專題14.20 因式分解-完全平方公式（知識(shí)講解）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）

專題14.20  因式分解-完全平方公式（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 能運(yùn)用完全平方公式把簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.2. 會(huì)綜合運(yùn)用提公因式法和公式法把多項(xiàng)式分解因式；3．發(fā)展綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和逆向思維的習(xí)慣.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說(shuō)明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；          （2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)二、因式分解步驟（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解（以后會(huì)學(xué)到）．要點(diǎn)三、因式分解注意事項(xiàng)（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；（2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．【典型例題】類型一、公式法——完全平方公式1、（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】直接利用完全平方公式進(jìn)行分解即可．解：==．【點(diǎn)撥】本題考查了利用完全平方公式分解因式，熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可得答案．解：==．【點(diǎn)撥】本題考查了利用完全平方公式分解因式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)2、（2020·上海市梅隴中學(xué)七年級(jí)期中）因式分解【答案】【分析】首先將（a2+6a）看作一個(gè)整體，利用完全平方公式進(jìn)行分解因式，進(jìn)而再利用完全平方公式得出結(jié)果即可．解： 【點(diǎn)撥】此題主要考查了公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)用是解題關(guān)鍵． 舉一反三：【變式】2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）因式分解：【答案】【分析】利用完全平方公式進(jìn)行分解因式即可得答案．解：===．【點(diǎn)撥】本題考查了利用完全平方公式分解因式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．3、（2020·山西八年級(jí)月考）對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，小亮先設(shè)，代入原式后得：原式．（1）小亮在因式分解時(shí)巧妙運(yùn)用了以下哪種數(shù)學(xué)思想：          ；A．整體換元思想B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想C．分類討論思想（2）請(qǐng)指出上述因式分解存在的問(wèn)題并直接寫出正確結(jié)果；（3）請(qǐng)參考以上方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【答案】（1）；（2）分解不徹底；正確結(jié)果；（3）．【分析】（1）設(shè)是整體換元的思想；
（2）a2-2a+4還可以分解，所以是不徹底；
（3）按照例題的分解方法進(jìn)行分解即可．解：（1）把用b表示，是整體換元；故選：存在的問(wèn)題:分解不徹底；理由：故答案為:設(shè)，原式【點(diǎn)撥】本題考查了運(yùn)用公式法分解因式和學(xué)生的模仿理解能力，按照提供的方法和樣式解答即可，難度中等．舉一反三：【變式1】（2020·上海市梅隴中學(xué)七年級(jí)期中）因式分解：【答案】【分析】三項(xiàng)式想到完全平方公式，觀察各項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，首末兩項(xiàng)為完全平方式，而中間項(xiàng)恰好是兩數(shù)積的二倍，變成兩數(shù)差的完全平方，括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用積的乘方的逆運(yùn)用即可．解：，=，=，=．【點(diǎn)撥】本題考查因式分解的內(nèi)容，掌握因式分解的方法，能靈活運(yùn)用因式分解的方法進(jìn)行因式分解，掌握因式分解的順序，會(huì)根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄒ蚴椒纸猓?/span>【變式2】（2020·武漢七一華源中學(xué)八年級(jí)月考）因式分解=______．【答案】【分析】先利用完全平方公式把原式寫成，再根據(jù)完全平方公式得出結(jié)果． 解：原式．故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握利用乘法公式進(jìn)行因式分解的方法． 類型二、完全平方公式分解因式的應(yīng)用4、（2020·河南八年級(jí)期中），，是的三邊，且有（1）若為整數(shù)，求的值（2）若是等腰三角形，直接寫出這個(gè)三角形的周長(zhǎng)【答案】（1）或或；（2）．【分析】（1）由，可得：，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解，再利用三角形三邊的關(guān)系得到的取值范圍，從而可得答案；（2）分兩種情況討論，當(dāng)為腰時(shí)，當(dāng)為腰時(shí)，再結(jié)合三角形的三邊的關(guān)系，確定三角形的三邊，從而可得答案．解：（1） ，，，，，＜＜， 為整數(shù)，或或．（2）當(dāng)為腰時(shí)，三角形的三邊分別為：，由＜，此時(shí)三角形不存在，故舍去，當(dāng)為腰時(shí)，三角形的三邊分別為：，由＞，三角形存在，【點(diǎn)撥】本題考查的是完全平方式的變形，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，因式分解，三角形三邊之間的關(guān)系，等腰三角形的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·河南八年級(jí)期中）如果，，是三角形的三邊，并且滿足等式，試確定三角形的形狀【答案】等邊三角形【分析】由，可得：從而可得：利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：從而可得答案．解：， 三角形是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，等邊三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 類型三 、完全平方公式求最值5、（2019·廣東廣州市白云區(qū)六中珠江學(xué)校八年級(jí)期中）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．∵∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值-4．請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問(wèn)題（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求證：無(wú)論、取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)；（3）已知為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值．【答案】（1）有最小值；（2）證明見(jiàn)解析；（3）有最小值．【分析】（1）通過(guò)配方可得：，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得答案；（2）把原式通過(guò)配方化為：，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：從而可得結(jié)論；（3）利用配方法把原式化為： 再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得代數(shù)式的最小值．解：（1） 當(dāng)時(shí)，有最小值．（2） 無(wú)論、取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)；（3） 當(dāng)時(shí)，有最小值．【點(diǎn)撥】本題考查的是配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用配方法求代數(shù)式的最值，因式分解的應(yīng)用，掌握利用完全平方式的特點(diǎn)進(jìn)行配方是解題的關(guān)鍵．