11.5　變量間的相關關系、統(tǒng)計案例【基礎集訓】考點一　變量間的相關關系1.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表:x1234y0.53.24.87.5若y關于x的線性回歸方程為=x+,,則的值為(　　)A.1.25　　　B.-1.25　　　C.1.65　　　D.-1.65【答案】　D2.已知某產品的銷售額y(萬元)與廣告費用x(萬元)之間的關系如下表:x(單位:萬元)01234y(單位:萬元)1015203035若求得其線性回歸方程為=6.5x+,則預計當廣告費用為6萬元時的銷售額為(　　)A.42萬元　　　B.45萬元　　　C.48萬元　　　D.51萬元【答案】　C3.下列說法錯誤的是(　　)A.回歸直線過樣本點的中心(,)B.兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)的絕對值就越接近1C.在回歸直線方程=0.2x+0.8中,當解釋變量x每增加1個單位時,預報變量平均增加0.2個單位D.對于分類變量X與Y,隨機變量K2的觀測值k越大,則判斷“X與Y有關系”的把握程度越小【答案】　D4.已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為=4x+242,則實數(shù)a=　　　　. x23456y251254257a266【答案】　2625.某學校為倡導全體學生為特困學生捐款,舉行“一元錢,一片心,誠信用水”活動,學生在購水處每領取一瓶礦泉水,便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出和收益情況,如下表:售出水量x(單位:箱)76656收益y(單位:元)165142148125150 (1)若x與y線性相關,則某天售出8箱水時,預計收益為多少元;(2)期中考試以后,學校決定將誠信用水的收益以獎學金的形式獎勵給品學兼優(yōu)的特困生,規(guī)定:特困生考入年級前200名,獲一等獎學金500元;考入年級201~500名,獲二等獎學金300元;考入年級501名以后的特困生將不獲得獎學金.甲、乙兩名學生獲一等獎學金的概率均為,獲二等獎學金的概率均為,不獲得獎學金的概率均為.①在學生甲獲得獎學金的條件下,求他獲得一等獎學金的概率;②已知甲、乙兩名學生獲得哪個等級的獎學金是相互獨立的,求甲、乙兩名學生所獲得獎學金總金額X(元)的分布列及數(shù)學期望.附:=,=-.【解析】　(1)∵==6,==146,∴===20,則=-=146-20×6=26,∴=20x+26,當x=8時,=20×8+26=186,故某天售出8箱水時,預計收益是186元.(2)①設事件A為“學生甲獲得獎學金”,事件B為“學生甲獲得一等獎學金”,則P(B|A)===,即在學生甲獲得獎學金的條件下,他獲得一等獎學金的概率為.②X的可能取值(單位:元)為0,300,500,600,800,1 000,P(X=0)=×=,P(X=300)=××=,P(X=500)=××=,P(X=600)==,P(X=800)=××=,P(X=1 000)==.X的分布列為X03005006008001 000PE(X)=0×+300×+500×+600×+800×+1 000×=600(元).考點二　獨立性檢驗6.隨著國家二孩政策的全面放開,為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調查了100位育齡婦女,結果如下表. 非一線城市一線城市總計愿生452065不愿生132235總計5842100附表:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828由K2=算得,K2=≈9.616,參照附表,得到的正確結論是(　　)A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“生育意愿與城市級別有關”B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“生育意愿與城市級別無關”C.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”D.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”【答案】　C7.假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表: y1y2總計x1a10a+10x2c30c+30總計6040100對同一樣本,以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為(　　)A.a=45,c=15　　　　　B.a=40,c=20C.a=35,c=25　　　　　D.a=30,c=30【答案】　A8.為調查了解某省屬師范大學師范類畢業(yè)生參加工作后從事的工作與教育是否有關的情況,隨機調查了該校80位性別不都相同的2019年師范類畢業(yè)大學生,得到具體數(shù)據(jù)如下表: 與教育有關與教育無關合計男301040女35540合計651580 (1)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下,認為“師范類畢業(yè)生從事與教育有關的工作與性別有關”?(2)求這80位師范類畢業(yè)生從事與教育有關工作的頻率;(3)以(2)中的頻率作為概率,從該校近幾年畢業(yè)的2 000名師范類大學生中隨機選取4名,記這4名畢業(yè)生從事與教育有關工作的人數(shù)為X,求X的數(shù)學期望E(X).參考公式:K2=(n=a+b+c+d).附表:P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【解析】　(1)根據(jù)題意得K2=≈2.051 3,因為K2<3.841,所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下,不能認為“師范類畢業(yè)生從事與教育有關的工作與性別有關”.(2)由題表知這80位師范類畢業(yè)生從事與教育有關工作的頻率為=.(3)由題意知X~B,得E(X)=4×=.【綜合集訓】考法一　線性回歸分析的應用1.某單位為了了解用電量y(千瓦時)與氣溫x(℃)之間的關系,隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫,并制作了如下對照表:氣溫(℃)181310-1用電量(千瓦時)24343864 由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程=x+中的=-2,預測當氣溫為-4 ℃時,用電量為(　　)A.68千瓦時　　　B.67千瓦時　　　C.65千瓦時　　　D.64千瓦時【答案】　A2.已知變量x,y之間的線性回歸方程為=-0.7x+10.3,且變量x,y之間的一組相關數(shù)據(jù)如下表所示,則下列說法錯誤的是(　　)x681012y6m32A.變量x,y之間呈負相關關系B.可以預測,當x=20時,=-3.7C.m=4D.該回歸直線必過點(9,4)【答案】　C3.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù),得到的回歸方程為=x+9,則=(　　)x45678y54321A.2　　　B.1　　　C.0　　　D.-1【答案】　D4.在“一帶一路”的建設中,中石化集團獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權,集團在該地區(qū)隨機初步勘探了幾口井,取得了地質資料.進入全面勘探時期后,集團按網(wǎng)絡點來布置井位進行全面勘探.由于勘探一口井的費用很高,如果新設計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費用,勘探初期數(shù)據(jù)資料見下表:井號i123456坐標(x,y)(km)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1,y)鉆探深度(km)2456810出油量(L)407011090160205(1)在散點圖中,1~6號舊井的位置大致分布在一條直線附近,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a,求a,并估計y的預報值;(2)現(xiàn)準備勘探新井7(1,25),若通過1、3、5、7號井計算出的,的值(,精確到0.01)與(1)中b,a的值的差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6(1,y),否則在新位置打井,請判斷可否使用舊井;參考公式和計算結果:=,=-,=94,x2i-1·y2i-1=945(3)設出油量與鉆探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質井,那么在原有6口井中任意勘探4口井,求勘探優(yōu)質井數(shù)X的分布列與數(shù)學期望.【解析】　(1)利用前5組數(shù)據(jù)得到=×(2+4+5+6+8)=5,=×(30+40+60+50+70)=50,∵y=6.5x+a,∴a=50-6.5×5=17.5,∴回歸直線方程為y=6.5x+17.5.當x=1時,y=6.5+17.5=24,∴y的預報值為24.(2)利用1、3、5、7號井的數(shù)據(jù)得==4,==46.25,又=94,x2i-1y2i-1=945,∴==≈6.83,又∵=-,∴=46.25-6.83×4=18.93,又b=6.5,a=17.5,∴≈5%,≈8%,均不超過10%,∴可使用位置最接近的已有舊井6(1,24).(3)由題意知,1、3、5、6這4口井是優(yōu)質井,2,4這兩口井是非優(yōu)質井,∴勘探優(yōu)質井數(shù)X的可能取值為2,3,4,由P(X=k)=(k=2,3,4),可得P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.∴X的分布列為X234PE(X)=2×+3×+4×=.考法二　獨立性檢驗的應用5.在吸煙與患肺癌這兩個分類變量的獨立性檢驗的計算中,下列說法正確的是(　　)A.若K2的觀測值k=6.635,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺癌有關系,那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺癌B.由獨立性檢驗可知,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺癌有關系時,我們說某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺癌C.若從統(tǒng)計量中求出在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺癌有關系,是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯誤D.以上三種說法都不正確【答案】　C6.某中學學生會為了調查愛好游泳運動與性別是否有關,通過隨機詢問110名性別不都相同的高中生是否愛好游泳運動得到如下2×2列聯(lián)表: 男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2=并參照附表,得到的正確結論是　(　　)附表:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為“愛好游泳運動與性別有關”B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為“愛好游泳運動與性別無關”C.有99.9%的把握認為“愛好游泳運動與性別有關”D.有99.9%的把握認為“愛好游泳運動與性別無關”【答案】　A7.為了實現(xiàn)文化脫貧,某高校鼓勵即將畢業(yè)的大學生到西部偏遠山區(qū)去支教,校學生就業(yè)部針對即將畢業(yè)的男女生是否愿意到西部支教進行問卷調查,得到的情況如下表所示: 愿意去支教不愿意去支教總計女生 20 男生40  總計70 100 (1)完成上述列聯(lián)表;(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),試通過計算,判斷是否有95%的把握說明是否愿意去西部支教與性別有關;(3)若在接受調查的所有男生中按照“是否愿意去支教”進行分層抽樣,隨機抽取10人,再從10人中抽取3人進行面談,記面談的男生中,不愿意去支教的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)及公式如下:P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2=,其中n=a+b+c+d.【解析】　(1)所求列聯(lián)表如下: 愿意去支教不愿意去支教總計女生302050男生401050總計7030100 (2)因為K2的觀測值k0==≈4.762>3.841.所以有95%的把握說明是否愿意去西部支教與性別有關.(3)由題意,抽取的10人中有8人愿意去西部支教,2人不愿意去西部支教,于是ξ=0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,∴ξ的分布列為 ξ012P∴Eξ=0×+1×+2×=.8.通過隨機詢問某地100名高中學生在選擇座位時是否挑同桌,得到如下2×2列聯(lián)表: 男生女生總計挑同桌304070不挑同桌201030總計5050100 (1)從這50名男生中按是否挑同桌采取分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本,現(xiàn)從這5人中隨機選取3人做深度采訪,求這3名學生中至少有2名要挑同桌的概率;(2)根據(jù)以上2×2列聯(lián)表,判斷是否有95%以上的把握認為“性別與在選擇座位時是否挑同桌”有關.下面的臨界值表供參考:P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】　(1)根據(jù)分層抽樣方法可知抽取容量為5的樣本中,挑同桌的有3人,記為A、B、C,不挑同桌的有2人,記為d、e;從這5人中隨機選取3人,基本事件為ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,Ade,BCd,BCe,Bde,Cde,共10種,這3名學生中至少有2名要挑同桌的基本事件為ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,BCd,BCe,共7種,故所求的概率P=.(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表,計算K2=≈4.761 9>3.841,對照臨界值表知,有95%以上的把握認為“性別與在選擇座位時是否挑同桌”有關.思路分析　(1)根據(jù)分層抽樣原理求出樣本中挑同桌的有3人,不挑同桌的有2人,利用列舉法求出基本事件數(shù),從而求概率;(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表計算K2,對照臨界值表得出結論.題組一考點一　變量間的相關關系1.為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系,設其回歸直線方程為=x+.已知xi=225,yi=1 600,=4.該班某學生的腳長為24,據(jù)此估計其身高為(　　)A.160　　　B.163　　　C.166　　　D.170【答案】　C2.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程=x+,其中=0.76,=-.據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　)A.11.4萬元　　　　　B.11.8萬元           C.12.0萬元　　　　　D.12.2萬元【答案】　B3.下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值;(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.【解析】　(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為=99+17.5×9=256.5(億元).(2)利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠.(ii)從計算結果看,相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.方法總結　利用直線方程進行預測是對總體的估計,此估計值不是準確值;利用回歸方程進行預測(把自變量代入回歸直線方程)是對因變量的估計,此時,需要注意自變量的取值范圍.4.某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(xi-)2(wi-)2(xi-)(yi-)(wi-)(yi-)46.65636.8289.81.61 469108.8(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;(3)已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題:(i)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?(ii)年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=- .【解析】　(1)由散點圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.(2分)(2)令w=,先建立y關于w的線性回歸方程.由于===68,=- =563-68×6.8=100.6,所以y關于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關于x的回歸方程為=100.6+68.(6分)(3)(i)由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預報值=100.6+68=576.6,年利潤z的預報值=576.6×0.2-49=66.32.(9分)(ii)根據(jù)(2)的結果知,年利潤z的預報值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以當==6.8,即x=46.24時,取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.(12分)思路分析　(1)根據(jù)散點圖中點的分布趨勢進行判斷.(2)先設中間量w=,建立y關于w的線性回歸方程,進而得y關于x的回歸方程.(3)(i)將x=49代入回歸方程求出y的預報值,進而得z的預報值,(ii)求出z關于x的回歸方程,進而利用函數(shù)方法求最大值.考點二　獨立性檢驗5.某工廠為提高生產效率,開展技術創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人.第一組工人用第一種生產方式,第二組工人用第二種生產方式.根據(jù)工人完成生產任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高,并說明理由;(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表: 超過m不超過m第一種生產方式  第二種生產方式   (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異?附:K2=,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.【解析】　(1)第二種生產方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘,用第二種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.(ii)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.(iii)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多,關于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多,關于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少.因此第二種生產方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.(2)由莖葉圖知m==80.列聯(lián)表如下: 超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515 (3)由于 K2==10>6.635,所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異.思路分析　(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖,作出判斷;(2)通過莖葉圖確定數(shù)據(jù)的中位數(shù),按要求完成2×2列聯(lián)表;(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,將有關數(shù)據(jù)代入公式計算得K2的值,查表作出統(tǒng)計推斷.解后反思　獨立性檢驗問題的常見類型及解題策略(1)已知分類變量的數(shù)據(jù),判斷兩個分類變量的相關性,可依據(jù)數(shù)據(jù)及公式計算K2,然后作出判斷;(2)獨立性檢驗與概率統(tǒng)計的綜合問題,關鍵是根據(jù)獨立性檢驗的一般步驟,作出判斷,再根據(jù)概率統(tǒng)計的相關知識求解.6.海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產品的產量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關; 箱產量<50 kg箱產量≥50 kg舊養(yǎng)殖法  新養(yǎng)殖法   (3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).附:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828,K2=.【解析】　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.62×0.66=0.409 2.(2)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產量<50 kg箱產量≥50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2=≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中,箱產量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱產量低于55 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值為50+≈52.35(kg).解后反思　解獨立性檢驗問題的關注點:(1)兩個明確:①明確兩類主體;②明確研究的兩個問題.(2)兩個關鍵:①準確畫出2×2列聯(lián)表;②準確理解K2. 

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