【學習目標】1. 了解無理數(shù)和實數(shù)的意義；2. 了解有理數(shù)的概念、運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用 .【要點梳理】 要點一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).要點詮釋：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.         （2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.要點二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：    實數(shù)按與0的大小關系分：    實數(shù)   2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.要點三、實數(shù)大小的比較對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.要點四、實數(shù)的運算有理數(shù)關于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.【典型例題】類型一、實數(shù)概念 1、把下列各數(shù)分別填入相應的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次增加1）        【答案與解析】有理數(shù)有：， ，，，0，無理數(shù)有：，，， ，，， 0.3737737773……【總結升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如，， ，，.舉一反三： 【變式】判斷正誤，在后面的括號里對的用 “√”，錯的記“×”表示，并說明理由.
　　(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).(　　)
　　(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).(　　)
　　(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).(　　)
　　(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù).(　　)
　　(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).(　　)
　　(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).(　　)
　　(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).(　　)
　　(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).(　　)
【答案】(1)(×)無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有，1.020 020 002…這類的數(shù)也是無理數(shù).(2)(√)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù).(3)(×)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).(4)(×)0是有理數(shù).(5)(×)如，雖然不帶根號，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).(6)(×)如，雖然帶根號，但＝9，這是有理數(shù).(7)(×)有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù).(8)(√)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以     實數(shù)可以用有限小數(shù)和無限小數(shù)表示.類型二、實數(shù)大小的比較2、比較與的大?。?/span>【思路點撥】根據(jù)，，則來比較兩個實數(shù)的大?。?/span>【答案與解析】解：因為，．所以＜【總結升華】實數(shù)的比較有多種方法，除了上述方法外，還有作差法、作商法、同分子法、倒數(shù)法等.舉一反三：【變式】（2015?自貢）若兩個連續(xù)整數(shù)x、y滿足x＜+1＜y，則x+y的值是　 　．【答案】7．解：∵，∴，∵x＜+1＜y，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．類型三、實數(shù)的運算3、求的值．【答案與解析】解：（1）當≥0時，，，所以．（2）當＜0時，，，所以．即值為0或2．【總結升華】本題是涉及平方根（算術平方根）和立方根的綜合運算，但還應注意本題需要分類討論．要注意對的討論，而開立方不需要討論符號．舉一反三：【變式】若的兩個平方根是方程的一組解．   （1）求的值；   （2）求的算術平方根．【答案】解：（1）∵  的平方根是的一組解，則設的平方根為，，則根據(jù)題意得：解得          ∴  為．     （2）∵  ．∴  的算術平方根為4．類型四、實數(shù)的綜合運用4、已知，且，求的值．【答案與解析】解：∵  ，且，．∴  ，即，．解得  ＝3，＝5，得＝64．∴  ．【總結升華】本題考查非負性與立方、立方根的綜合運用，由，可求、，又，所以＝64，則可求．舉一反三：【變式】已知，求的值．【答案】解：知條件得，由②得，，∵  ，∴  ，則．把代入①得，＝1．∴  ．5、（2015秋?蕭山區(qū)期中）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點Q與數(shù)軸上的原點重合（提示：圓的周長C=2πr）（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點Q到達數(shù)軸上點A的位置，點A表示的數(shù)是　   　；（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第幾次滾動后，Q點距離原點最近？第幾次滾動后，Q點距離原點最遠？②當圓片結束運動時，Q點運動的路程共有多少？此時點Q所表示的數(shù)是多少？【思路點撥】（1）利用圓的半徑以及滾動周數(shù)即可得出滾動距離；（2）①利用滾動的方向以及滾動的周數(shù)即可得出Q點移動距離變化；②利用絕對值得性質(zhì)以及有理數(shù)的加減運算得出移動距離和Q表示的數(shù)即可．【答案與解析】解：（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點Q到達數(shù)軸上點A的位置，點A表示的數(shù)是﹣2π；故答案為：﹣2π； （2）①第4次滾動后Q點離原點最近，第3次滾動后，Q點離原點最遠；②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，Q點運動的路程共有：17×2π×1=34π；（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，1×2π=2π，此時點Q所表示的數(shù)是2π． 【總結升華】此題主要考查了數(shù)軸的應用以及絕對值得性質(zhì)和圓的周長公式應用，利用數(shù)軸得出對應數(shù)是解題關鍵．

相關試卷

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6.3 實數(shù)

版本： 人教版

年級： 七年級下冊

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