專題14.16 因式分解-因式分解概念及提取公因式（知識(shí)講解）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）

專題14.16  因式分解-因式分解概念及提取公因式（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解因式分解的意義,以及它與整式乘法的關(guān)系；2． 能確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，會(huì)用提公因式法將多項(xiàng)式分解因式.【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.特別說明：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.         （2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.         （3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.要點(diǎn)二、公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.         （2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.         （3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.要點(diǎn)三、提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即 .　?。?）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.　?。?）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).　　（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.【典型例題】類型一、判斷是否為因式分解 1．下列各式的變形中，是否是因式分解，為什么？（1）；      （2）；（3）；               （4）；（5）．【答案】（1）不是因式分解，理由見解析；（2）不是因式分解，理由見解析；（3）不是因式分解，理由見解析；（4）是因式分解，理由見解析；（5）不是因式分解，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)等式右邊不符合因式分解的定義即可得；（2）根據(jù)等式右邊不符合因式分解的定義即可得；（3）根據(jù)等式左邊不符合因式分解的定義即可得；（4）根據(jù)因式分解的定義即可得；（5）根據(jù)等式右邊不符合因式分解的定義即可得．【詳解】因式分解的定義：將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，稱為因式分解（1）不是因式分解，因?yàn)?/span>是和的形式；（2）不是因式分解，因?yàn)?/span>是和的形式；（3）不是因式分解，因?yàn)?/span>是單項(xiàng)式；（4）是因式分解，因?yàn)槎囗?xiàng)式分解成兩個(gè)整式與的積的形式，符合因式分解的定義；（5）不是因式分解，因?yàn)?/span>中的不是整式．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】辨別下面因式分解的正誤并指明錯(cuò)誤的原因.（1）；（2）；（3）【答案】(1)錯(cuò)誤，原因是另一個(gè)因式漏項(xiàng)了；(2)錯(cuò)誤，原因是公因式?jīng)]有提完；(3)錯(cuò)誤，原因是與整式乘法相混淆【分析】（1）根據(jù)提取公因式的方法，第三項(xiàng)提取公因式的結(jié)果為1即可判斷；（2）根據(jù)公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)都含有的相同字母，相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的確定公因式為2x3，即可判斷；（3）根據(jù)因式分解的定義確定原式的變形是整式乘法運(yùn)算，不是因式分解.解：（1）∵∴原式錯(cuò)誤，原因是另一個(gè)因式漏項(xiàng)了；（2）∵∴原式錯(cuò)誤，原因是公因式?jīng)]有提完；（3）∵因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)因式乘積的形式∴是整式乘法運(yùn)算，不是因式，∴原式錯(cuò)誤，原因是與整式乘法相混淆【點(diǎn)撥】本題考查因式分解的定義及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解兩種運(yùn)算相混淆和正確用提取公因式法因式分解是解答此題的關(guān)鍵.【變式2】 判斷下列各式從等號(hào)左邊到右邊的變形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；           (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；              (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；(5)x2＋x＝x2(1+)；                  (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【分析】根據(jù)因式分解和整式乘法的定義即可解答.【詳解】(1)(4)的變形是把多項(xiàng)式化為整式乘積的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)雖然是把多項(xiàng)式化為積的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)運(yùn)用乘法公式，結(jié)果不是整式乘積的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【點(diǎn)撥】本題主要考察因式分解，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式．【變式3】已知二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個(gè)因式是（2x﹣5），求另一個(gè)因式以及k的值．【答案】另一個(gè)因式為（x+4），k的值為20．【解析】所求的式子2x2+3x-k的二次項(xiàng)系數(shù)是2，因式是（2x-5）的一次項(xiàng)系數(shù)是2，則另一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)一定是1，利用待定系數(shù)法，就可以求出另一個(gè)因式．試題解析：設(shè)另一個(gè)因式為（x+a），得2x2+3x-k=（2x-5）（x+a）則2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a， ，解得：a=4，k=20．故另一個(gè)因式為（x+4），k的值為20．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關(guān)鍵．類型二、已知因式分解的結(jié)果求參數(shù) 2．仔細(xì)閱讀下面例題：例題：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是x＋2，求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），對(duì)比等式左右兩邊x的二次項(xiàng)系數(shù)，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．則＝＋（n＋2）x＋2n，∴n＋2＝5，m＝2n，解得n＝3，m＝6，∴另一個(gè)因式為x＋3，m的值為6依照以上方法解答下面問題：（1）若二次三項(xiàng)式﹣7x＋12可分解為（x﹣3）（x＋a），則a＝　   　；（2）若二次三項(xiàng)式2＋bx﹣6可分解為（2x＋3）（x﹣2），則b＝　   　；（3）已知代數(shù)式2＋＋kx﹣3有一個(gè)因式是2x﹣1，求另一個(gè)因式以及k的值．【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一個(gè)因式為＋x＋3，k的值為5．【分析】（1）仿照題干中給出的方法計(jì)算即可；（2）仿照題干中給出的方法計(jì)算即可；（3）設(shè)出另一個(gè)因式為（），對(duì)比兩邊三次項(xiàng)系數(shù)可得a＝1，再參照題干給出的方法計(jì)算即可． 解：（1）∵＝＝．∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，解得：a＝﹣4.（2）∵＝．＝．∴b＝﹣1．（3）設(shè)另一個(gè)因式為（），得．對(duì)比左右兩邊三次項(xiàng)系數(shù)可得：a＝1．于是．則．∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．解得：c＝3，b＝1，k＝5．故另一個(gè)因式為，k的值為5．【點(diǎn)撥】本題以閱讀材料給出的方法為背景考查了因式分解、整式乘法、合并同類項(xiàng)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知多項(xiàng)式因式分解后有一個(gè)因式為，求的值．【答案】【分析】設(shè)2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則展開，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列式可以求得m的值， 解：設(shè)2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）．則2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．比較系數(shù)．得：，解得：，．【點(diǎn)撥】本題主要考查因式分解的意義，解決此題的關(guān)鍵是靈活利用因式分解建立與方程之間的關(guān)系來解決問題．【變式2】 兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成，求出原多項(xiàng)式．【答案】【分析】由于含字母x的二次三項(xiàng)式的一般形式為ax2+bx+c（其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0），所以可設(shè)原多項(xiàng)式為ax2+bx+c．看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)即b值看錯(cuò)而a與c的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，可將2（x-1）（x-9）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出a與c的值；同樣，看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)即c值看錯(cuò)而a與b的值正確，可將2（x-2）（x-4）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出b的值，進(jìn)而得出答案． 解：設(shè)原多項(xiàng)式為（其中，，均為常數(shù)，且）． 因?yàn)?/span>，所以，，又因?yàn)?/span>，所以，所以原多項(xiàng)式為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．是中考中的常見題型．本題中注意：如果一個(gè)二次三項(xiàng)式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，意思是二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)都沒有看錯(cuò)．【變式3】已知多項(xiàng)式kx2-6xy-8y2可寫成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．【答案】k=2，m=1．【分析】直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而得出m，k的值．解：∵多項(xiàng)式kx2-6xy-8y2可寫成（2mx+2y）（x-4y）的形式，∴kx2-6xy-8y2=（2mx+2y）（x-4y），=2mx2-8mxy+2xy-8y2，=2mx2-（8m-2）xy-8y2，∴8m-2=6，解得：m=1，故k=2，m=1．【點(diǎn)撥】此題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確得出m的值是解題關(guān)鍵．類型三、公因式 3．)因式分解：（1）                  （2）【答案】（1）；（2） （1）解析：本題考查了提公因式法分解因式．多項(xiàng)式中的各項(xiàng)都含有公因式，提取公因式即可，所以．                                （2）解析：本題考察了用公式法分解因式．根據(jù)冪的乘方運(yùn)算，可將變形為，，再根據(jù)平方差公式將原式進(jìn)行因式分解．（1）解：原式 （2）解：原式 舉一反三：【變式1】分解因式：【答案】【分析】運(yùn)用平方差公式分解因式即可.【詳解】原式= = ==【點(diǎn)撥】本題考查了運(yùn)用公式法分解因式，解題需要注意的是每個(gè)因式都要分解到不能再分解為止.【變式2】 閱讀材料：“整體思想”是中學(xué)教學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛，如我們把看成一個(gè)整體，．嘗試應(yīng)用：（1）把看成一個(gè)整體，合并的結(jié)果是_________．（2）已知，求的值．拓廣探索：（3）已知，求的值．【答案】（1）；（2）-2018；（3）6【分析】（1）把看做一個(gè)整體，合并即可得到結(jié)果；（2）原式前兩項(xiàng)提取3變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；（3）原式去括號(hào)整理后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值． 解：（1）．（2）∵，∴（3）∵，∴=a-c+2b-d-2b+c=a-d=a-2b+2b-c+c-d=（a-2b）+（2b-c）+（c-d）=2-5+9=6．【點(diǎn)撥】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式3】已知（1）求的值（2）化簡代數(shù)式【答案】（1）；（2）20【分析】（1）根據(jù)平方差公式得到，代入即可；（2）由（1）可解出a，b的值，再化簡代數(shù)式計(jì)算即可． 解：（1）又∵ ，∴ （2）由，解得∵∵，∴原式．【點(diǎn)撥】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解，以及整式的化簡求值問題，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．類型四、提取公因式法分解因式 4．請(qǐng)把下列各式分解因式（1）x(x-y)-y(y-x)               （2）-12x3+12x2y-3xy2（3）(x+y)2+mx+my                （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)（5）15×（a-b）2-3y（b-a）     （6）（a-3）2-（2a-6）（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）【答案】（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）【解析】試題分析：（1）運(yùn)用提取公因式法因式分解即可；（2）運(yùn)用提取公因式法因式分解即可，注意先提取負(fù)號(hào)；（3）先分組，提公因式，再利用整體法運(yùn)用提取公因式法因式分解即可；（4）運(yùn)用提取公因式法因式分解即可，注意整體思想的應(yīng)用；（5）根據(jù)a-b與b-a互為相反數(shù)，利用整體法提取公因式法因式分解即可；（6）運(yùn)用提取公因式法因式分解即可；（7）運(yùn)用提取公因式法因式分解即可，注意符號(hào)變化.試題解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）舉一反三：【變式1】分解因式：【答案】【解析】試題分析：根據(jù)提公因式法--因式分解，確定公因式后提取公因式即可，注意公因式是相同字母，并且指數(shù)最小的.試題解析：【變式2】 因式分解：【答案】4（x+y）（x+2y）．【分析】首先提公因式2（x+y），再整理括號(hào)里面的3（x+y）﹣（x﹣y），再提公因式2即可．解：原式=2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]=2（x+y）（2x+4y）=4（x+y）（x+2y）．【點(diǎn)撥】本題考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是公因式提取要徹底．【變式3】因式分解：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先變號(hào)，再運(yùn)用提公因式法分解計(jì)算；（2）直接運(yùn)用提公因式法分解計(jì)算即可；（3）先變號(hào)，再運(yùn)用提公因式法分解計(jì)算． 解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)撥】本題考查提公因式法分解因式，正確找出題中的公因式是解題的關(guān)鍵．