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延慶區(qū)高三模擬考試試卷
數(shù)學(xué) 2021.3
本試卷共6頁，滿分150分，考試時長120分鐘
第Ⅰ卷（選擇題）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知全集，集合，，則=
（A） （B） （C） （D）
2．已知為無窮等比數(shù)列，且公比，記為的前項和，則下面結(jié)論正確的是
（A） （B） （C）是遞減數(shù)列（D）存在最小值
3．已知為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，若，則線段的中點的橫坐標為
（A） （B） （C） （D）
4．設(shè)，則“”是“”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
5．某四棱錐的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖是等腰直角三角形,側(cè)(左)視圖是直角三角形,俯視圖是直角梯形,則該四棱錐的體積是
（A） （B）
（C） （D）
6．在平面直角坐標系中，直線的方程為，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的半徑為
（A） （B） （C） （D）
7．已知定義在上的冪函數(shù)（為實數(shù)）過點，記，，，則的大小關(guān)系為
（A） （B） （C） （D）
8．設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，則
（A） （B）
（C） （D）
9．已知函數(shù)?則不等式的解集是
（A）（B） （C） （D）
10．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．根據(jù)規(guī)定：駕駛員的血液中酒精含量為，不構(gòu)成飲酒駕車行為（不違法），達到的即為酒后駕車，及以上為醉酒駕車．某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小時減少，要想不構(gòu)成酒駕行為，那么他至少經(jīng)過
（參考數(shù)據(jù)：）
（A）4小時 （B）6小時 （C）8小時 （D）10小時



第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則=___________．
12．已知雙曲線的一條漸近線過點，則雙曲線的離心率為 .
13．在二項式的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是___________．
14．已知的面積為，，則= .
15．同學(xué)們，你們是否注意到：自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空,橫跨深澗的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當?shù)淖鴺讼抵?，這類函數(shù)的表達式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)…），對于函數(shù)以下結(jié)論正確的是 .
①如果，那么函數(shù)為奇函數(shù)；
②如果,那么為單調(diào)函數(shù)；
③如果，那么函數(shù)沒有零點；
④如果那么函數(shù)的最小值為2.



三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本小題共13分）
已知函數(shù)(),再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位得到的圖象，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
條件①：的最大值為2； 條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

17．（本小題共14分）
如圖，四棱柱的底面是邊長為的正方形，側(cè)面為矩形，且側(cè)面底面，，分別是的中點.

（Ⅰ）；
（Ⅱ）










18．（本小題共14分）
2022年第24屆冬季奧林匹克運動會，簡稱“北京張家口冬奧會”，將在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京將承辦所有冰上項目，延慶和張家口將承辦所有的雪上項目。下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：
2022年北京冬奧會賽程表（第七版，發(fā)布自2020年11月）
2022年
2月
北京賽區(qū)
延慶賽區(qū)
張家口賽區(qū)

開閉幕式
冰壺
冰球
速度
滑冰
短道
速滑
花
樣
滑
冰
高
山
滑
雪
有舵雪橇
鋼架雪車
無舵雪橇
跳臺滑雪
北歐兩項
越野滑雪
單板滑雪
冬季兩項
自由式
滑雪
當
日
決
賽
數(shù)
5（六）

*
*
1
1




*
1

1
*
1
1
6
6（日）

*
*
1

*
1


1
1

1
1

1
7
說明：“*”代表當日有不是決賽的比賽；數(shù)字代表當日有相應(yīng)數(shù)量的決賽.
（Ⅰ）(i)若在這兩天每天隨機觀看一個比賽項目，求恰好看到冰壺和冰球的概率；
(ii)若在這兩天每天隨機觀看一場決賽，求兩場決賽恰好在同一賽區(qū)的概率；

（Ⅱ）若在2月6日（星期日）的所有決賽中觀看三場，記為賽區(qū)的個數(shù)，求的分布列及期望.



19．（本小題共15分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值；
（Ⅲ）設(shè)，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.

20．（本小題共15分）
已知橢圓經(jīng)過點，離心率.
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)是經(jīng)過橢圓右焦點的一條弦（不經(jīng)過點且在的上方），直線與直線相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為，，，將、、如何排列能構(gòu)成一個等差數(shù)列，證明你的結(jié)論．

21．（本小題共14分）
若無窮數(shù)列滿足：，對于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.
（Ⅰ）若具有性質(zhì)“”，且，，求；
（Ⅱ）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；
（Ⅲ）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，求證：具有性質(zhì)“”.
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
延慶區(qū)2020—2021學(xué)年度高三數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案
閱卷須知:
1.評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分數(shù)。
2.其它正確解法可以參照評分標準按相應(yīng)步驟給分。
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
A
A
B
A
B
A
D
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
題號
11
12
13
14
15
答案




②③
注：第15題全部選對得5分，不選或有錯選得分，其他得3分。
三、解答題共6小題，共85分。
16解：（Ⅰ）選擇①：因為 …………2分
所以，其中， …………3分
所以，又因為，所以. …………5分
選擇②：，所以. …………5分
（①不寫不扣分，②每個值計算正確各給一分）
（Ⅱ）因為 …………7分
所以 …………9分
則， …………11分
， …………12分
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 …………13分
(一個都沒寫的扣一分)



17．（Ⅰ）證明：連結(jié).因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以. …………2分
由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面. …………5分
（Ⅱ）因為底面是正方形，所以，又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以，所以，，又因為側(cè)面為矩形，所以，如圖建立空間直角坐標系， …………7分
其中，，，，且，， …………8分
因為，所以，
故，…10分
設(shè)為平面的法向量，則
即 ，不妨設(shè)，可得． …………12分
所以， …………13分
因為二面角的平面角是鈍角, 所以二面角的余弦值.
…………14分








18.解：（Ⅰ）(i) 記“在這兩天每天隨機觀看一個項目，恰好看到冰壺冰球”為事件. 由表可知，在這兩天每天隨機觀看一個項目，共有種不同方法，其中恰好看到冰壺冰球，共有種不同方法．所以，． …3分
(ii) 記“在這兩天每天隨機觀看一場決賽，兩場決賽恰好在同一賽區(qū)”為事件. 由表可知，在這兩天每天隨機觀看一場決賽共有種不同方法，其中兩場決賽恰好在北京賽區(qū)共有種不同方法，在張家口賽區(qū)共有．所以. 6分
（Ⅱ）隨機變量的所有可能取值為． …7分
根據(jù)題意，， …9分
， …11分
． …13分
隨機變量的分布列是：









數(shù)學(xué)期望． …………………………14分




19.解：（Ⅰ）設(shè)切點為， 因為， ……………….1分
所以，，， ……………….3分
所以切線方程為，即 .……………….4分
（Ⅱ）的定義域為 ……………….5分
令即，， .……………….6分
令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增， .……………….8分
所以存在極小值，無極大值. .……………….10分
（Ⅲ）函數(shù)有三個零點，理由如下：. ………….11分
由（Ⅱ）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ……………….12分
由且，，
所以存在唯一，使得， ……………….13分
又因為， ……………….14分
， ……………….15分
且三個零點互不相同，所以函數(shù)有三個零點.

20.解：（Ⅰ）由點在橢圓上得， ①， ……………….1分
② ……………….2分
由 ①②得， ……………….4分
故橢圓的標準方程為 ……………….5分
（Ⅱ）或能構(gòu)成一個等差數(shù)列 …………….6分
橢圓右焦點坐標，顯然直線斜率存在，
設(shè) ③ …………….7分
代入橢圓方程，整理得，易知….8分
設(shè)，則有 ④ ……………….10分
在方程③中，令，得，從而
， ………….11分
因為
= ⑤，將④代入⑤得
………….13分
而，所以，即為、的等差中項， 14分
所以或為等差數(shù)列。 ……………….15分
21解 ：（Ⅰ）因為具有性質(zhì)“”，所以，. ……1分
由，得，由，得. ..………………3分
因為，所以，即. .………………4分
（Ⅱ）不具有性質(zhì)“”. . .………………5分
由等比數(shù)列的公比為，由 ，得，故 …………6分
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由 ，，
得，由，所以，故. ..………………7分
所以.若具有性質(zhì)“”，則，.
因為，，所以，故不具有性質(zhì)“” …9分
（Ⅲ）因為具有性質(zhì)“”，所以，.①
因為具有性質(zhì)“”，所以，.②
因為，，所以由①得；由②，得， ……10分
所以，即. ..………………11分
由①②，得，， ……………12分
所以，， ..………………13分
所以具有性質(zhì)“” .………………14分

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