5.1第一課時(shí)　復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義 -【上好課】2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步備課系列（北師大2019必修第二冊(cè)）練習(xí)題

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5.1第一課時(shí)　復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義[A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固]1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部是(    )A．-1 B．1 C．-i D．i【答案】A【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡可求得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（    ）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義可得的值，再由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．下列命題：①若z＝a＋bi，則僅當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，z為純虛數(shù)；②若，則z1＝z2＝0；③若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（    ）A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【分析】利用特列法可判斷①②③都不正確.【詳解】在①中時(shí)，不為純虛數(shù)，故①錯(cuò)誤；在②中時(shí)，，但，故②錯(cuò)誤；在③中，時(shí)，不是純虛數(shù)，故③也是錯(cuò)誤的.故選：A.5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則角的終邊在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由對(duì)應(yīng)復(fù)平面的象限得出且，再結(jié)合三角函數(shù)的定義作出判斷.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以且則角的終邊在第四象限故選：D6．已知，則______.【答案】.【分析】利用來計(jì)算，其中分別為實(shí)部與虛部.【詳解】，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.7．若復(fù)數(shù)z滿足，則z的模是______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求出復(fù)數(shù)，由此即可求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8．下列四個(gè)命題：①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；                         ②若復(fù)數(shù)滿足，則；③若實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；  ④純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集.其中真命題的個(gè)數(shù)是________.【答案】【分析】根據(jù)虛數(shù)不能比大小可判斷①的正誤；取可判斷②的正誤；取可判斷③的正誤；根據(jù)純虛集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)集三者之間的關(guān)系可判斷④的正誤.【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)虛數(shù)不能比大小，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取，則，但，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，實(shí)數(shù)集是純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集的子集，若命題④正確，則實(shí)數(shù)集為虛數(shù)集的子集，矛盾，④錯(cuò)誤.故答案為：.9．若復(fù)數(shù)z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】.【分析】先寫出＝(m2＋m－2)-(4m2－8m＋3)i(m∈R)，進(jìn)而利用實(shí)部和虛部均大于0列不等式求解即可.【詳解】由題意得＝(m2＋m－2)-(4m2－8m＋3)i(m∈R)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以所以所以即，故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為.10．已知復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．（1）若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（4）若復(fù)數(shù)z是0，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）m＝5或－3；（2）{m|m≠5且m≠－3}；（3）m＝－2；（4）m＝－3.【分析】（1）利用虛部等于零列方程求解即可；（2）利用虛部不等于零列不等式求解即可；（3）利用實(shí)部等于零且虛部不等于零求解即可；（4）利用實(shí)部等于零且虛部等于零求解即可【詳解】（1）當(dāng)m2－2m－15＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，所以m＝5或－3.（2）當(dāng)m2－2m－15≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)．所以m≠5且m≠－3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≠5且m≠－3}．（3）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，所以m＝－2.（4）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)z是0，所以m＝－3.[B級(jí)　綜合運(yùn)用]1.設(shè)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部可得，進(jìn)而求模長即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，所以.故選：B.2．已知，，則z等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式以及復(fù)數(shù)相等即可求解.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，，即.故選：D3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（    ）A．的虛部為 B．為純虛數(shù)C． D．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限【答案】C【分析】由已知化簡出，可判斷出選項(xiàng)A和B，利用模長公式求值可判斷選項(xiàng)C，求出可判斷出選項(xiàng)D．【詳解】由，得，的虛部為，不是純虛數(shù).，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C.4．滿足條件的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（    ）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【答案】B【分析】設(shè)，求出，判斷出點(diǎn)的軌跡是圓.【詳解】設(shè)，由可得：，兩邊平方得：，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的軌跡問題的一般方法：設(shè)復(fù)數(shù)的一般形式 運(yùn)用復(fù)數(shù)的求模公式把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，從而利用實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的有關(guān)軌跡知識(shí)來解決.5．（多選題）以下為真命題的是（    ）A．純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于 B．若，則C．若，則與互為共軛復(fù)數(shù) D．若，則與互為共軛復(fù)數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、以及共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，若為純虛數(shù)，可設(shè)，則，即純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于，故A正確；對(duì)于B，由，得出，可設(shè)，則，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，則，但不一定相等，所以與不一定互為共軛復(fù)數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，則與互為共軛復(fù)數(shù)，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題的真假性，考查復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，涉及實(shí)數(shù)、純虛數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.6．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為________ .【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，將條件轉(zhuǎn)化為距離問題即可得到答案【詳解】設(shè)，由得，所以，即點(diǎn)是圓心為，半徑為1的圓上的動(dòng)點(diǎn)，，表示的是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以其最小值為點(diǎn)到圓心的距離減去半徑，即，故答案為：7．若是虛數(shù)單位，則__________.【答案】0【分析】利用虛數(shù)單位的周期性即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>是虛數(shù)單位，所以，，，，所以，所以故答案為：08．已知復(fù)數(shù).（1）若對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，求m的范圍；（2）若是純虛數(shù)，求m的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）實(shí)部大于零且虛部小于零得出m的范圍；（2）實(shí)部等于零且虛部不為零得出m的范圍；【詳解】（1）由題意可得，解得（2）由題意可得，解得 [C級(jí)　拓展探究]1．根據(jù)的幾何意義討論下列各式的幾何意義.（1）；（2）.【答案】（1）圓心為，半徑為2的圓；從到線段上的點(diǎn)【分析】將已知復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再結(jié)合點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系求解即可【詳解】設(shè)，則對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為，（1）則的幾何意義為：到點(diǎn)的距離為2，即圓心為，半徑為2的圓；（2）則的幾何意義為：到點(diǎn)的距離與的距離之和為2，即從到線段上的點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題2．已知復(fù)數(shù)（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及的最小值【答案】（1）1；（2），.【分析】（1）利用純虛數(shù)的定義，實(shí)部為零，虛部不等于零即可得出．（2）利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、幾何意義即可得出．【詳解】解：（1）為純虛數(shù)，且（2）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為由題意：，．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．而，當(dāng)時(shí)，．3．已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根b．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)滿足，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）復(fù)數(shù)方程有實(shí)根，方程化簡為、，利用復(fù)數(shù)相等，即解方程組即可．（2）先把、代入方程，同時(shí)設(shè)復(fù)數(shù)，化簡方程，根據(jù)表達(dá)式的幾何意義，方程表示圓，再數(shù)形結(jié)合，求出，得到．【詳解】解：（1）是方程的實(shí)根，，解得．（2）設(shè)，由，得，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在的連線上時(shí)，有最大值或最小值，，半徑，當(dāng)時(shí)．有最小值且．【點(diǎn)睛】本題（1）考查復(fù)數(shù)相等；（2）考查復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合的思想方法．屬于中檔題．