一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.
2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：．
　　　 ①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
　　　 ②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
　　　 ③當(dāng)時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
3.用公式法解一元二次方程的步驟
　用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：
　　　 ①把一元二次方程化為一般形式；
　　　 ②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，則利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，則原方程無(wú)實(shí)根.
特別說(shuō)明：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來(lái)求解，但它往往并非最簡(jiǎn)單的，一定要注意方法的選擇.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：.    ①當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：.② 當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：.③ 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒(méi)有實(shí)根.【典型例題】類型一、解一元二次方程--公式法1．下圖是嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程在時(shí)的求根公式的過(guò)程．由于，方程變形為．……………………第一步．第二步．…………第三步．……………第四步．……………第五步（1）嘉淇同學(xué)從第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，直接寫出一元二次方程在時(shí)的求根公式．（2）用配方法解方程．【答案】（1）四，；（2），，見(jiàn)解析．【分析】（1）第四步開(kāi)方時(shí)出錯(cuò)；（2）根據(jù)配方法，解題即可．解：（1）由于，方程變形為故方程在時(shí)的求根公式為：，故答案為：四；（2）．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程—公式法，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/span>（1）               （2）【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=，x2=【分析】 （1）先化簡(jiǎn)，再利用公式法求解； （2）利用公式法求解． 解：（1），化簡(jiǎn)可得：，∴a=1，b=3，c=-5，∴△=32-4×1×（-5）=29，∴x=，解得：x1=，x2=；（2），∴a=2，b=-7，c=-4，∴△=（-7）2-4×2×（-4）=81，∴x=，解得：x1=，x2=．【點(diǎn)撥】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】解方程：（1）；                     （2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用配方法解題；（2）先化為一般式，再利用公式法解題． 解：（1）由配方法得，；（2）．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，涉及配方法、公式法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．類型二、根的判別式2．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）當(dāng)時(shí)，求方程的根；（2）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】（1）x1=，x2=；（2）m＞【分析】（1）當(dāng)m=3時(shí)，方程為，得到一個(gè)一元二次方程，解之即可，（2）根據(jù)“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，得到判別式△＞0，得到關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可．   解：（1）把m=3代入方程中，得：，∵a=3，b=2，c=-2，∴△=4-4×3×（-2）=28，∴x=，∴x1=，x2=；（2）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＞0，∴4-4×3×（-m+1）＞0，解得m＞．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵：（1）正確掌握解一元二次方程的方法，（2）正確掌握根的判別式公式．舉一反三：【變式1】不解方程，判斷下列關(guān)于x的方程根的情況：（1）；           （2）．【答案】（1）沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可判斷；（2）根據(jù)根的判別式即可判斷；  解：（1）由題得： ∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；      （2）由題得：          ∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)撥】此題主要考查一元二次方程方程根的情況判斷，解題的關(guān)鍵是熟知根的判別式的性質(zhì)特點(diǎn)．【變式2】 已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）若是該方程的一個(gè)根，求k的值；（2）請(qǐng)判定這個(gè)方程根的情況．【答案】（1）；（2）該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】（1）將代入，解方程即可得出k的值；（2）利用一元二次方程根的判別式即可得出結(jié)論． 解：（1）將代入得：，解得；（2）∵，，，∴，∵，∴，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)撥】此題主要考查了一元二次方程解，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 類型三、根據(jù)一元二次方程求參數(shù)3、已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，求此時(shí)方程的根．【答案】（1）且；（2）【分析】(1)因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根,所以必須滿足下列條件:二次項(xiàng)系數(shù)不為零且判別式，列出不等式求解即可確定k的取值范圍．(2）在k的取值范圍內(nèi)確定最大整數(shù)，代入原方程，再運(yùn)解方程即可． 解：（1）∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴且．．∴且．∴且．           （2）當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，，此時(shí)，方程為，解得．∴當(dāng)時(shí)，方程的根為．【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根的情況，解一元二次方程、熟練并正確解方程是重點(diǎn)，熟知一元二次方程根的情況是關(guān)鍵舉一反三：【變式1】關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有一個(gè)根大于1，求k的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）k＜-1【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得△＝（k?3）2≥0，由此可證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝-3，x2＝-k，根據(jù)方程有一根大于1，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．（1）證明：∵在方程中，△＝（k＋3）2?4×1×3k＝k2?6k＋9＝（k?3）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，∴x1＝-3，x2＝-k．∵方程有一根大于1，∴-k＞1，解得：k＜-1，∴k的取值范圍為k＜-1．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根大于1，找出關(guān)于k的一元一次不等式．【變式2】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程的兩根都為整數(shù)，求正整數(shù)的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接運(yùn)用一元二次方程根的判別式列不等式解答即可；（2）先運(yùn)用求根公式求解，然后根據(jù)根為整數(shù)以及二次根式有意義的條件列式解答即可． 解：（1）∵關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得，；（2）由題意得，，∵為整數(shù)，且為正整數(shù)，∴或，又∵∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、運(yùn)用公式法解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．

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