要求解某中心天體的質量，只需知道該中心天體某一衛(wèi)星環(huán)繞中心天體的運動參量T，r，v中的任意兩個，即可由萬有引力和牛頓第二定律結合來求解。
基本思路：根據(jù)行星(或衛(wèi)星)運動的情況，把行星(或衛(wèi)星)的運動視為勻速圓周運動，由觀測得到衛(wèi)星的運行周期及軌道半徑，根據(jù)向心力由萬有引力提供，可列出求中心天體質量的方程。
例如太陽質量的估算：設太陽(中心天體)的質量是M，某個行星的質量是m，它們之間的距離是r，行星繞太陽公轉的周期是T.則．得：
估算地球質量的方法：
利用地球的衛(wèi)星——月球的某些運動參量求解：
①已知月球繞地球運轉的周期T和軌道半徑r，可計算地球的質量；
②若已知月球繞地球做勻速圓周運動的線速度v和半徑r，根據(jù)。得：
③若已知月球運行的線速度v和周期T，根據(jù)及得：
【考題1 】已知萬有引力常量為G，現(xiàn)在給出下列各組數(shù)據(jù)，可以計算出地球質量的是( )．
A．地球繞太陽運行的周期T和地球離太陽中心的距離R
B. 月球繞地球運行的周期T和月球離地球中心的距離R
C. 人造地球衛(wèi)星在地面附近運行的速度v和運動周期T
D．地球的自轉周期T和地球的平均密度ρ
【解析】地球繞太陽運行時，萬有引力提供向心力，對地球應用牛頓第二定律有:
，解得:．可見只能求出太陽的質量，無法求出地球的質量，選項A錯誤；
同理，對月球應用牛頓第二定律有，解得．可見能求出地球的質量，選項B正確；
對人造地球衛(wèi)星應用牛頓第二定律有 ，又。聯(lián)立解得
．選項C正確；
將地球看成圓球形，其體積．則地球的質量，
又地球自轉周期，從而解得．可以看出要求出地球的質量還必須知道地球自轉的線速度，所以選項D錯誤．
【答案】 B、C
【變式1一1】利用下列數(shù)據(jù)，可以計算出地球的質量的是（ ）.
A．已知地球的半徑R和地面的重力加速度g
B．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑r和周期T
C．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑r和線速度v
D．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的線速度v和周期T
【變式1—2】為了研究太陽演化進程，需知道目前太陽的質量M已知地球半徑R＝6．4×106m，地球質量m＝6×1024 kg，日地中心的距離r＝1．5×1011m，地球表面處的重力加速度g取10m／s2，1年約為3．2×107 s，試估算目前太陽的質量M(保留一位有效數(shù)字，引力常量未知)．
考點2 天體密度的計算
求解天體密度的兩種思路：
(1)已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的周期為T．半徑為r，根據(jù)得．倘若再知道中心天體的半徑R，則天體的密度
當衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則：．
(2)已知天體表面上的重力加速度為g，則．得
天體密度的這幾個表達式經(jīng)常用到，要能推導、理解其中各物理量的意義．
【考題2】已知萬有引力常量G，那么在下列給出的情景中，能根據(jù)測量的數(shù)據(jù)求出月球密度的是( )．
A．在月球表面使一個小球做自由落體運動，測出落下的高度H和時間t
B．發(fā)射一顆貼近月球表面繞月球做圓周運動的飛船，測出飛船運行的周期T
C．觀察月球繞地球的圓周運動，測出月球的直徑D和月球繞地球運行的周期T
D．發(fā)射一顆繞月球做圓周運動的衛(wèi)星，測出衛(wèi)星離月球表面的高度H和衛(wèi)星的周期T
【解析】根據(jù)選項A的條件，可以算出月球上的重力加速度g．由可以求出月球質量和月球半徑的平方比，，無法求出密度，選項A不正確；
根據(jù)選項B的條件，由，可求出月球質量和月球半徑的立方比，得月球密度為，選項B正確；
根據(jù)選項D的條件，由，可求出．雖然知道H的大小，但仍然無法求出月球質量和月球半徑的立方比，故選項D不正確．
【答案】 B
【變式2—1】一個登月的宇航員，能否用一個彈簧測力計和一個質量為m的砝碼，估測出月球的質量和密度?如果能，說明估測方法并寫出表達式．(已知月球的半徑為R)
若本題給的不是彈簧測力計和砝碼，而是一把刻度尺和一只秒表，能否測量出月球的質量和密度?
考點3 黃金代換式的理解與運用
若已知星球表面的重力加速度g和星球的半徑R．當忽略星球的自轉影響時，可認為星球對其表面物體的萬有引力等于物體的重力，則.則有：.這就是在許多計算中常用到的替換關系，被稱為“黃金代換”．
注意在利用時易出錯。若R為地球半徑，則g為地球表面處的重力加速度。若R不是地球半徑(物體距離地面高度為h)，則g應為物體所在處(距地面h高處)的重力加速度值，物體離地面越高，g值越?。藭r軌道半徑r＝R＋h，則該替換式可寫成GM＝(R＋h)2ｇ．
【考題3】一人造地球衛(wèi)星距地球表面的高度是地球半徑的l5倍．試估算此衛(wèi)星的線速度(已知地球半徑R=6400km)．
【解析】人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，滿足關系式 ①
式中：m為衛(wèi)星質量，M為地球質量，l6R為衛(wèi)星的軌道半徑．
由于地球質量M未知，所以應設法用其他已知常數(shù)代換，在地球表面． ②
由①②兩式消去GM，解得
【變式3—1】GPS是全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)的簡稱，它由距地球表面約2萬千米處的24顆高軌道測距衛(wèi)星和地面的一些科技設備組成。測距衛(wèi)星軌道為圓形，分布在6個軌道上，形成了一個包圍地球的GPS衛(wèi)星網(wǎng)絡。地面設備包括1個主控站、l個注入站和4個監(jiān)控站，以及分布在世界各地的GPS接收機。GPS衛(wèi)星定位系統(tǒng)比雷達定位系統(tǒng)具有明顯的技術優(yōu)勢，它具有的三維定位能力幾乎不受天氣、地域和其他電磁波的影響，且定位準確、迅速。隨著科學技術的發(fā)展，GPS地面接收設備的成本進一步降低，促使其應用范圍擴大到國民經(jīng)濟的各個領域。比如，在汽車上裝備GPS接收器，車輛管理中心就可以對車輛實行智能化跟蹤，隨時測出車輛的方位、車速。若車上再配置GPS電子地圖，只要將目的地輸入地圖，車輛運行時地圖上的光標會為駕駛員指示最佳的行駛路線，這樣不但可以大幅度提高公路的通行能力，而且對加強車輛的動態(tài)管理和分流具有重大意義。試估算測距衛(wèi)星每天繞地球運行約多少圈。(已知地球半徑R＝6400km，g取lOm／s2)
考點4 多星系統(tǒng)運動問題
所謂“雙星”問題，是指在宇宙空間中有兩顆相距較近的天體，它們靠相互吸引的力提供向心力做勻速圓周運動。兩者有共同的圓心，且間距不變，則向心力大小也不變。其他天體距它們很遠，其影響可以忽略不計。
多星系統(tǒng)問題的求解方法仍然是建立萬有引力方程和牛頓第二定律方程，并結多星運動系統(tǒng)幾何上和運動參量上的特有關系求解。
在圖14—2中，“雙星”ml與m2的連線一定過圓軌道的圓心O．由于萬有引力提供向心力，故有
“雙星”的周期一定相同，角速度ω也相同，故天體質量與軌道半徑成反比，即 又因為，則有，故有
三星系統(tǒng)的求解方法與之類似，實際上多星系統(tǒng)中各星體在運轉中均有相同的角速度，否則系統(tǒng)不能穩(wěn)定存在。這類考題所設置的一般是理想化的對稱模型，求解時應注意旋轉中心到各星體的半徑可能不同。在三星或更多星組成的系統(tǒng)中還需注意其他各星體對某待研究星體的吸引力的合力才是該星體運轉所需的向心力。
雙星系統(tǒng)具有如下特點：
(1)它們以相互間的萬有引力來提供向心力。
(2)它們共同繞它們連線上某點做圓周運動。
(3)它們的周期、角速度相同。
【考題4】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每個星體的質量均為m．
(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期．
(2)假設兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少?
【解析】(1)對于第一種運動情況，以某個運動星體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有 , ．
解得運動星體的線速度 , 周期為． ①
(2)設第二種形式星體之間的距離為r．則三個星體做圓周運動的半徑為： ②
由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其他兩個星體的萬有引力的合力提供．由力的合成和牛頓運動定律有
． ③
. ④
由①②③④式得，
【變式4—1】宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起。設二者的質量分別為m1和m2，兩者相距為L．求：
(1)雙星的軌道半徑之比；
(2)雙星的線速度之比；
(3)雙星的角速度．
考點5 天體運動的綜合問題
天體運動的綜合問題的求解方法仍是萬有引力定律與牛頓運動定律的結合，另外在數(shù)學計算上應適當借用黃金代換。
解決天體運動問題的兩條基本思路：
(1)將行星繞恒星的運動、衛(wèi)星繞行星的運動均視為勻速圓周運動，所需向心力是由萬有引力提供的。根據(jù)圓周運動的知識和牛頓第二定律列式求解有關天體運動的一些物理量，有如下關系：
(2)重力近似等于其所受的萬有引力，即 (m在M的表面上)．
注意：軌道向心加速度與天體表面重力加速度是不同的。
在軌道上，軌道向心加速度 (r為軌道半徑)也稱為軌道處的重力加速度，故：
在天體表面上，表面重力加速度： (R為天體半徑)．
【考題5】如圖l4—3所示，A、B兩行星在同一平面內繞一恒星做勻速圓周運動，運行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2．已知恒星質量為M，恒星對行星的引力遠大于行星間的引力，兩行星的軌道半徑r1＜r2，若在某一時刻兩行星相距最近，試求：
(1)再經(jīng)過多少時間兩行星距離又最近?
(2)再經(jīng)過多少時間兩行星距離最遠?
【解析】圖示時刻相距最近，這時A、B與恒星在同一條圓半徑上。A、B運動方向相同。A靠近恒星，角速度大、周期短。
(1)設A、B的角速度分別為ω1、ω2，經(jīng)過時間t，A轉過的角度為ω1t，B轉過的角度為ω2t．A、B距離最近的條件是
(n＝1，2，3，…)． ①
恒星對行星的引力提供向心力，則
． 即：
由此得出 ．
求得 （n＝l,2,3，…)． ②
(2)如果經(jīng)過時間t’，A、B轉過的角度相差π，則A、B相距最遠．即
． ③
求得 (n＝1，2，3，…)．
【變式5-1】兩個行星質量分別為m1和m2，繞太陽運行的軌道半徑分別是r1和r2．求：
(1)它們與太陽間的萬有引力之比．
(2)它們的公轉周期之比
專 項 測 試
學業(yè)水平測試
1．[考點l、2]一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要( )．
A．測定飛船的運行周期 B. 測定飛船的環(huán)繞半徑
C．測定行星的體積 D. 測定飛船的運動速度
2．[考點5]行星繞恒星運動的軌道如果是圓，那么它的運行周期T的平方與軌道半徑r的三次方的比為常數(shù)，設，則常數(shù)k的大小( )．
A．只與行星的質量有關 B．只與恒星的質量有關
C．與恒星的質量及行星的質量有關 D．與恒量的質量及行星的速度有關
3．[考點l]地球公轉的軌道半徑是R1，周期是Tl；月球繞地球運轉的軌道半徑是R2，周期是T2．則太陽質量與地球質量之比是( )．
A． B. C. D．
4．[考點l、2]若知道太陽的某一顆行星繞太陽運轉的軌道半徑為r，周期為T，引力常量為G，則可求得 ( )．
A．該行星的質量 B．太陽的質量 C．該行星的平均密度 D．太陽的平均密度
5．[考點5]1990年5月，紫金山天文臺將他們發(fā)現(xiàn)的第2752號小行星命名為吳健雄星，該小行星的半徑為l6km．若將此小行星和地球均看成質量分布均勻的球體，小行星密度與地球的相同。已知地球半徑R＝6400km．地球表面重力加速度為g．這個小行星表面的重力加速度為 ( )．
A．400g B. g/400 C. 20g D. g/20
6．[考點l、2]科學家們推測，太陽系的另一未發(fā)現(xiàn)的行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”．由以上信息我們可推知( )．
A．這顆行星的公轉周期與地球相等 B．這顆行星的自轉周期與地球相等
C．這顆行星的質量等于地球的質量 D．這顆行星的密度等于地球的密度
7．[考點5]某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的衛(wèi)星的周期是T，試證明ρT2為一個常數(shù)．
8．[考點5]某星球的半徑是地球半徑R的0．5倍(即R’＝0．5R)，該星球的質量m’是地球質量m的4倍(即m’＝4m)．已知在地球表面上以初速度v0豎直上拋物體能達到的最大高度為H，問在該星球表面上以同樣大小的初速度豎直上拋物體能達到的最大高度H’為多大?
9．[考點l、5]已知海王星的直徑為地球直徑的4倍，海王星表面的重力加速度與地球表面的大致相等，試估算海王星的質量．(已知地球質量M地＝6．0×1024kg)
高考水平測試
1．[考點１]天文學家發(fā)現(xiàn)了某恒星有一顆行星在圓形軌道上繞其運動，并測出了行星的軌道半徑和運行周期。由此可推算出( )．
A．行星的質量 B．行星的半徑 C．恒星的質量 D．恒星的半徑
2．[考點3]組成星球的物質是靠引力吸引在一起的。這樣的星球有一個最大的自轉速率，如果超過了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體做圓周運動，由此可得出半徑R、密度ρ、質量M的均勻分布的星球的最小自轉周期T.下列表達式中正確的是( )．
A. B. C. D.
3．[考點1]太陽由于輻射，質量在不斷減少，地球由于接受太陽輻射和吸收宇宙中的塵埃，其質量在增加。假定地球增加的質量等于太陽減少的質量，且地球的軌道半徑不變，則( )．
A．太陽對地球的引力增大 B. 太陽對地球的引力減小
C．地球運行的周期變長 D．地球運行的周期變短
4．[考點5]我國繞月探測工程的預先研究和工程實施已取得重要進展。設地球、月球的質量分別為M1、M2，半徑分別為R1、R2，人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度為v，對應的環(huán)繞周期為T，則環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的探測器的速度和周期分別為( )．
A． B.
C. D.
5．[考點4]我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G，由此可求出S2的質量為( )．
A. B. C. D.
6．[考點5]地球赤道上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a，要使赤道上物體“飄”起來，則地球的轉速應為原來轉速的( )．
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
7．[考點l、2]最近，科學家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周所用的時間為1200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100倍。假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有 ( )．
A．恒星質量與太陽質量之比 B．恒星密度與太陽密度之比
C．行星質量與地球質量之比 D．行星運行速度與地球公轉速度之比
8．[考點l、2、3]中子星是恒星演化過程中的一種可能結果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉周期T＝(1/30)s.該中子星的密度最小應是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉而瓦解?(計算時星體可視為均勻球體，引力常量G＝6．67×10-11N·m2／kg2)
9．[考點l、2、5]土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為圓周運動，其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為rA＝8．0×104km和rB＝1．2×105km，忽略所有巖石顆粒間的相互作用。(結果可用根式表示)
(1)求巖石顆粒A和B的線速度之比．
(2)求巖石顆粒A和B的周期之比．
(3)土星探測器上有一物體，在地球上重為10N，推算出它在距土星中心3．2×105km處受到土星的引力為0．38N．已知地球半徑為6．4×103km，請估算土星質量是地球質量的多少倍?
10．[考點4、5]如圖所示，在天文學上把兩個相距較近，由于彼此的引力作用而沿軌道互相環(huán)繞的恒星系統(tǒng)稱為雙星。例如天上明亮的天狼星就是雙星系統(tǒng)的一顆子星，另一顆子星是已不再發(fā)光的白矮星．它們的環(huán)繞周期為50．1年．現(xiàn)α星和β星組成的雙星系統(tǒng)其“晃動”(實際上是環(huán)繞轉動，不過人們往往只看到它們在晃動)周期為T，α星的晃動范圍為Dα，β星的晃動范圍為Dβ．試求α星和β星的質量．

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