考點(diǎn)9.3　橢圓（解析版）練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?9.3　橢圓
【基礎(chǔ)集訓(xùn)】
考點(diǎn)一　橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1.已知橢圓y2m+x22=1的一個(gè)焦點(diǎn)為0,12,則m=(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.94
【答案】　D
2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為33,過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若△AF1B的周長(zhǎng)為43,則C的方程為(　　)
A.x23+y22=1　　　　　B.x23+y2=1
C.x212+y28=1　　　　　D.x212+y24=1
【答案】　A
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是橢圓y24+x23=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),B(0,-1),則|PA|+|PB|的最大值為(　　)
A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2
【答案】　A
4.橢圓x29+y225=1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m,當(dāng)m取最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　　　　　　.?
【答案】　(-3,0)或(3,0)
考點(diǎn)二　橢圓的幾何性質(zhì)
5.以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)三等分點(diǎn),則橢圓的離心率是(　　)
A.13　　　B.33　　　C.34　　　D.223
【答案】　D
6.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是C上的點(diǎn),PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,則C的離心率為(　　)
A.36　　　B.13　　　C.12　　　D.33
【答案】　D
7.設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1b≥32a>0,右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的兩實(shí)根分別為x1,x2,則x12+x22的取值范圍是(　　)
A.0,32　　　　　B.1,32
C.1,34　　　　　D.1,74
【答案】　D
考點(diǎn)三　直線與橢圓的位置關(guān)系
8.與橢圓x22+y2=1有相同的焦點(diǎn)且與直線l:x-y+3=0相切的橢圓的離心率為(　　)
A.22　　　B.55　　　C.12　　　D.15
【答案】　B
9.橢圓x225+y216=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,弦AB過(guò)F1,若△ABF2的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|y1-y2|的值為(　　)
A.53　　　　　B.103
C.103　　　　D.53　
【答案】　A
10.已知P(1,1)為橢圓x24+y22=1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過(guò)P引一條弦,使此弦被P點(diǎn)平分,且弦與橢圓交于A、B兩點(diǎn),則此弦所在直線的方程為　　　　　　　.?
【答案】　x+2y-3=0
11.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為34,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
【答案】　(1)根據(jù)題意知F1(-c,0),Mc,b2a.
由kMN=34得b2a-0c-(-c)=34,
即2b2=3ac,將b2=a2-c2代入得2(a2-c2)=3ac,2c2-2a2+3ac=0,
2e2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍),
故C的離心率為12.
(2)由題意,知原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,設(shè)直線MF1與y軸的交點(diǎn)為D,則D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故b2a=4,即b2=4a,①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設(shè)N(x1,y1),由題意知y10)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),PF1,PF2的中點(diǎn)分別為M,N,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OMPN的周長(zhǎng)為23,則△PF1F2的周長(zhǎng)是(　　)
A.2(2+3)　　　 B.4+23　　
C.2+3　　　　　D.2+23
【答案】　A
3.已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(　　)
A.43　　　B.1　　　C.45　　　D.34
【答案】　D
考法二　橢圓離心率問(wèn)題的求法
4.設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與E交于P,Q兩點(diǎn).若△PF1F2為直角三角形,則E的離心率為(　　)
A.2-1　　　 B.5-12　　
C.22　　　　　D.2+1
【答案】　A
5.我國(guó)自主研制的第一個(gè)月球探測(cè)器——“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后,在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌,奔向月球,進(jìn)入月球軌道,“嫦娥一號(hào)”軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)地球半徑為R,衛(wèi)星近地點(diǎn),遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是R2,5R2(如圖所示),則“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星軌道的離心率為(　　)

A.25　　　B.15　　　C.23　　　D.13
【答案】　A
6.設(shè)F,B分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C是直線y=bax與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),若FO+FC=λ(BO+BC),則橢圓的離心率是(　　)
A.22+17　　　　　B.22-17
C.22-13　　　　　D.2-1
【答案】　A
考法三　直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題的解法
7.已知橢圓x2a2+y24=1(a>2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若|AF2|+|BF2|的最大值為283,則該橢圓的離心率為(　　)
A.22　　　B.53　　　C.12　　　D.59
【答案】　B
8.已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
【答案】　本題考查橢圓的方程和性質(zhì),直線的方程等知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.
(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由題意得a=2,ca=32,
解得c=3.
所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)證明:設(shè)M(m,n),
則D(m,0),N(m,-n).
由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.
直線AM的斜率kAM=nm+2,
故直線DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m).
直線BN的方程為y=n2-m(x-2).
聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),
解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.
又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,
S△BDN=12|BD|·|n|,
所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
題組一
考點(diǎn)一　橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為(　　)
A.x22+y2=1　　　B.x23+y22=1　　　C.x24+y23=1　　　D.x25+y24=1
【答案】　B
2.設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為　　　　.?
【答案】　(3,15)
3.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為12c.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=52的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.

【答案】　(1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,
則原點(diǎn)O到該直線的距離d=bcb2+c2=bca,
由d=12c,得a=2b=2a2-c2,可得離心率ca=32.
(2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.①
依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=10.
易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,
x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.
由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,
解得k=12.
從而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=1+122|x1-x2|
=52(x1+x2)2-4x1x2
=10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.
故橢圓E的方程為x212+y23=1.
解法二:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.②
依題意,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對(duì)稱(chēng),且|AB|=10.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,
兩式相減并結(jié)合x(chóng)1+x2=-4,y1+y2=2,得
-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2,
所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12.
因此直線AB的方程為y=12(x+2)+1,
代入②得x2+4x+8-2b2=0.
所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.
于是|AB|=1+122|x1-x2|
=52(x1+x2)2-4x1x2
=10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,
解得b2=3.
故橢圓E的方程為x212+y23=1.
解題關(guān)鍵　對(duì)于第(2)問(wèn),利用弦長(zhǎng)及韋達(dá)定理或點(diǎn)差法構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)二　橢圓的幾何性質(zhì)
4.橢圓x29+y24=1的離心率是(　　)
A.133　　　B.53　　　C.23　　　D.59
【答案】　B
5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,則(　　)
A.a2=2b2　　　B.3a2=4b2　　　C.a=2b　　　D.3a=4b
【答案】　B
6.已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為36的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為(　　)
A.23　　　B.12　　　C.13　　　D.14
【答案】　D
7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(　　)
A.63　　　B.33　　　C.23　　　D.13
【答案】　A
8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為　(　　)
A.13　　　B.12　　　C.23　　　D.34
【答案】　A
9.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線N:x2m2-y2n2=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為　　　　;雙曲線N的離心率為　　　　.?
【答案】　3-1;2
10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0).過(guò)F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B,連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連接DF1.已知DF1=52.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】　本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.
(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因?yàn)镕1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因?yàn)镈F1=52,AF2⊥x軸,所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.
因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.
(2)解法一:由(1)知,橢圓C:x24+y23=1,a=2.
因?yàn)锳F2⊥x軸,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.
將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.
因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.
由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=-115.
將x=-115代入y=2x+2,得y=-125.
因此B-115,-125.
又F2(1,0),所以直線BF2:y=34(x-1).
由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以x=-1.
將x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.
因此E-1,-32.
解法二:由(1)知,橢圓C:x24+y23=1.
如圖,連接EF1.
因?yàn)锽F2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
從而∠BF1E=∠B.
因?yàn)镕2A=F2B,所以∠A=∠B.
所以∠A=∠BF1E,從而EF1∥F2A.
因?yàn)锳F2⊥x軸,所以EF1⊥x軸.
因?yàn)镕1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,解得y=±32.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以y=-32.
因此E-1,-32.

考點(diǎn)三　直線與橢圓的位置關(guān)系
11.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為55.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上.若|ON|=|OF|(O為原點(diǎn)),且OP⊥MN,求直線PB的斜率.
【答案】　本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.
(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.
所以,橢圓的方程為x25+y24=1.
(2)由題意,設(shè)P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).設(shè)直線PB的斜率為k(k≠0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,進(jìn)而直線OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-k2.由OP⊥MN,得4-5k2-10k·-k2=-1,化簡(jiǎn)得k2=245,從而k=±2305.
所以,直線PB的斜率為2305或-2305.
思路分析　(1)根據(jù)條件求出基本量a,b得到橢圓方程.
(2)要利用條件OP⊥MN,必須求P點(diǎn)和M、N點(diǎn)坐標(biāo).由直線PB的方程與橢圓方程聯(lián)立得到P點(diǎn)坐標(biāo),求出M及N點(diǎn)坐標(biāo),利用kOP·kMN=-1求出kPB.
12.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx(kx1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.
由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.
當(dāng)k=-89時(shí),x2=-90,
所以|GH|>|AB|2.
故點(diǎn)G-94,0在以AB為直徑的圓外.
解法二:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則GA=x1+94,y1,
GB=x2+94,y2.
由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,
從而GA·GB=x1+94x2+94+y1y2
=my1+54my2+54+y1y2
=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516
=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516
=17m2+216(m2+2)>0,
所以cos>0.又GA,GB不共線,所以∠AGB為銳角.
故點(diǎn)G-94,0在以AB為直徑的圓外.
評(píng)析　本題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.
考點(diǎn)二　橢圓的幾何性質(zhì)
4.設(shè)F1,F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為(　　)
A.12　　　B.23　　　C.34　　　D.45
【答案】　C
5.如圖,設(shè)橢圓x2a2+y2=1(a>1).
(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示);
(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.

【答案】　(1)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP,
由y=kx+1,x2a2+y2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-2a2k1+a2k2.
因此|AP|=1+k2|x1-x2|=2a2|k|1+a2k2·1+k2.
(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿(mǎn)足|AP|=|AQ|.
記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,
故2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,
所以(k12-k22)[1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22]=0.
由于k1≠k2,k1,k2>0得1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,
因此1k12+11k22+1=1+a2(a2-2),①
因?yàn)棰偈疥P(guān)于k1,k2的方程有解的充要條件是1+a2(a2-2)>1,所以a>2.
因此,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1

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