第63講   變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 思維導(dǎo)圖 知識梳理1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)．2．兩個變量的線性相關(guān)(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程為＝x＋，其中＝＝， ＝－.(3)通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．(4)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．3．獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下： y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d (2)獨立性檢驗利用隨機變量K2(也可表示為χ2)的觀測值k＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗． 題型歸納題型1    相關(guān)關(guān)系的判斷【例1-1】對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖如圖①，對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖如圖②.由這兩個散點圖可以判斷(　　)A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)【解析】選C　由散點圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關(guān)，且圖①的線性回歸方程斜率為負，圖②的線性回歸方程斜率為正，則由散點圖可判斷變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)．【例1-2】(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計表如下：月份123456人均銷售額658347利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　)A．利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B．利潤率與人均銷售額成負相關(guān)關(guān)系C．利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D．利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系【解析】選A　畫出利潤率與人均銷售額的散點圖，如圖．由圖可知利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系，故選A.【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　)A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)【解析】選C　因為y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負相關(guān)．因為y與z正相關(guān)，可設(shè)z＝y＋，＞0，則z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x與z負相關(guān)．【跟蹤訓(xùn)練1-2】在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　)A．－1　　　　　　　　 B．0C.  D.1【解析】選D　所有樣本點均在同一條斜率為正數(shù)的直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大，為1，故選D.【跟蹤訓(xùn)練1-3】變量X與Y相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則(　　)A．r2<r1<0  B．0<r2<r1C．r2<0<r1  D.r2＝r1【解析】選C　對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r1>0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關(guān)，即r2<0，故選C.【名師指導(dǎo)】判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法(1)散點圖法：如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強. 題型2    回歸分析【例2-1】(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)越接近高考學(xué)生焦慮程度越強，四個高三學(xué)生中大約有一個有焦慮癥，經(jīng)有關(guān)機構(gòu)調(diào)查，得出距離高考周數(shù)與焦慮程度對應(yīng)的正常值變化情況如下表：周數(shù)x654321正常值y556372809099 (1)作出散點圖；(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋(精確到0.01)；(3)根據(jù)經(jīng)驗觀測值為正常值的0.85～1.06為正常，若1.06～1.12為輕度焦慮，1.12～1.20為中度焦慮，1.20及其以上為重度焦慮，若為中度焦慮及其以上，則要進行心理疏導(dǎo)，若一個學(xué)生在距高考第二周時觀測值為103，則該學(xué)生是否需要進行心理疏導(dǎo)？其中＝，iyi＝1 452，＝91，＝－.【解】　(1)(2)＝×(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，＝×(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，＝267.75，＝≈－8.83，＝76.5＋8.83×3.5≈107.41，∴線性回歸方程為＝－8.83x＋107.41.(3)≈1.14>1.12，∴該學(xué)生需要進行心理疏導(dǎo)．【例2-2】(2019·合肥市第二次質(zhì)量檢測)為了了解A地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展狀況，某調(diào)查機構(gòu)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172018足球特色學(xué)校數(shù)y/百個0.300.601.001.401.70 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強弱(已知：0.75≤|r|≤1，則認為y與x線性相關(guān)性很強；0.3≤|r|<0.75，則認為y與x線性相關(guān)性一般；|r|≤0.25，則認為y與x線性相關(guān)性較弱)；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個數(shù)(精確到個)．參考公式及數(shù)據(jù)：r＝，(xi－)2＝10，(yi－)2＝1.3，≈3.605 6，＝，＝－.【解】　(1)＝2 016，＝1，r＝＝＝>0.75，∴y與x線性相關(guān)性很強．(2)＝＝＝0.36，＝－＝1－0.36×2 016＝－724.76，∴y關(guān)于x的線性回歸方程是＝0.36x－724.76.當(dāng)x＝2019時，＝0.36×2019－724.76＝2.08，即A地區(qū)2019年足球特色學(xué)校約有208個．【跟蹤訓(xùn)練2-1】(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測)某運動制衣品牌為了成衣尺寸更精準，現(xiàn)選擇15名志愿者，對其身高和臂展進行測量(單位：厘米)，圖1為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖2為身高與臂展所對應(yīng)的散點圖，并求得其回歸方程為＝1.16x－30.75，以下結(jié)論中不正確的為(　　)A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系C．可估計身高為190厘米的人臂展為189.65厘米D．身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米【解析】選D　對于選項A,15名志愿者臂展的最大值大于身高，而最小值小于身高，所以身高的極差小于臂展的極差，故A正確；對于選項B，由左下到右上，為正相關(guān)，正確；選項C就是把x＝190代入回歸方程得到預(yù)估值189.65，正確；而對于選項D，相關(guān)關(guān)系不是確定的函數(shù)關(guān)系，所以選項D說法不正確，故選D.【跟蹤訓(xùn)練2-2】(2019·貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測)互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一調(diào)查機構(gòu)針對該市市場占有率較高的甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡稱外賣甲、外賣乙)的經(jīng)營情況進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表： 1日2日3日4日5日外賣甲日接單x/百單529811外賣乙日接單y/百單2310515 (1)試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況，從統(tǒng)計的角度說明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)營狀況；(2)據(jù)統(tǒng)計表明，y與x之間具有線性關(guān)系．①請用相關(guān)系數(shù)r對y與x之間的相關(guān)性強弱進行判斷(若|r|>0.75，則可認為y與x有較強的線性相關(guān)關(guān)系(r值精確到0.001))；②經(jīng)計算求得y與x之間的回歸方程為＝1.382x－2.674，假定每單外賣業(yè)務(wù)，企業(yè)平均能獲取純利潤3元，試預(yù)測當(dāng)外賣乙日接單量不低于25百單時，外賣甲所獲取的日純利潤的大致范圍(x值精確到0.01)．相關(guān)公式：r＝.參考數(shù)據(jù)：(xi－)(yi－)＝66，≈77.【解】(1)由題可知＝＝7(百單)，＝＝7(百單)．外賣甲的日接單量的方差s＝10，外賣乙的日接單量的方差s＝23.6，因為＝，s<s，即外賣甲平均日接單量與外賣乙相同，且外賣甲日接單量更集中一些，所以外賣甲比外賣乙經(jīng)營狀況更好．(2)①計算可得，相關(guān)系數(shù)r≈≈0.857>0.75，所以可認為y與x之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系．②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，又20.02×100×3＝6 006，所以當(dāng)外賣乙日接單量不低于25百單時，外賣甲所獲取的日純利潤大約不低于6 006元.【名師指導(dǎo)】一、線性回歸分析問題的類型及解題方法1．求線性回歸方程(1)利用公式，求出回歸系數(shù)，.(2)待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)．2．利用回歸方程進行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．3．利用回歸直線判斷正、負相關(guān)，決定正相關(guān)還是負相關(guān)的是系數(shù).二、模型擬合效果的判斷(1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，模型的擬合效果越好．(3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強． 題型3    獨立性檢驗【例3-1】(2019·福州市質(zhì)量檢測)中國房地產(chǎn)業(yè)協(xié)會主辦的中國房價行情網(wǎng)調(diào)查的一份數(shù)據(jù)顯示，2018年7月，大部分一線城市的房租租金同比漲幅都在10%以上．某部門研究成果認為，房租支出超過月收入的租戶“幸福指數(shù)”低，房租支出不超過月收入的租戶“幸福指數(shù)”高．為了了解甲、乙兩小區(qū)租戶的幸福指數(shù)高低，隨機抽取甲、乙兩小區(qū)的租戶各100戶進行調(diào)查．甲小區(qū)租戶的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](單位：千元)分組的頻率分布直方圖如圖所示．乙小區(qū)租戶的月收入(單位：千元)的頻數(shù)分布表如下：月收入[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15]戶數(shù)38272492 (1)設(shè)甲、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨立，記M表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元，乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”，把頻率視為概率，求M的概率；(2)利用頻率分布直方圖，求所抽取的甲小區(qū)100戶租戶的月收入的中位數(shù)；(3)若甲、乙兩小區(qū)每戶的月租費分別為2千元、1千元．請根據(jù)條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并說明能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“幸福指數(shù)與租住的小區(qū)”有關(guān). 幸福指數(shù)低幸福指數(shù)高總　計甲小區(qū)租戶   乙小區(qū)租戶   總　　計    附：臨界值表P(K2≥k)0.100.0100.001k2.7066.63510.828 參考公式：K2＝.【解】　(1)記A表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元”，記B表示事件“乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”，甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元的頻率為(0.060＋0.160)×3＝0.66，故P(A)的估計值為0.66.乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元的頻率為＝0.35，故P(B)的估計值為0.35.因為甲、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨立，事件M的概率的估計值為P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.(2)設(shè)甲小區(qū)所抽取的100戶的月收入的中位數(shù)為t，則0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，解得t＝5.(3)設(shè)H0：幸福指數(shù)與租住的小區(qū)無關(guān)， 幸福指數(shù)低幸福指數(shù)高總　計甲小區(qū)租戶6634100乙小區(qū)租戶3862100總　　計10496200 根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝≈15.705>10.828，所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“幸福指數(shù)與租住的小區(qū)”有關(guān)．【跟蹤訓(xùn)練3-1】(2020·滄州模擬)某班主任對全班50名學(xué)生進行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如表： 認為作業(yè)量大認為作業(yè)量不大總計男生18927女生81523總計262450已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，P(K2≥6.635)≈0.010.則________(填“有”或“沒有”)97.5%的把握認為“學(xué)生的性別與認為作業(yè)量大有關(guān)”．【解析】因為K2＝≈5.059＞5.024，所以有97.5%的把握認為“學(xué)生的性別與認為作業(yè)量大有關(guān)”．【答案】有【跟蹤訓(xùn)練3-2】(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)為推動更多人去閱讀和寫作，聯(lián)合國教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”，其設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人，無論你是年老還是年輕，無論你是貧窮還是富裕，都能享受閱讀的樂趣，都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的思想大師們，都能保護知識產(chǎn)權(quán)．為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機調(diào)查了200名居民，這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3∶1.將這200人按年齡(單位：歲)分組，統(tǒng)計得到通過電子閱讀的居民的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡；(2)把年齡在[15,45)的居民稱為中青年，年齡在[45,65]的居民稱為中老年，若選出的200人中通過紙質(zhì)閱讀的中老年有30人，請完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認為閱讀方式與年齡有關(guān)？ 電子閱讀紙質(zhì)閱讀總計中青年   中老年   總計    附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635 K2＝.【解】(1)由題中頻率分布直方圖可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，解得a＝0.035，所以通過電子閱讀的居民的平均年齡為20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(歲)．(2)這200人中通過電子閱讀的人數(shù)為200×＝150，通過紙質(zhì)閱讀的人數(shù)為200－150＝50.因為(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，所以通過電子閱讀的中青年的人數(shù)為150×＝90，中老年的人數(shù)為150－90＝60.2×2列聯(lián)表為 電子閱讀紙質(zhì)閱讀總計中青年9020110中老年603090總計15050200 由表中數(shù)據(jù)，得K2＝≈6.061>5.024，所以有97.5%的把握認為閱讀方式與年齡有關(guān)．【名師指導(dǎo)】2個明確(1)明確兩類主體；(2)明確研究的兩個問題2個關(guān)鍵(1)準確畫出2×2列聯(lián)表；(2)準確求解K23個步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2＝，計算K2的值；(3)查表比較K2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷 

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