第4講幾何問(wèn)題與一元二次方程-講義（學(xué)生版+教師版）2021-2022學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第4講幾何問(wèn)題與一元二次方程【知識(shí)導(dǎo)航】利用幾何關(guān)系建立一元二次方程【板塊一】判別式根系關(guān)系與勾股定理【方法技巧】根系關(guān)系＋勾股，建立方程.【題型一】判別式、根系關(guān)系與三角形【例1】已知關(guān)于x的一元二次方程－（2k＋1）x＋4k－3＝0（1）求證：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)a＝，且兩條直角邊長(zhǎng)b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng)【解析】（1）∵△＝＋4＞0，∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根系關(guān)系得，b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3.∵ ＋＝，得－2（4k－3）＝31，解得，k＝3或－2，又4k－3＞0，∴k＝3，∴△ABC的周長(zhǎng)＝a＋b＋c＝7＋.【題型二】判別式、根系關(guān)系與四邊形【例2】已知關(guān)于x方程－（k＋1）x＋＋1＝0的兩個(gè)根是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng).(1)k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？(2)當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為時(shí)，求k的值.【解析】（1）k≥ ；(2)k＝2.【題型三】判別式、根系關(guān)系與幾何【例3】如圖，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且關(guān)于x的方程（a＋c）＋2bx＋c＝a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（1）判斷△ABC的形狀；（2）若CD平分∠ACB，且AD⊥BD,AD、BD為方程－2mx＋＝0的兩根，試確定m與n的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由. 【解析】（1）∵關(guān)于x的方程（a＋c）＋2bx＋c＝a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴ ＝4－4（a＋c）（c－a）＝0.得＋＝，∴△ABC為直角三角形，∠ACB＝90o；（2）由對(duì)角互補(bǔ)四邊形模型，得DA＝DB，∴方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，＝4－4＝0，＝，∵AD＋DB＝2m＞0，m＞0，∴m＝n或m＋n＝0. 針對(duì)練習(xí)1 已知關(guān)于x的方程－（2k＋1）x＋4（k－）＝0，若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a＝4，另一邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng).解：若等腰三角形的腰長(zhǎng)為4時(shí)，－4（2k＋1）＋4（k－）＝0，k＝，此時(shí)方程為－6x＋8＝0，＝4，＝2，三角形的三邊分別為4，2，2，滿足題意，△ABC的周長(zhǎng)為10；若等腰三角形底邊為4，則＝－4ac＝－4×1×4（k－）＝0,k＝ , －4x＋4＝0, ＝2, ＝2,三角形的三邊分別為4，2，2，不滿足題意，舍去；綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為10. 已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程－mx＋－＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）當(dāng)m為何值時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若AB＝2，那么平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是多少？解：（1）當(dāng)AB＝AD時(shí)，該平行四邊形ABCD是菱形，∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)根即可，故＝－4（－）＝0，∴m＝1，故原方程為－x＋＝0，∴ ＝＝，故AB＝AD＝，即當(dāng)m＝1時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；（2）當(dāng)AB＝2時(shí)，即原方程的一根為2，∴－2m＋－＝0，即m＝，即原方程為2－5x＋2＝0，∴ ＝ 2，＝，又AB＝2，故AD＝，即平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是5. 如圖，四邊形ABCD 中，∠DAB＝∠DCB＝90°,CD和BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程－(m＋2)x＋(2－m＋)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若AD＝2，求AC的長(zhǎng).解:∵ ＝－2(2－m＋)＝－3＋6m－3＝－3≤0,而CD,BC是方程的兩根，≥0,故m＝1，∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴CD＝BC＝3.延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE＝AD＝2,則△CBE≌△CDA，∴△ACE是等腰直角三角形，設(shè)AB＝?，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∴CH＝ AE＝＋1，HB＝?－（＋1）＝－1，∴ ＋＝9，∴?＝，∴AC＝ CH＝( ＋1)＝＋.4.如圖，矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（a＞b）.（1）若a,b是－kx＋k＋4＝0的兩根，且滿足＋＝40，求k的值；（2）在（1）的條件下，P為CD上一點(diǎn)（異于C、D兩點(diǎn)），當(dāng)P在什么位置時(shí)，△APB為直角三角形？（3）P為DC上一點(diǎn)（異于C、D兩點(diǎn)），當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，使△APB為直角三角形的P點(diǎn)有且只有一個(gè)？解：（1）a＋b＝k,ab＝k＋4.∵ ＋＝40，∴ －2ab＝40, －2k－48＝0，解得＝8 ,＝－6,∵k＝a＋b＞0，∴k＝8；（2）k＝8時(shí)，－8x＋12＝0,解得＝ 2，＝6，a＞b，∴a＝6,b＝2. ∵∠APB＝90o,∴＋＝ ,設(shè)DP＝x，∴4＋＋4＋＝36，＝ 3＋，＝3－，∴DP＝3±；（3）同（2）可列方程＋＋＋＝，－ax＋＝0，當(dāng)＝－4＝0時(shí)P點(diǎn)有且只有一個(gè)，此時(shí)＝4，a＞b＞0，∴a＝2b. 【板塊二】運(yùn)動(dòng)與方程點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成三角形的面積或線段的長(zhǎng)度.【題型一】運(yùn)動(dòng)＋面積【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝6cm，BC＝8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后，可使△PCQ的面積為8cm？（2）點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，＝×(6－t)×2?＝8, 解得＝2, ＝4;故P、Q出發(fā)2s或4s后，△PCQ的面積為8c ；（2）＝×(6－t)×2?＝×6×8×,化簡(jiǎn)得－6?＋12＝0,∵ ＝36－48＝－12＜0，∴方程無(wú)解，∴不存在.【題型二】運(yùn)動(dòng)＋勾股【例2】如圖，已知A,B,C,D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直移動(dòng)到點(diǎn)B為止；點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（P點(diǎn)停止移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)）.設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為?（s），問(wèn)（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離是10cm？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離最?。孔钚【嚯x為多少？（3） P、Q兩點(diǎn)間距離能否是18cm？若能，求出t的值;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】AP＝3?，CQ＝2?，過(guò)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H，則PH＝ ,在Rt△PHQ中，＝＋，（0≤t≤）.(1) 當(dāng)PQ＝10時(shí)，＝＋，解得，＝ , ＝;(2) 當(dāng)t＝時(shí)，PQ最小＝6；(3) ＋＝，解得＝＞（舍去） , ＝＜0（舍去），∴P、Q間距離不能為18cm.針對(duì)練習(xí)21.如圖所示:在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OACB為矩形，C點(diǎn)坐標(biāo)為（3,6），若點(diǎn)P從O點(diǎn)沿OA向A點(diǎn)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)沿AC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P、Q分別從O、A同時(shí)出發(fā)，問(wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，△PAQ的面積為2c ？（2）△PAQ的面積能否達(dá)到3c？（3）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，P,Q兩點(diǎn)之間的距離為 cm？解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)xs, △PAQ的面積為2c,由題意得: （3－x）×2x＝2，解得＝ 1，＝2.所以經(jīng)過(guò)1秒或2秒時(shí)，△PAQ的面積為2c；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)xs,△PAQ的面積為3c,由題意得: （3－x）×2x＝3，即－3x＋3＝0，在此方程中－4ac＝－3＜0，所以此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以△PAQ的面積不能達(dá)到3c.（3）設(shè)經(jīng)過(guò)xs，則＋4＝17，解得＝ 2，＝－(舍).即2秒時(shí)，P,Q兩點(diǎn)之間的距離為 cm.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握三角形的面積公式與兩點(diǎn)間的距離公式是解答本題的關(guān)鍵. 2.如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝3cm,BC＝6cm.某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；（2）是否存在時(shí)間?，使△AMN的面積達(dá)到3.5 c，若存在，求出時(shí)間t,若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)ts，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則DN＝2tcm，AM＝tcm，AN＝AD－DN＝(6－2t)cm，∴AN˙AM＝AD˙AB,即（6－2t）t＝×6×3，整理，得－3t＋2＝0,解得＝1，＝2，則經(jīng)過(guò)1s或2s，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的.(2)不存在，理由為：假設(shè)存在時(shí)間ts，使△AMN的面積達(dá)到3.5 c，則AN˙AM＝3.5，即（6－2t）t＝3.5，整理得2－6t＋7＝0, ＝36－56＝－20＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故△AMN的面積不能達(dá)到3.5 c.

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