等比數(shù)列（一）教學(xué)設(shè)計(jì) 教材分析：等比數(shù)列是一種特殊的數(shù)列，它有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用：如存款利息、購(gòu)房貸款、資產(chǎn)折舊等一些計(jì)算問題．教材將等比數(shù)列安排在等差數(shù)列之后，有承前啟后的作用．一方面與等差數(shù)列有密切聯(lián)系，另一方面為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列求和等有關(guān)內(nèi)容做好準(zhǔn)備．設(shè)計(jì)理念：長(zhǎng)期以來的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論，輕視過程．為了應(yīng)付考試，為了使公式定理應(yīng)用達(dá)到所謂“熟能生巧”，教學(xué)中不惜花大量的時(shí)間采用題海戰(zhàn)術(shù)來進(jìn)行強(qiáng)化．在概念公式的教學(xué)中往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強(qiáng)化成只會(huì)套用公式的解題機(jī)器，這樣的學(xué)生面對(duì)新問題就束手無策．數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體，新課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生有追求過程的體驗(yàn)．基于以上原因，在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，我考慮的不是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，而是將內(nèi)容按照“問題情境——學(xué)生活動(dòng)——數(shù)學(xué)建構(gòu)——數(shù)學(xué)運(yùn)用——回顧反思”的順序展開，通過列舉生活中的大量實(shí)例，給出等比數(shù)列的實(shí)際背景，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，去探索其意義，公式．從發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的過程中讓學(xué)生體會(huì)到：有些看似陌生的知識(shí)并不都是高不可攀的事情，通過我們的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事．在這個(gè)過程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提高了他們提出問題，解決問題的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念．教學(xué)目標(biāo)：A．知識(shí)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式．B．能力目標(biāo)：（1）通過公式的探索，發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力．（2）通過通項(xiàng)公式的探求過程，培養(yǎng)學(xué)生用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)并解決問題的能力．C．情感目標(biāo)：（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特征性之中，從而使學(xué)生受到辨證唯物主義思想的熏陶．（2）通過對(duì)等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．（3）培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于猜想的學(xué)習(xí)態(tài)度，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)；　　　　　　　 通項(xiàng)公式的初步應(yīng)用．教學(xué)方法：發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，類比分析法．教學(xué)多媒體選擇：電腦．教學(xué)過程：一、問題情境首先請(qǐng)同學(xué)們看以下幾個(gè)事例：（電腦顯示）情境1：國(guó)王獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋發(fā)明者的事例，發(fā)明者要求：在第1個(gè)方格放1顆麥粒，在第2個(gè)方格上放2顆麥粒，在第3個(gè)方格上放4顆麥粒，在第4個(gè)方格上放8顆麥粒，依此類推，直到第64個(gè)方格子．國(guó)王能否滿足他的要求呢?情境2：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”情境3：某轎車的售價(jià)約36萬元，年折舊率約為10%（就是說這輛車每年減少它的價(jià)值的10%），那么該車從購(gòu)買當(dāng)年算起，逐年的價(jià)格依次為多少？問題1：上述例子可以轉(zhuǎn)化為什么樣的數(shù)學(xué)問題？問題2：上述例子有何共同特點(diǎn)？二、學(xué)生活動(dòng)通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)：1、上述例子可以與數(shù)列聯(lián)系起來．（有了等差數(shù)列的學(xué)習(xí)作基礎(chǔ)）2、得到以下3個(gè)數(shù)列：   ①　1，2， 22，…，263   ②　1，，，…，，…   ③　36，36×0.9，36×092，…，36×09n，…通過討論，得到這些情境的共同特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的比都相等（等于同一個(gè)常數(shù)）．三、數(shù)學(xué)建構(gòu)1、問題：①②③這樣的數(shù)列和等差數(shù)列一樣是一類重要的數(shù)列，誰能試著給這樣的數(shù)列取個(gè)名字？（學(xué)生通過聯(lián)想、嘗試得出最恰當(dāng)?shù)拿┑缺葦?shù)列2、歸納總結(jié)，形成等比數(shù)列的概念．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．（引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過類比等差數(shù)列的定義得出）3、對(duì)等比數(shù)列概念深化理解問題1：上述三例的公比分別為多少？問題2：你能舉一個(gè)公比小于0的等比數(shù)列嗎？問題3：等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上有許多密切關(guān)系，那么有沒有這樣的數(shù)列，它既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列呢？問題4：形如，，，…（）的數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列對(duì)嗎？（對(duì)問題4，學(xué)生作短暫的討論）（1）形如，，，…的數(shù)列一定是等差數(shù)列，但未必是等比數(shù)列．當(dāng)=0時(shí)，數(shù)列的每一項(xiàng)均為0，不能作比，因此不是等比數(shù)列；當(dāng)≠0時(shí)，此數(shù)列                   為等比數(shù)列．（2）等比數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，且公比也不為0．4、問題：剛才我們得到了等比數(shù)列的概念，是用文字語言來表達(dá)的，但是在使用時(shí)往往需要符號(hào)化，下面試將等比數(shù)列定義的內(nèi)容用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出．（提示可類比等差數(shù)列，由學(xué)生活動(dòng)得出）（1）對(duì)于數(shù)列，若（，為常數(shù) ），則稱這個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．（2）是等比數(shù)列（，為常數(shù) ），此式可來證明一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列．5、探索問題： 在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，我們可以用公差d，項(xiàng)數(shù)n以及首項(xiàng)表示數(shù)列的任一項(xiàng)，也就是可以表示它的通項(xiàng)公式，那么在等比數(shù)列中，要表示該數(shù)列，需先確定幾個(gè)條件？怎樣用這些條件來表示這個(gè)等比數(shù)列的每一項(xiàng)？（啟發(fā)引導(dǎo)，類比等差數(shù)列，讓學(xué)生大膽嘗試，討論回答）（1）知道等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比就可以求出這個(gè)等比數(shù)列的任何一項(xiàng)．（2）學(xué)生1：∵，，，……∴． （3）學(xué)生2：∵ ，∴，，…，，．將各式相乘便有，∴（，），當(dāng)時(shí)，兩邊均為即等式也成立，說明上式當(dāng)時(shí)都成立．教師點(diǎn)評(píng)：（1）尋找通項(xiàng)即尋找項(xiàng)的一般規(guī)律，?？上瓤刺厥忭?xiàng)，寫出幾項(xiàng)，再歸納出一般結(jié)論，這是探索數(shù)列問題常用的一種方法，叫不完全歸納法，但這種方法得出的通項(xiàng)公式還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，須對(duì)其進(jìn)行證明．（2）方法2就是對(duì)方法1得到的結(jié)論的一種證明，叫做疊乘法．與推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式用到的疊加法類似，都必須注意對(duì)第一項(xiàng)是否成立進(jìn)行補(bǔ)充說明．6、問題延伸：對(duì)于這個(gè)通項(xiàng)公式，我們可以從哪幾個(gè)方面去認(rèn)識(shí)它呢？（這不是第一次遇到這類公式，在講等差數(shù)列時(shí)已討論過，學(xué)生應(yīng)該知道從什么角度去認(rèn)識(shí)公式）學(xué)生類比等差數(shù)列得：（1）可以從函數(shù)觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)，把通項(xiàng)看成的解析式．（2）還可以從方程觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)，把通項(xiàng)看成一個(gè)方程．師生共同小結(jié)：（1）當(dāng)時(shí)， ，點(diǎn)在直線y=上．當(dāng)時(shí)， 函數(shù)圖象類似于指數(shù)函數(shù)圖象，但它的圖象是由一些孤立的點(diǎn)組成．（2）從方程的觀點(diǎn)去考慮，方程中有四個(gè)量，在，，和中只要知道其中三個(gè)便可求第四個(gè)，請(qǐng)學(xué)生舉例編題（應(yīng)能編出四類問題）．四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1、例題例1  判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列?（電腦顯示）①；②1，2，4，8，16，20；③1，1，1，1，1；④－1，－2，－4，－8，－16；⑤數(shù)列的通項(xiàng)公式為解  據(jù)數(shù)列的定義可知：數(shù)列①③④⑤都是等比數(shù)列，②不是等比數(shù)列．討論：1、對(duì)于等比數(shù)列，若>1，則一定是遞增數(shù)列；若0<<1，則一定是遞減數(shù)列，對(duì)嗎?（學(xué)生例舉反例④⑤，判斷此結(jié)論不正確）2、你能知道等比數(shù)列何時(shí)為遞增數(shù)列， 何時(shí)為遞減數(shù)列嗎?引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度去討論通項(xiàng)公式，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，得到：當(dāng)>1， >0或0<<1， <0時(shí)， 是遞增數(shù)列；當(dāng)>1， <0或0<<1， >0時(shí)， 是遞減數(shù)列；當(dāng)＝1時(shí)， 是常數(shù)列；當(dāng)<0時(shí)，是擺動(dòng)數(shù)列．例2  在等比數(shù)列中，已知=20，，求．解  設(shè)等比數(shù)列的公比為，則  ，解得．故．反思  這種類型的題目主要是方程思想的應(yīng)用，應(yīng)用過程主要是三個(gè)步驟：設(shè)、列、求．2、練習(xí)：教科書第50頁(yè)第1（1）、（3），2，3題．五、回顧小結(jié)1、本節(jié)課研究了等比數(shù)列的概念，得到了其通項(xiàng)公式；2、在研究?jī)?nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比，把握它們的區(qū)別和聯(lián)系；3、用函數(shù)與方程的思想認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，并加以應(yīng)用；4、在發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式過程中用了觀察，歸納，猜想等數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；在判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列及將等比數(shù)列與函數(shù)圖象聯(lián)系時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類討論思想．（小結(jié)可先由學(xué)生敘述，教師進(jìn)行補(bǔ)充和整理，小結(jié)的目的一方面讓學(xué)生再次回顧本節(jié)課的活動(dòng)過程、重點(diǎn)、難點(diǎn)所在；另一方面，更是對(duì)探索過程的再認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的升華，對(duì)思維的反思，可為學(xué)生以后解決問題提供經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)．）為突出與等差數(shù)列的對(duì)比，可讓學(xué)生自己填寫下表． 等差數(shù)列     等比數(shù)列定義  通項(xiàng)公式     相應(yīng)圖象的特點(diǎn)  首項(xiàng)，公差（公比）取值有無限制  六、課外作業(yè)教科書第48頁(yè)練習(xí)第1題、第3題，第52頁(yè)習(xí)題2．3第1題、第2題（1）、第3題．課后思考：對(duì)照等差數(shù)列，試猜想等比數(shù)列的一些相應(yīng)性質(zhì)．七、板書設(shè)計(jì)等比數(shù)列 等比數(shù)列的定義是等比數(shù)列（，為常數(shù) ）對(duì)定義的認(rèn)識(shí)   3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）公式   （2）對(duì)公式的認(rèn)識(shí)  a、函數(shù)觀點(diǎn)   b、方程觀點(diǎn)八、教學(xué)反思對(duì)本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐與效果進(jìn)行總結(jié)和反思，我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)值得探索與反思．1、等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后介紹的，學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的研究?jī)?nèi)容和研究方法已有了一定的了解．因此在教學(xué)方法上突出了類比思想的使用，為學(xué)生創(chuàng)造好使用的條件，引導(dǎo)學(xué)生自己研究等比數(shù)列相關(guān)內(nèi)容如定義、表示方法、通項(xiàng)公式．這樣從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用．2、在教學(xué)過程中，盡可能“指著走”（在教師的啟發(fā)與點(diǎn)撥下，學(xué)生自主展開），而不是“抱著走”．如：對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)從哪幾方面去認(rèn)識(shí)？我只是指出這一研究方向，點(diǎn)撥一下方法（類比等差數(shù)列），讓學(xué)生去聯(lián)想，去探究，去歸納，去總結(jié)；在從方程的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式時(shí)，我讓學(xué)生自己編題，這樣既達(dá)到了考查的目的，又發(fā)揮了其主觀能動(dòng)性．不過，“教師怎樣才能真正成為學(xué)生的組織者、引導(dǎo)者、合作者？”，“怎樣才能真正做到關(guān)注學(xué)生的需要，讓學(xué)生自己也能成為教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)？”這些問題還需值得繼續(xù)深入思考和探索．3、在進(jìn)行教學(xué)總結(jié)時(shí)，我指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)律性知識(shí)（等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式）與方法論知識(shí)（不完全歸納法、類比法）的歸納總結(jié)，通過“多面互動(dòng)”，讓學(xué)生自主建構(gòu)，在動(dòng)態(tài)中生成，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生概括能力的目的．

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修5電子課本

2.4 等比數(shù)列

版本： 人教版新課標(biāo)A

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