?專題 17.15 勾股定理中考真題專練（培優(yōu)篇）（專項練習）
一、單選題
1．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（　?。?br />
A． B．2 C．2 D．3
2．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為（???????）


A． B．6 C． D．8
3．（2011·山東棗莊·中考真題）如圖，點的坐標是，若點在軸上，且是等腰三角形，則點的坐標不可能是（???）

A．（2，0） B．（4，0）
C．（－，0） D．（3，0）
4．（2013·黑龍江綏化·中考真題）已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE，以下四個結(jié)論：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），
其中結(jié)論正確的個數(shù)是（???）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2011·湖北黃岡·中考真題）如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直．如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（　?。?br />
A．600m B．500m
C．400m D．300m
6．（2018·山東淄博·中考真題）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
7．（2018·浙江溫州·中考真題）我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（ ???）

A．20 B．24 C． D．
二、填空題
8．（2020·湖北武漢·中考真題）如圖，折疊矩形紙片，使點落在邊的點處，為折痕，，．設(shè)的長為，用含有的式子表示四邊形的面積是________．

9．（2020·天津·中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點均落在格點上，點B在網(wǎng)格線上，且．
（Ⅰ）線段的長等于___________；
（Ⅱ）以為直徑的半圓與邊相交于點D，若分別為邊上的動點，當取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）．

10．（2020·貴州貴陽·中考真題）如圖，中，點在邊上，，，垂直于的延長線于點，，，則邊的長為_____．

11．（2014·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長為_______.

12．（2018·四川資陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OAA1的直角邊OA在x軸上，點A1在第一象限，且OA=1，以點A1為直角頂點，OA1為一直角邊作等腰直角三角形OA1A2，再以點A2為直角頂點，OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3…依此規(guī)律，則點A2018的坐標是_____．

13．（2018·黑龍江伊春·中考真題）如圖，已知等邊△ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊△AB3C3；…，記△B1CB2的面積為S1，△B2C1B3的面積為S2，△B3C2B4的面積為S3，如此下去，則Sn=_____．

14．（2018·浙江溫州·中考真題）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，C是OB的中點，D是AB上一點，四邊形OEDC是菱形，則△OAE的面積為________．

15．（2016·福建南平·中考真題）如圖，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ，給出下列結(jié)論：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不變；
③PCQ面積的最小值為；
④當點D在AB的中點時，PDQ是等邊三角形，其中所有正確結(jié)論的序號是______．

16．（2013·黑龍江·中考真題）已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為___．

三、解答題
17．（2018·黑龍江·中考真題）如圖，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，點A在CB的延長線上，且BA=BC，點E在直線BD上移動，過點E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點F．
（1）當點E在線段BD上移動時，如圖（1）所示，求證：BC﹣DE=DF．
（2）當點E在直線BD上移動時，如圖（2）、圖（3）所示，線段BC、DE與DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．




18．（2016·貴州六盤水·中考真題）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖1，則有；若△ABC為銳角三角形時，小明猜想：，理由如下：如圖2，過點A作AD⊥CB于點D，設(shè)CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴．
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴當△ABC為銳角三角形時．
所以小明的猜想是正確的．
（1）請你猜想，當△ABC為鈍角三角形時， 與的大小關(guān)系．
（2）溫馨提示：在圖3中，作BC邊上的高．
（3）證明你猜想的結(jié)論是否正確．





19．（2006·江蘇常州·中考真題）已知：如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D為AB邊上一點，
求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）





20．（2015·廣西貴港·中考真題）已知：△ABC是等腰三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：
（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：
①線段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；
（3）若動點P滿足，求的值．（提示：請利用備用圖進行探求）









21． （2009·安徽蕪湖·中考真題）如圖，在梯形中，，．求的長．







參考答案
1．A
【解析】
【分析】
把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．
【詳解】
解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，

在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵點D為BC中點，
∴BD＝CD，
在△BFD與△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
當直線l⊥AC時，最大值為，
綜上所述，AE+BF的最大值為．
故選：A．
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．
2．A
【解析】
【分析】
連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FC．再根據(jù)ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代換得到FC=AF=3，利用線段的和差關(guān)系求出FD=AD-AF=1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長．
【詳解】
解：如圖，連接FC，
∵點O是AC的中點，由作法可知，OE垂直平分AC，
∴AF=FC．

∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA與△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF=BC=6，
∴FC=AF=6，F(xiàn)D=AD-AF=8-6=2．
在△FDC中，∵∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+22=62，
∴CD=．
故選：A．
【分析】本題考查了作圖-基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．求出CF與DF是解題的關(guān)鍵．
3．D
【解析】
【詳解】
解：（1）當點P在x軸正半軸上，
①以O(shè)A為腰時，

∵A的坐標是（2，2），
∴∠AOP=45°，OA=，
∴P的坐標是（4，0）或（，0）；
②以O(shè)A為底邊時，

∵點A的坐標是（2，2），
∴當點P的坐標為：（2，0）時，OP=AP；
（2）當點P在x軸負半軸上，
③以O(shè)A為腰時，

∵A的坐標是（2，2），
∴OA= ，
∴OA=AP=
∴P的坐標是（-，0）．
故選D．
4．C
【解析】
【詳解】
試題分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．
∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本結(jié)論正確．
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．
∴BD⊥CE．本結(jié)論正確．
③∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．
∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本結(jié)論正確．
④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．
∵△ADE為等腰直角三角形，∴DE=AD，即DE2=2AD2．
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．
而BD2≠2AB2，本結(jié)論錯誤．
綜上所述，正確的個數(shù)為3個．故選C．
5．B
【解析】
【分析】
由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由題意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可證△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根據(jù)圖可知從B到E的走法有兩種，分別計算比較即可．
【詳解】
解：如右圖所示，
∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠ACB，
又∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
又∵AB=DE=400m，
∴△ABC≌△DEA，
∴EA=BC=300m，
在Rt△ABC中，AC==500m，
∴CE=AC-AE=200，
從B到E有兩種走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，
∴最近的路程是500m．
故選B．

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是證明△ABC≌△DEA，并能比較從B到E有兩種走法．
6．A
【解析】
【詳解】
分析：將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延長BP，作AF⊥BP于點F．AP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)，在直角△APF中利用三角函數(shù)求得AF和PF的長，則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進而求得三角形ABC的面積．
詳解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，
可將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F．如圖，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
則△ABC的面積是?AB2=?（25+12）=9+．
故選A．
點睛：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．
7．B
【解析】
【分析】
設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的一邊長為（a+x）,另一邊為（b+x）,根據(jù)矩形的面積的即等于兩個三角形的面積之和，也等于長乘以寬，列出方程，化簡再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根據(jù)矩形的面積公式，整體代入即可.
【詳解】
設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的一邊長為（a+x）,另一邊為（b+x）,根據(jù)題意得 ：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,
化簡得 ：ax+x2+bx-ab=0，
又∵ a = 3 ， b = 4 ，
∴x2＋7x=12;
∴該矩形的面積為=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案為B.
【分析】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，求出小正方形的邊長是解題的關(guān)鍵.
8．
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意可以設(shè)DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理進一步可以用t表示出x，再可以設(shè)CF=y，連接MF，所以BF=2?y，在三角形MFN與三角形MFB中利用共用斜邊，根據(jù)勾股定理可求出用t表示出y，進而根據(jù)四邊形的面積公式可以求出答案.
【詳解】
設(shè)DE=EM=x，
∴，
∴x= ，
設(shè)CF=y，連接FM，

∴BF=2?y，
又∵FN= y，NM=1，
∴，
∴y=，
∴四邊形的面積為：=?1，
故答案為：.
【分析】本題主要考查了勾股定理的綜合運用，熟練掌握技巧性就可得出答案.
9．（1）；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）將AC放在一個直角三角形，運用勾股定理求解；
（2）取格點M，N，連接MN，連接BD并延長，與MN相交于點；連接，與半圓相交于點E，連接BE，與AC相交于點P，連接并延長，與BC相交于點Q，則點P，Q即為所求．
【詳解】
解：（Ⅰ）如圖，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,則由勾股定理，得AC==；

（Ⅱ）如圖，取格點M，N，連接MN，連接BD并延長，與MN相交于點；連接，與半圓相交于點E，連接BE，與AC相交于點P，連接并延長，與BC相交于點Q，則點P，Q即為所求．

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，勾股定理，軸對稱-最短問題，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱，根據(jù)垂線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
10．
【解析】
【分析】
如圖，延長BD到點G，使DG=BD，連接CG，則由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，連接CF，則∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的判定可得FC=FG，設(shè)CE=EF=x，則可根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出DF的長，進而可求出FC的長，然后根據(jù)勾股定理即可求出CD的長，再一次運用勾股定理即可求出答案．
【詳解】
解：如圖，延長BD到點G，使DG=BD，連接CG，則CB=CG，在EG上截取EF=EC，連接CF，則∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，
∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，

設(shè)CE=EF=x，則AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，得，
∴．
故答案為：．
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)、勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，具有一定的難度，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用上述知識是解題的關(guān)鍵．
11．.
【解析】
【詳解】
作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′=，
故答案為.
12．（0，21009）
【解析】
【詳解】
【分析】本題點A坐標變化規(guī)律要分別從旋轉(zhuǎn)次數(shù)與點A所在象限或坐標軸、點A到原點的距離與旋轉(zhuǎn)次數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．
【詳解】∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，再以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…，
∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018，
∵A1、A2、…，每8個一循環(huán)，
∵2018=252×8+2
∴點A2018的在y軸正半軸上，OA2018==21009，
故答案為（0，21009）.
【點睛】本題是平面直角坐標系下的規(guī)律探究題，除了研究動點變化的相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，還應(yīng)該注意象限符號．
13．
【解析】
【詳解】
【分析】由AB1是邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出CB1的長，繼而可得△B1CB2是有一個角為30度的直角三角形，同理可知△B2C1B3、△B3C2B4、△B4C3B5、…、都是有一個角為30度的直角三角形，而且后一個的斜邊是前一個30度角所鄰的直角邊，由此即可求得Sn.
【詳解】∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC，
∴∠C=60°，CB1=BB1=1，
又∵∠B1B2C=90°，∴∠CB1B2=30°,
∴CB2=，B1B2=，∴S1=，
同理，Rt△B2C1B3中，B2C1=B1B2=，∴C1B3=×=，B2B3=，
∴S2=，
同理，S3=
…，
∴Sn=，
故答案為．
【點睛】本題考查了規(guī)律題，涉及等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等，有一定難度，熟練掌握并靈活運用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等解本題的關(guān)鍵．
14．
【解析】
【分析】
根據(jù)直線于坐標軸交點的坐標特點得出,A,B兩點的坐標，得出OB，OA的長，根據(jù)C是OB的中點，從而得出OC的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DE=OC=2;DE∥OC；設(shè)出D點的坐標，進而得出E點的坐標，從而得出EF,OF的長，在Rt△OEF中利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，求解得出x的值，然后根據(jù)三角形的面積公式得出答案.
【詳解】
解: 把x=0代入 y = ? x + 4 得出y=4,
∴B(0,4);
∴OB=4;??
∵C是OB的中點，
∴OC=2,
∵四邊形OEDC是菱形,
∴DE=OC=2;DE∥OC,
把y=0代入 y = ? x + 4 得出x=,
∴A(,0);
∴OA=,
設(shè)D(x,) ,
∴E(x,- x+2),
延長DE交OA于點F，

∴EF=-x+2,OF=x,
在Rt△OEF中利用勾股定理得：,
解得 ：x1=0(舍），x2=；
∴EF=1,
∴S△AOE=·OA·EF=2.
故答案為.
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標是（-，0）；與y軸的交點坐標是（0，b）．直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．也考查了菱形的性質(zhì).
15．①②④．
【解析】
【分析】
【詳解】
①∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴CP=CD=CQ，∴①正確；
②∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)
=360°﹣(120°+120°)
=120°，
∴∠PCQ的大小不變；∴②正確；
③如圖，過點Q作QE⊥PC交PC延長線于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，tan∠QCE=，
∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，
∵CP=CD=CQ，
∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，
∴CD最短時，S△PCQ最小，即：CD⊥AB時，CD最短，
過點C作CF⊥AB，此時CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF=BC=2，即：CD最短為2，
∴S△PCQ最小===，∴③錯誤；

④∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等邊三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵當點D在AB的中點，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等邊三角形，
∴④正確，
故答案為①②④．
考點：幾何變換綜合題；定值問題；最值問題；綜合題；翻折變換（折疊問題）．
16．
【解析】
【詳解】
由AB1為邊長為2等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出BB1的長，利用勾股定理求出AB1的長，進而求出第一個等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個等邊三角形ABnCn的面積．
解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根據(jù)勾股定理得：AB1=，
∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為×（）2=（）1；
∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1，
∴B1B2=，AB1=，
根據(jù)勾股定理得：AB2=，
∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為×（）2=（）2；
依此類推，第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n．
故答案為（）n
17．（1）證明見解析；（2）如圖2：DE﹣BC=DF；圖3：BC+DE=DF．
【解析】
【詳解】
【分析】（1）如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．構(gòu)造全等三角形即可解決問題；
（2）如圖2中，在BC上截取BH=BE，同法可證：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可證：DF=HE，可得BC+DE=DF．
【詳解】（1）如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，
∴AH=ED，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FED=∠HAE，
∵∠BHE=∠CDB=45°，
∴∠AHE=∠EDF=135°，
∴△AHE≌△EDF，
∴HE=DF，
∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．
∴BC﹣DE=DF．
（2）如圖2中，在BC上截取BH=BE，同法可證：DF=EH．
可得：DE﹣BC=DF；

如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可證：DF=HE，
可得BC+DE=DF．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
18．（1）；（2）作圖見解析；（3）正確．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可猜測：當△ABC為鈍角三角形時，與的大小關(guān)系為：；
（2）根據(jù)題意可作輔助線：過點A作AD⊥BC于點D；
（3）然后設(shè)CD=x，分別在Rt△ADC與Rt△ADB中，表示出AD2，即可證得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）當△ABC為鈍角三角形時，與的大小關(guān)系為：；
（2）如圖3，過點A作AD⊥BC于點D；
（3）證明：如圖3，設(shè)CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，
∴．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0，
∴，
∴當△ABC為鈍角三角形時，．

考點：三角形綜合題；勾股定理．
19．（1） ∵
∴
即
∵
∴ △BCD≌△ACE
（2）∵ ，
∴
∵ △BCD≌△ACE
∴
∴
∴
【解析】
【詳解】
（1）本題要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，則DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因為兩角有一個公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根據(jù)SAS得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的論證結(jié)果得出∠DAE=90°，AE=DB，從而求出AD2+DB2=DE2．
20．（1）①，2；②；（2）證明見試題解析；（3）或．
【解析】
【詳解】
試題分析：
（1）①由已知條件求出AB的長，再減去PA就可得PB的長；如圖1，連接BQ，先證△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可計算出PQ=，從而根據(jù)△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；
②由①中的證明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；
（2）如圖2，連接PB，先證△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，從而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想結(jié)論仍然成立；
（3）如圖3，分點P在點A、B之間和在點A、B的同側(cè)兩種情況討論即可；
試題解析：
（1）如圖①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+，∠ACB=90°，
∴AB=，
∵PA=，
∴PB=AB-PA=.
∵△ABC和△PCQ均為以點C為直角頂點的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ為直角三角形．
∴PQ=．
∴PC=PQ=2．
故答案為，2；
②如圖1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：
由①中證明可知：△APC≌△BQC，
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，
又∵∠CBA=45°，
∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，
∴BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.

（2）如圖②：連接BQ，
∵△ABC和△PCQ均為以點C為直角頂點的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，
∴∠PBQ=90°，
∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.

（3）如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：AD=BD=CD=AB；設(shè)AB=，則AD=BD=CD=，
①當點P位于點A、D之間的點P1處時．
∵，
∴P1A=AB=DC= ，
∴P1D=AD=，
在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，
∴；
②當點P位于點A和點B的同側(cè)的點P2處時．
∵，
∴P2A=AB=AD=．
∴P2D=P2A+AD=，
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=，
∴；
綜上所述，的比值為或．

點睛：（1）本題第1小題②問和第2小題的解題要點是一致的，就是連接BQ，利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得△APC≌△BQC，得到PA=QB，∠CBQ=∠CAP=45°，就可把PA、PB、BQ三條分散的線段集中到Rt△PBQ中，由勾股定理就可得到三條線段間的數(shù)量關(guān)系；（2）討論本題第3小題時，需注意點P的位置存在兩種情形，討論時不要忽略了其中任何一種.
21．解：作于于


四邊形是矩形．

是的邊上的中線．


在中，

【解析】
【詳解】
作于于先證四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等即直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求得DF、AE、BE，再根據(jù)勾股定理即可求出AB．

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