等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 增城市華僑中學(xué)數(shù)學(xué)科組  馮海燕教材分析等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問(wèn)題．在現(xiàn)實(shí)生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問(wèn)題．等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和提供了一種重要方法．教材首先通過(guò)具體的事例，探索歸納出等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的求法，接著推廣到一般情況，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式．為深化對(duì)公式的理解，通過(guò)對(duì)具體例子的研究，弄清等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系，并能熟練地運(yùn)用等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式解決問(wèn)題．這節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)是探索掌握等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式，并能應(yīng)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題，難點(diǎn)是前ｎ項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的形成．教學(xué)目標(biāo)1. 通過(guò)等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力．2. 理解和掌握等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式，體會(huì)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力．3. 在研究公式的形成過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)公式及其應(yīng)用．對(duì)公式的推導(dǎo)，為便于學(xué)生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和問(wèn)題的興趣，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列中任意的第ｋ項(xiàng)與倒數(shù)第ｋ項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的一般方法，這樣自然地過(guò)渡到一般等差數(shù)列的求和問(wèn)題．對(duì)等差數(shù)列的求和公式，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)公式本身的結(jié)構(gòu)特征，弄清前ｎ項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系．為加深對(duì)公式的理解和運(yùn)用，要強(qiáng)化對(duì)實(shí)例的教學(xué)，并通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的方法．特別是對(duì)實(shí)際問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型，恰當(dāng)選擇公式．對(duì)于等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景1. 在200多年前，有個(gè)10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問(wèn)題：“1＋2＋3＋…＋100＝？”時(shí)，很快地就算出了結(jié)果．他是怎么算出來(lái)的呢？他發(fā)現(xiàn)1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．2. 受高斯算法啟發(fā)，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．3. 高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和？二、建立模型1. 數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和定義對(duì)于數(shù)列｛ａn｝，我們稱ａ1＋ａ2＋…＋ａn為數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．2. 等差數(shù)列的求和公式（1）如何用高斯算法來(lái)推導(dǎo)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式？對(duì)于公差為ｄ的等差數(shù)列｛ａn｝：Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①依據(jù)高斯算法，將Sn表示為Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．　　　　 ②由此得到等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式小結(jié)：這種方法稱為反序相加法，是數(shù)列求和的一種常用方法．（2）結(jié)合通項(xiàng)公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎樣的公式？（３）兩個(gè)公式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：相同點(diǎn)是利用二者求和都須知道首項(xiàng)ａ1和項(xiàng)數(shù)ｎ；不同點(diǎn)是前者還須要知道ａn，后者還須要知道ｄ．因此，在應(yīng)用時(shí)要依據(jù)已知條件合適地選取公式．公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì)：前者反映了等差數(shù)列的任意的第ｋ項(xiàng)與倒數(shù)第ｋ項(xiàng)的和都等于首、末兩項(xiàng)之和，后者反映了等差數(shù)的前ｎ項(xiàng)和是關(guān)于ｎ的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”．三、解釋應(yīng)用［例　題］1. 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和Sn．（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．注：恰當(dāng)選用公式進(jìn)行計(jì)算．2. 已知一個(gè)等差數(shù)列｛ａn｝前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220．由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和的公式嗎？分析：將已知條件代入等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于ａ1與ｄ的關(guān)系式，它們都是關(guān)于ａ1與ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1與ｄ，從而得到所求前ｎ項(xiàng)和的公式．解：由題意知注：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式，就是一個(gè)關(guān)于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使學(xué)生能把方程思想和前ｎ項(xiàng)和公式相結(jié)合，再結(jié)合通項(xiàng)公式，對(duì)ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn這五個(gè)量知其三便可求其二．（2）本題的解法還有很多，教學(xué)時(shí)可鼓勵(lì)學(xué)生探索其他的解法．例如，3. 2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》．某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)．據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)500萬(wàn)元．為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元．那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？教師引學(xué)生分析：每年“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)數(shù)構(gòu)成公差為５０的等差數(shù)列．問(wèn)題實(shí)質(zhì)是求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和．解：根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬(wàn)元．所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列｛ａn｝，表示從2001年起各年投入的資金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．那么，到2010年（ｎ＝10），投入的資金總額為答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元．注：教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范應(yīng)用題的解題步驟．4. 已知數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和Sn＝ｎ2＋ｎ，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解：根據(jù)由此可知，數(shù)列｛ａn｝是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．思考：一般地，數(shù)列｛ａn｝前ｎ項(xiàng)和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），這時(shí)｛ａn｝是等差數(shù)列嗎？為什么？［練　習(xí)］1. 一名技術(shù)人員計(jì)劃用下面的辦法測(cè)試一種賽車：從時(shí)速10ｋｍ／ｈ開始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果測(cè)試時(shí)間是30ｓ，測(cè)試距離是多長(zhǎng)？2. 已知數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)的和為Sn＝ｎ2＋ｎ＋4，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和．四、拓展延伸1. 數(shù)列｛ａn｝前ｎ項(xiàng)和Sn為Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ?yàn)槌?shù)且ｐ≠０），則｛ａn｝成等差數(shù)列的條件是什么？2. 已知等差數(shù)列5，4，3，…的前ｎ項(xiàng)和為Sn，求使Sn最大的序號(hào)ｎ的值．分析1：等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式可以寫成Sn＝ｎ2＋ （ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函數(shù)ｙ＝x2＋（ａ1－ ）ｘ（ｘ∈N*）．當(dāng)ｘ＝ｎ時(shí)的函數(shù)值．另一方面，容易知道Sn關(guān)于ｎ的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn)．因此，我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求ｎ的值．解：由題意知，等差數(shù)列5，4，3，…的公差為－，所以于是，當(dāng)ｎ取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，Sn取最大值．分析2：因?yàn)楣睿洌?－＜０，所以此數(shù)列為遞減數(shù)列，如果知道從哪一項(xiàng)開始它后邊的項(xiàng)全為負(fù)的，而它之前的項(xiàng)是正的或者是零，那么就知道前多少項(xiàng)的和最大了．即使然后從中求出ｎ．  

相關(guān)教案

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案及反思：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案及反思，共4頁(yè)。

數(shù)學(xué)必修52.2 等差數(shù)列教案及反思：

這是一份數(shù)學(xué)必修52.2 等差數(shù)列教案及反思，共6頁(yè)。教案主要包含了問(wèn)題情景，建立模型，解釋應(yīng)用，拓展延伸等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案：

這是一份人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案，共2頁(yè)。教案主要包含了復(fù)習(xí)準(zhǔn)備，講授新課，鞏固練習(xí)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)教案 更多

高中人教版新課標(biāo)A2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

高中人教版新課標(biāo)A2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)及反思
高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案及反思

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案及反思
人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案
高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修52.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修5電子課本

2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 必修5

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部