1、鄰補角與對頂角
鄰補角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角，叫做互為鄰補角。
對頂角：有一個公共頂點，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。
注：對頂角相等。
如：∠1和∠2互為鄰補角，∠2和∠3互為對頂角。
2、垂線
(1)定義：兩直線相交所構成的四個角中有一個角是直角時，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
(2)性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
(3)點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
3、同位角、內錯角、同旁內角
如圖，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是內錯角，∠2和∠4是同旁內角。
4、平行線
(1)定義：在平面內不相交的兩條直線叫做平行線。
(2)平行公理
經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
(3)平行線的性質
兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補。
兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；
兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等；
兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。
(4)平行線的判定
同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行。
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；
兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行；
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。
二、課標要求：
1、理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(等角)的余角相等，同角(等角)的補角相等的性質。
2、理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線。
3、理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離。
4、掌握基本事實：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
5、識別同位角、內錯角、同旁內角。
6、理解平行線概念；掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。
7、掌握基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。
8、掌握平行線的性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。
9、能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。
10、探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等(或同旁內角互補)，那么這兩條直線平行；探索并證明平行線的性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等(或同旁內角互補)。
11、了解平行于同一條直線的兩條直線平行。
三、常見考點：
1、對頂角和鄰補角的判斷及性質的應用，垂線及垂線段。
2、同位角、內錯角、同旁內角的識別。
3、平行線的判定及性質的應用。
四、專題訓練：
1．如圖，直線MN∥PQ，點A是MN上一點，∠MAC的角平分線交PQ于點B，若∠1＝20°，∠2＝116°，則∠3的大小為（ ）
A．136°B．138°C．146°D．148°
2．如圖，將一張含有30°角的三角形紙片的兩個頂點疊放在矩形的兩條對邊上，若∠2＝44°，則∠1的大小為（ ）
A．14°B．16°C．24°D．30°
3．如圖，a∥b，∠ABD的平分線交直線a于點C，CE⊥直線c于點E，∠1＝24°，則∠2的大小為（ ）
A．114°B．142°C．147°D．156°
4．如圖，AB∥DE，那么∠BCD＝（ ）
A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1
5．如圖，AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE＝40°，那么∠EFC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．140°C．70°D．110°
6．如圖，AB∥CD，則下列等式正確的是（ ）
A．∠1＝∠2+∠3B．∠1﹣∠2＝180°﹣∠3
C．∠1﹣∠3＝180°﹣∠2D．∠1+∠2+∠3＝180°
7．如圖，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝65°，則∠B的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．如圖，平面內直線a∥b∥c，點A，B，C分別在直線a，b，c上，BD平分∠ABC，并且滿足∠α＞∠β，則∠α，∠β，∠γ關系正確的是（ ）
A．∠α＝∠β+2∠γB．∠α＝∠β+∠γC．∠α＝2∠β﹣2∠γD．∠α＝2∠β﹣∠γ
9．如圖，直線MN分別與直線AB，CD相交于點E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交直線CD于點G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射線GP⊥EG于點G，則∠PGF的度數(shù)為 度．
10．∠AOB＝40°，BC∥OA，過點C作直線OA的垂線，點D為垂足，若∠OCD＝2∠OCB，則∠COB為 度．
11．把一張長方形紙條按如圖所示折疊后，若∠AOB′＝70°，則∠B′OG＝ ．
12．如圖，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，則∠1＝ ．
13．如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于點G，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)為 ．
14．如圖，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，則∠1的度數(shù)是 ．
15．如圖，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，則∠BFD＝ ．
16．如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，則∠BCD的度數(shù)為 °．
17．如圖，如果AB∥CD，則角α＝130°，γ＝20°，則β＝ ．
18．已知∠A與的∠B兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的大小是 ．
19．如圖，AB∥CD，CE交AB于F，∠C＝55°，∠AEC＝18°，則∠A＝ °．
20．已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示方式放置（∠BAC＝30°），并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°，則∠2的度數(shù)是 ．
21．已知，AB∥CD，點E在CD上，點G，F(xiàn)在AB上，點H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．
（1）如圖1，求證：HG⊥HE；
（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點M，求證：∠GHE＝2∠GME；
（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．
22．如圖，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD與BC平行嗎？請說明理由；
（2）AB與EF的位置關系如何？為什么？
（3）若AF平分∠BAD，試說明：∠E+∠F＝90°．
23．如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOM＝90°．
（1）如圖1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度數(shù)．
24．如圖，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求證：FG∥BC．
25．閱讀下?材料，完成（1）～（3）題．
數(shù)學課上，?師出示了這樣?道題：
如圖1，已知AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EP⊥FP，∠1＝60°．求∠2的度數(shù)．
同學們經過思考后，?明、?偉、?華三位同學?不同的?法添加輔助線，交流了??的想法：
?明：“如圖2，通過作平?線，發(fā)現(xiàn)∠1＝∠3，∠2＝∠4，由已知EP⊥FP，可以求出∠2的度數(shù)．”
?偉：“如圖3這樣作平?線，經過推理，得∠2＝∠3＝∠4，也能求出∠2的度數(shù)．”
?華：“如圖4，也能求出∠2的度數(shù)．”
（1）請你根據(jù)?明同學所畫的圖形（圖2），描述?明同學輔助線的做法，輔助線： ；
（2）請你根據(jù)以上同學所畫的圖形，直接寫出∠2的度數(shù)為 °；
?師：“這三位同學解法的共同點，都是過?點作平?線來解決問題，這個?法可以推?．”
請?家參考這三位同學的?法，使?與他們類似的?法，解決下?的問題：
（3）如圖5，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，F(xiàn)P平分∠EFD，∠PEF＝∠PDF，若∠EPD＝α，請?zhí)骄俊螩FE與∠PEF的數(shù)量關系（?含α的式?表示），并驗證你的結論．
參考答案
1．解：延長QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB＝180°，
∵∠2＝116°，
∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB＝∠BAC＝64°，
△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，
∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，
△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．
故選：D．
2．解：如圖：
∵矩形的對邊平行，
∴∠2＝∠3＝44°，
根據(jù)三角形外角性質，可得∠3＝∠1+30°，
∴∠1＝44°﹣30°＝14°，
故選：A．
3．解：∵∠1＝24°，CE⊥直線c于點E，
∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，
∵a∥b，
∴∠EAC＝∠ABD＝66°，
∵∠ABD的平分線交直線a于點C，
∴∠CBD＝，
∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，
故選：C．
4．解：過點C作CF∥AB，如圖：
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，
∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．
故選：A．
5．解：∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠FGE＝180°，
∴∠AEG＝180°﹣40°＝140°，
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF＝∠FEG＝70°，
∴∠EFC＝∠FEG+∠FGE＝70°+40°＝110°，
故選：D．
6．解：如右圖所示，
∵CD∥AB，
∴∠4＝∠3，
∵∠4＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠3＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠1﹣∠2＝180°﹣∠3，
故選：B．
7．解：∵EF∥BC，∠DEF＝65°，
∴∠EDB＝∠DEF＝65°，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED＝∠DEF＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故選：B．
8．解：∵直線a∥b∥c，
∴∠α＝∠ABD+∠γ，∠β＝∠CBD﹣∠γ，
∴∠ABD＝∠α﹣∠γ，∠CBD＝∠β+∠γ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠α﹣∠γ＝∠β+∠γ，
∴∠α＝∠β+2∠γ，
故選：A．
9．解：如圖，①當射線GP⊥EG于點G時，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝BEF＝31°，
∴∠FGE＝31°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；
②當射線GP′⊥EG于點G時，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．
則∠PGF的度數(shù)為59或121度．
故答案為：59或121．
10．解：如圖所示，當點D在AO上時，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠AOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝40°﹣30°＝10°；
如圖所示，當點D在AO的延長線上時，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠DOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝180°﹣40°﹣30°＝110°；
故答案為：10或110．
11．解：由翻折性質得，∠BOG＝∠B′OG，
∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，
∴∠B′OG＝（180°﹣∠AOB′）＝（180°﹣70°）＝55°．
故答案為55°．
12．解：∵OP∥QR∥ST，∠2＝100°，∠3＝120°，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠SRQ＝120°，
∴∠PRQ＝180°﹣100°＝80°，
∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝40°，
故答案是40°．
13．解：∵AB∥CD，∠1＝130°，
∴∠CFB＝∠1＝130°，
∴∠BFD＝180°﹣∠CFB＝180°﹣130°＝50°，
∵DG⊥BF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BFD＝90°﹣50°＝40°，
故答案為40°．
14．解：過點C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，
∵∠2＝95°，∠3＝150°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，
故答案為：115°．
15．解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，
即∠BFD＝45°，
故答案為：45°．
16．解：過點C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案為：46．
17．解：如圖，過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案為：70°．
18．解：因為∠A與的∠B兩邊分別平行，
所以∠A與∠B相等或互補，
因為∠A比∠B的3倍少20°，
所以∠A＝3∠B﹣20°，
①當∠A＝∠B時，
∠A＝3∠A﹣20°，
解得∠A＝10°；
②當∠A+∠B＝180°時，
∠A＝3（180°﹣∠A）﹣20°，
解得∠A＝130°．
所以∠A的大小是10°或130°．
故答案為：10°或130°．
19．解：∵AB∥CD，∠C＝55°，
∴∠EFB＝∠C＝55°，
∵∠AEC＝18°，
∴∠A＝∠EFB﹣∠AEC＝37°，
故答案為：37．
20．解：如圖，過點B作BD∥a，
∴∠ABD＝∠1＝22°，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．
故答案為：38°．
21．證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）過點M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
過點H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）過點M作MQ∥AB，過點H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，設∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
22．解：（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．
23．解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC＝∠AOM＝×90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度數(shù)為135°；
（2）∵∠BOC＝4∠NOB
∴設∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，
∴∠CON＝∠COB﹣∠BON＝4x°﹣x°＝3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM＝∠MON＝∠CON＝x°，
∵∠BOM＝x+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠MON＝x°＝×36°＝54°，
即∠MON的度數(shù)為54°．
24．證明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥FC（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行），
∴∠1＝∠BCF（兩直線平行，同位角相等）；
又∵∠2＝∠1（已知），
∴∠BCF＝∠2（等量代換），
∴FG∥BC（內錯角相等，兩直線平行）．
25．解：（1）?明同學輔助線的做法為：過點P作PQ∥AB；
（2）如圖2，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如圖3，
∵AB∥CD，PF∥EQ，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如圖4，
∵AB∥CD，PE∥FQ，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°；
（3）設∠CFE＝x，∠PEF＝∠PDF＝y(tǒng)，
過點P作PQ∥AB，
∴∠BEP+∠EPQ＝180°，∠CFE＝∠FEB＝x，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PDF＝∠DPQ，
∴∠DPQ＝∠PEF＝∠PDF＝y(tǒng)，
由∠CFE＝∠FEB＝x＝∠FEP+∠BEP，
∴x＝y(tǒng)+（180°﹣α+y），
∴x﹣2y＝180°﹣α，
即∠CFE﹣2∠PEF＝180°﹣α．
故答案為：（1）過點P作PQ∥AC；（2）30

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