?2020-2021學年安徽省蕪湖市九年級（上）期末數學試卷
一、選擇題（本大題共10題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．
1．（4分）下列關于防范“新冠肺炎”的標志中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A．戴口罩講衛(wèi)生 B．勤洗手勤通風
C．有癥狀早就醫(yī) D．少出門少聚集
2．（4分）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，則線段OM長的最小值為（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（4分）如圖，一個斜邊長為6cm的紅色直角三角形紙片，一個斜邊長為10cm的藍色直角三角形紙片，拼成一個直角三角形，則紅、藍兩張紙片的面積之和是（　　）

A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
4．（4分）如圖，△ABC的三個頂點都在5×5的網格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，且點A′、C′仍落在格點上，則線段AB掃過的圖形的面積是（　?。ńY果保留π）．

A． B． C． D．
5．（4分）成語“水中撈月”所描述的事件是（　?。?br /> A．必然事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．無法確定
6．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，OA，OB的長分別是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根（OA＞OB），在直線BC上取點P，使△PCD為等腰三角形（　?。?br />
A．（3，0） B．（7，3）
C．（11，6） D．（11，6）或（3，0）
7．（4分）某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，則可列方程為（　?。?br /> A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
8．（4分）若關于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜0）有兩個不相等的實數根（　　）
A．a＜﹣2 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
9．（4分）如圖，在正三角形網格中，△ABC的頂點都在格點上，Q，M的AB與格線的交點，則△ABC的外心是（　?。?br />
A．P點 B．Q點 C．M點 D．N點
10．（4分）如圖，四邊形ABCD為正方形，若AB＝4（點E與點A、D不重合），BE的中垂線交AB于M，交DC于N，則圖中陰影部分的面積S與x的大致圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
二、填空題（本大題共4題，每小題5分，滿分20分）
11．（5分）點A（﹣1，2）關于原點對稱點B的坐標是　 ?。?br /> 12．（5分）如圖，A、B是雙曲線的一個分支上的兩點（a，b）在點A的右側，則b的取值范圍是　 ?。?br />
13．（5分）設a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，則2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝　 ?。?br /> 14．（5分）已知⊙O的兩條半徑OA與OB相互垂直，C為優(yōu)弧AB上一點，且滿足AB2+OB2＝BC2，則∠OAC＝　 　度．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
16．（8分）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標系（﹣3，2），
（1）畫出平面直角坐標系．
（2）僅用一把無刻度的直尺，利用網格，找出該圓弧的圓心

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．（8分）《楊輝算法》中有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，問它的長比寬多了多少步？
18．（8分）如圖，已知某二次函數的頂點坐標是（1，﹣4），且經過點A（4，5）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）點P（m，n）是該二次函數圖象上一點，若點P到y(tǒng)軸的距離不大于4

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．（10分）如圖，一次函數y＝﹣x+b的圖象與x軸交于A點，與y軸交于B點的圖象交于點E（1，5）和點F．
（1）求k，b的值以及點F的坐標；
（2）求△EOF的面積；
（3）請根據函數圖象直接寫出反比例函數值大于一次函數值時x的范圍．

20．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，過點E作直線
BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF平分∠AEH；
（3）求證：CD＝HF．

六、（本題滿分12分）
21．（12分）市扶貧辦為了全面了解某貧困縣對扶貧工作的滿意度情況（即達到基本滿意及以上的戶數占總體的百分比），進行隨機抽樣調查，分為四個類別：A．非常滿意；C．基本滿意；D．不滿意．依據調查數據繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計圖（不完整）．

根據以上信息，解答下列問題：
（1）將圖1補充完整；
（2）通過分析，貧困戶對扶貧工作的滿意度（A、B、C類視為滿意）是　 ??；
（3）市扶貧辦從該縣甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)3戶、乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)2戶共5戶貧困戶中，隨機抽取兩戶進行滿意度回訪，求這兩戶貧困戶恰好都是同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率．
七、（本題滿分12分）
22．（12分）某體育用品商店試銷一款成本為50元的排球，規(guī)定試銷期間單價不低于成本價，且獲利不得高于40%．經試銷發(fā)現（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數關系．
（1）試確定y與x之間的函數關系式；
（2）若該體育用品商店試銷的這款排球所獲得的利潤Q元，試寫出利潤Q（元）與銷售單價x（元）；當試銷單價定為多少元時，該商店可獲最大利潤？最大利潤是多少元？
（3）若該商店試銷這款排球所獲得的利潤不低于600元，請確定銷售單價x的取值范圍．

八、（本題滿分14分)
23．（14分）如圖1，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C），延長AE交CE′于點F．
（1）如圖1，求證：四邊形BEFE′是正方形；
（2）連接DE，
①如圖2，若DA＝DE，求證：F為CE′的中點；
②如圖3，若AB＝15，CF＝3

2020-2021學年安徽省蕪湖市九年級（上）期末數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．
1．（4分）下列關于防范“新冠肺炎”的標志中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A．戴口罩講衛(wèi)生 B．勤洗手勤通風
C．有癥狀早就醫(yī) D．少出門少聚集
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形；
D、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：C．
2．（4分）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，則線段OM長的最小值為（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根據垂線段最短知，當OM⊥AB時，
此時，由垂徑定理知，
連接OA，AM＝，
由勾股定理知，OM＝6．
故選：B．

3．（4分）如圖，一個斜邊長為6cm的紅色直角三角形紙片，一個斜邊長為10cm的藍色直角三角形紙片，拼成一個直角三角形，則紅、藍兩張紙片的面積之和是（　?。?br />
A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．60cm2
【解答】解：如圖，因為DF＝DE，所以將三角形DEB繞點D逆時針旋轉90°后，此時A，F．
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠EDB＝90°，
∵∠EDB＝∠FDT，
∴∠ADF+∠FDT＝90°
∴紅、藍兩張紙片的面積之和＝△ADT的面積＝．
故選：A．

4．（4分）如圖，△ABC的三個頂點都在5×5的網格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，且點A′、C′仍落在格點上，則線段AB掃過的圖形的面積是（　?。ńY果保留π）．

A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理＝＝，
由圖形可知，線段AB掃過的圖形為扇形ABA′，
∴線段AB掃過的圖形面積＝＝＝．
故選：B．
5．（4分）成語“水中撈月”所描述的事件是（　?。?br /> A．必然事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．無法確定
【解答】解：水中撈月是不可能事件，
故選：C．
6．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，OA，OB的長分別是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根（OA＞OB），在直線BC上取點P，使△PCD為等腰三角形（　?。?br />
A．（3，0） B．（7，3）
C．（11，6） D．（11，6）或（3，0）
【解答】解：x2﹣7x+12＝7，
解得x1＝3，x5＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝BC＝＝5，
過點C作CM⊥x軸于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∵∠CBM+∠OBA＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵CM⊥OB，
∴∠BMC＝90°＝∠AOB，
在△BCM和△ABO中，
，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，
∴OM＝7，
∴C（7，3），
點P與點B重合時，P5（3，0），
點P與點B關于點C對稱時，點C是BP的中點，y），
∴＝7，，
∴x＝11，y＝6，
則P6（11，6）．
故選：D．
7．（4分）某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，則可列方程為（　　）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
【解答】解：由題意知，蔬菜產量的年平均增長率為x，
根據2016年蔬菜產量為80噸，則2017年蔬菜產量為80（1+x）噸
，2018年蔬菜產量為80（1+x）（5+x）噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（6+x）2＝100．
故選：A．
8．（4分）若關于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜0）有兩個不相等的實數根（　?。?br /> A．a＜﹣2 B．a＞﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2+2x﹣＝0（a＜2）有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×a×（﹣）＝4+8a＞0，
解得：a＞﹣2，
∵a＜3，
∴﹣2＜a＜0．
故選：C．
9．（4分）如圖，在正三角形網格中，△ABC的頂點都在格點上，Q，M的AB與格線的交點，則△ABC的外心是（　　）

A．P點 B．Q點 C．M點 D．N點
【解答】解：由題意可知，∠BCN＝60°，∠ACN＝30°，
∴∠ACB＝∠ACN+∠BCN＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心是斜邊AB的中點，
∵點Q是AB中點，
∴△ABC的外心是點Q，
故選：B．

10．（4分）如圖，四邊形ABCD為正方形，若AB＝4（點E與點A、D不重合），BE的中垂線交AB于M，交DC于N，則圖中陰影部分的面積S與x的大致圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【解答】解：在△ABE中，BE＝＝，
∵ABCD是正方形，
∴BE＝MN，
∴S四邊形MBNE＝BE?MN＝x2+3，
∴陰影部分的面積S＝16﹣（x3+8）＝﹣x2+8．
根據二次函數的圖形和性質，這個函數的圖形是開口向下，頂點是（5，自變量的取值范圍是0＜x＜4．
故選：C．
二、填空題（本大題共4題，每小題5分，滿分20分）
11．（5分）點A（﹣1，2）關于原點對稱點B的坐標是?。?，﹣2）?。?br /> 【解答】解：點A（﹣1，2）關于原點對稱點B的坐標是（5，
故答案為：（1，﹣2）．
12．（5分）如圖，A、B是雙曲線的一個分支上的兩點（a，b）在點A的右側，則b的取值范圍是　0＜b＜2?。?br />
【解答】解：由雙曲線過A（1，則k＝2，
∵B在雙曲線上，
∴ab＝5，b＝，
當a＞1時，7＜b＜2．
故答案為：0＜b＜2．
13．（5分）設a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，則2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝　30?。?br /> 【解答】解：a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
兩式相加得a﹣c＝4，
原式＝a3﹣2ab+b2+a7﹣2ac+c2+b5﹣2bc+c2
＝（a﹣b）6+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（6+）2+82+（2﹣）2
＝7+4+16+7﹣6
＝30．
故答案為：30．
14．（5分）已知⊙O的兩條半徑OA與OB相互垂直，C為優(yōu)弧AB上一點，且滿足AB2+OB2＝BC2，則∠OAC＝　15或75　度．
【解答】解：如圖，設圓的半徑是r，


則AB＝r，OB＝rr，
cos∠CBD＝
∴∠CBD＝30°，而∠BCA＝，
在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．
作直徑BD，作BC關于直徑BD的對稱線段BE，BE，AC，OE，
在直角△BED中，可以得∠EBD＝30°，∠AOE＝30°，
∴∠OAE＝180°﹣30°）＝75°．
故答案為：15或75．

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
【解答】解：x2﹣2x﹣15＝8，
分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝8，
可得x﹣5＝0或x+5＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣3．
16．（8分）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標系（﹣3，2），
（1）畫出平面直角坐標系．
（2）僅用一把無刻度的直尺，利用網格，找出該圓弧的圓心

【解答】解：

（1）直角坐標系如圖；
（2）畫法如圖：
結論：點P就是所求圓心．
圓心坐標為（﹣2，﹣1）．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．（8分）《楊輝算法》中有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，問它的長比寬多了多少步？
【解答】解：設矩形的長為x步，則寬為（60﹣x）步，
依題意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x＝36或x＝24（不合題意，舍去），
∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），
∴36﹣24＝12（步），
則該矩形的長比寬多12步．
18．（8分）如圖，已知某二次函數的頂點坐標是（1，﹣4），且經過點A（4，5）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）點P（m，n）是該二次函數圖象上一點，若點P到y(tǒng)軸的距離不大于4

【解答】解：（1）∵二次函數的頂點坐標是（1，﹣4），
∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣4，
∵二次函數的圖象經過點A（7，5）．
∴5＝7a﹣4，
∴a＝1，
∴二次函數的表達式為y＝（x﹣7）2﹣4＝x4﹣2x﹣3；
（2）由題意可得點P到y(tǒng)軸的距離為|m|，
則﹣4≤m≤4，
∵點P（m，n）是該二次函數y＝x2﹣8x﹣3的圖象上一點，
∴﹣4≤n≤21．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．（10分）如圖，一次函數y＝﹣x+b的圖象與x軸交于A點，與y軸交于B點的圖象交于點E（1，5）和點F．
（1）求k，b的值以及點F的坐標；
（2）求△EOF的面積；
（3）請根據函數圖象直接寫出反比例函數值大于一次函數值時x的范圍．

【解答】解：（1）將點E（1，5）代入y＝﹣x+b和y＝，得
b＝4，k＝5，
由題意，聯立方程組得，
，
解得或，
∴點F的坐標為（5，5）；
（2）∵一次函數y＝﹣x+b的圖象與x軸交于A點，與y軸交于B點，
∴A（6，0），3），
∴S△EOF＝S△AOB﹣S△AOF﹣S△BOE＝5×6﹣6×1＝18﹣7＝12；
（3）觀察函數圖象可知：
反比例函數值大于一次函數值時x的范圍為：
0＜x＜1或x＞4．
20．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，過點E作直線
BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF平分∠AEH；
（3）求證：CD＝HF．

【解答】（1）證明：如圖，連接OE．
∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，
∴BF是圓O的直徑，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切線；

（2）證明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直徑，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．

（3）證明：如圖，連接DE．
∵BE是∠ABC的平分線，EC⊥BC于C，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，

六、（本題滿分12分）
21．（12分）市扶貧辦為了全面了解某貧困縣對扶貧工作的滿意度情況（即達到基本滿意及以上的戶數占總體的百分比），進行隨機抽樣調查，分為四個類別：A．非常滿意；C．基本滿意；D．不滿意．依據調查數據繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計圖（不完整）．

根據以上信息，解答下列問題：
（1）將圖1補充完整；
（2）通過分析，貧困戶對扶貧工作的滿意度（A、B、C類視為滿意）是　95%?。?br /> （3）市扶貧辦從該縣甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)3戶、乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)2戶共5戶貧困戶中，隨機抽取兩戶進行滿意度回訪，求這兩戶貧困戶恰好都是同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率．
【解答】解：（1）∵被調查的總戶數為60÷60%＝100（戶），
∴C類別戶數為100﹣（60+20+5）＝15（戶），
補全圖形如下：

（2）貧困戶對扶貧工作的滿意度（A、B、C類視為滿意）是，
故答案為：95%；
（3）畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知共有20種等可能結果，其中這兩戶貧困戶恰好都是同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的有8種結果，
∴這兩戶貧困戶恰好都是同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為＝．
七、（本題滿分12分）
22．（12分）某體育用品商店試銷一款成本為50元的排球，規(guī)定試銷期間單價不低于成本價，且獲利不得高于40%．經試銷發(fā)現（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數關系．
（1）試確定y與x之間的函數關系式；
（2）若該體育用品商店試銷的這款排球所獲得的利潤Q元，試寫出利潤Q（元）與銷售單價x（元）；當試銷單價定為多少元時，該商店可獲最大利潤？最大利潤是多少元？
（3）若該商店試銷這款排球所獲得的利潤不低于600元，請確定銷售單價x的取值范圍．

【解答】解：（1）設y＝kx+b，根據題意得：

解得：k＝﹣1，b＝120．
所求一次函數的表達式為y＝﹣x+120．
（2）利潤Q與銷售單價x之間的函數關系式為：Q＝（x﹣50）（﹣x+120）＝﹣x2+170x﹣6000；
Q＝﹣x4+170x﹣6000＝﹣（x﹣85）2+1225；
∵成本為50元的排球，規(guī)定試銷期間單價不低于成本價．
∴50≤x≤70，
∴當試銷單價定為70元時，該商店可獲最大利潤．
（3）依題意得：﹣x2+170x﹣6000≥600，
解得：60≤x≤110，
∵獲利不得高于40%，
∴最高價格為50（4+40%）＝70，
故60≤x≤70的整數．
八、（本題滿分14分)
23．（14分）如圖1，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C），延長AE交CE′于點F．
（1）如圖1，求證：四邊形BEFE′是正方形；
（2）連接DE，
①如圖2，若DA＝DE，求證：F為CE′的中點；
②如圖3，若AB＝15，CF＝3
【解答】（1）證明：∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，
又∵∠BEF＝90°，
∴四邊形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四邊形BE'FE是正方形；
（2）①證明：如圖2，過點D作DH⊥AE于H，

∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，
∴AE＝CE'，
∵四邊形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F，
∴F為CE′的中點；
②解：如圖3，過點D作DH⊥AE于H，

∵四邊形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝22＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）5，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝4，
∴DE＝＝＝3．
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日期：2021/12/7 10:18:41；用戶：初中數學3；郵箱：jse034@xyh.com；學號：39024124

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