等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：  1、掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；  2、能運(yùn)用公式解決簡單問題。二、例題分析第一階段[例1]在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)被3除余2？這些數(shù)的和是多少？  思路分析：被3除余2的正整數(shù)可以寫成3n+2(n∈N)的形式。  解：由3n+2<100得 ，即0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整數(shù)中共有33個(gè)數(shù)  被3除余2。把這些數(shù)從小到大排列出來就是2，5，8，…98，它們組成一個(gè)等差數(shù)列{an}，其中a1=2，  a33=98，n=33，因此它們的和為    說明：本題運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式解題。[例2]求等差數(shù)列13，15，17，…，81的各項(xiàng)的和。  思路分析：創(chuàng)造條件，使用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。  解：在這個(gè)等差數(shù)列中a1=13，d=2，an=81，      由81=13+(n－1)×2，得n=35。        說明：此題知道等差數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)，要求和必須先計(jì)算出項(xiàng)數(shù)n。 [例3]    思路分析：  知Sn是n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次式，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可求出通項(xiàng)an，然后  再判斷哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，最后求出Tn。  解：       當(dāng)n≥2時(shí)，           an=Sn－Sn-1                    =－3n+104  ∵n=1也適合上式，       由an=－3n+104≥0，得n≤34.7  即當(dāng)n≤34時(shí)，an>0；當(dāng)n≥35時(shí)，an<0 (1)當(dāng)n≤34時(shí)，     Tn=│a1│+│a2│+…+│an│=a1+a2+…+an          (2)當(dāng)n≥35時(shí)，   Tn=│a1│+│a2│+…+│a34│+│a35│+…+│an│     =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)     =2(a1+a2+…+a34)－(a1+a2+…+an)     =2S34-Sn       第二階段[例4]己知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，前n項(xiàng)和為286，求項(xiàng)數(shù)。  思路分析：利用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行求解。  解：∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，      [例5]等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9=S12，該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？  思路分析：寫出前n項(xiàng)和的函數(shù)解析式，再求此式的最值是最直觀的思路，但注意n取正整數(shù)這一  條件。  解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,，則由題意得    即3a1=-30d，  ∵a1<0， ∴d>0，       ∵d>0，∴Sn有最小值，            解得10≤n≤11  ∴取10或11時(shí)Sn取最小值。  解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0，∴3a11=0，          ∴a11=0.∵a1<0，∴前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小。[例6]己知兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn，Sn′，     思路分析：充分運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和與某些特殊項(xiàng)之間的關(guān)系解題。  解：因?yàn)閧an}，{bn}均為等差數(shù)列，所以2a9=a1+a17，2b9=b1+b17，      ∴S17=17a9，S′17=17b9，       說明：解題過程中體現(xiàn)了化歸思想。第三階段[例7]從1到200的所有整數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的所有整數(shù)和是多少？  思路分析：  從1到200的整數(shù)中，所有2的倍數(shù)是首項(xiàng)為a1=2、公差d=2的等差數(shù)列，是3的部數(shù)且不是2的倍數(shù)依次  組成以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，求出這兩個(gè)數(shù)列的和再從總數(shù)和中減去即可。  解：         ∴滿足條件的所有的數(shù)的和為20100-10100-3267=6733.  說明：解數(shù)列問題也要善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)行逆向思考。 [例8]等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為( )  A、130   B、170    C、210   D、260  思路分析：  設(shè)前m項(xiàng)和為V1，第m+1到2m項(xiàng)之和為V2，第2m+1項(xiàng)到3m項(xiàng)之和為V3，則V1，V2，V3也成等差數(shù)列。  解：于是V1=30，V2=100－30=70，公差d=70－30=40，      ∴V3=V2+d=70+40=110。      ∴前3m項(xiàng)之和S3m=V1+V2+V3=210。  答案：C  說明：如果等差數(shù)列共有3m項(xiàng)，那么它的前m項(xiàng)之和V1，中間m項(xiàng)之和V2與后m項(xiàng)之和V3仍成等差數(shù)列，  同學(xué)們可以嘗試給予證明。[例9]有一批影碟機(jī)（VCD）原銷售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售，甲商場用如下的     方法促銷：買一臺(tái)單價(jià)為780元，買兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類推，每多買一臺(tái)則所買各臺(tái)單價(jià)     均再減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場一律都按原價(jià)的75%銷售，某單位需購買     一批此類影碟機(jī)，問去哪家商場購買花費(fèi)較少？  思路分析：  設(shè)單位需購買影碟機(jī)n臺(tái)，在甲商店購買每臺(tái)售價(jià)不低于440元時(shí)售價(jià)依臺(tái)數(shù)n成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)  列為{an}，則an=780+(n-1)×（-20）=800-20n  由an≥440解不等式 800－2n≥440，得n≤18。  當(dāng)購買臺(tái)數(shù)小于18時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為800－20n元，在臺(tái)數(shù)大于等于18臺(tái)時(shí)每臺(tái)售價(jià)為440元。  到乙商店購買每臺(tái)約售價(jià)為800×75%=600元，價(jià)差（800－20n)n－600n=20n(10－n)  當(dāng)n<10時(shí)，600n<(800－20n)·n；  當(dāng)n=10時(shí)，600n=(800－20n)·n；  當(dāng)10<n≤18時(shí)，（800－20n)<600n；  當(dāng)n>18時(shí)，440n<600n。  答：當(dāng)購買少于10臺(tái)時(shí)到乙商店花費(fèi)較少；當(dāng)購買10臺(tái)時(shí)到兩店購買花費(fèi)相同；當(dāng)購買多于10臺(tái)時(shí)  到甲商店購買花費(fèi)較少。  說明：本題考查等差數(shù)列的知識(shí)，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。三、練習(xí)題： 1、在等差數(shù)列{an}中,a2+a5=19，S5=40，則a10為(  )   A、27     B、28      C、29       D、30 2、數(shù)列{an}是等差數(shù)列的一個(gè)充要條件是（ ）   A、Sn=an2+bn+c         B、Sn=an2+bn    C、Sn=an2+bn+c(a≠0)   D、Sn=an2+bn(a≠0） 3、己知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，則它的前20項(xiàng)的和S20=________ 4、等差數(shù)列{an}中，己知a7=3，那么它的前13項(xiàng)的和S13等于 （   ）    A、39    B、20     C、18     D、不確定 5、在等差數(shù)列{an}中，an=11，d=2，Sn=35，則a1等于  (  )   A、5或7     B、3或5     C、7或－1      D、3或－1 6、己知等差數(shù)列{an}的前17項(xiàng)之和為S17>0，則下列一定成立的是(  )   A、a17>0     B、a16>0       C、a9>0        D、a8>0 7、等差數(shù)列共有2n+1項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為132，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則n等于（  ）   A、9     B、10        C、11        D、12 8、等差數(shù)列{an}中，a1=－8，它的前16項(xiàng)的平均值是7。若從中抽取一項(xiàng)，余下的15項(xiàng)的平均值為7.2，   則抽取的是（  ）   A、第7項(xiàng)    B、第8項(xiàng)    C、第15項(xiàng)    D、第16項(xiàng) 9、己知等差數(shù)列{an}中，a1+a15=3，則S15等于（  ）   A、45     B、30     C、22.5        D、21 10、己知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1=35，d= -2，Sn=0，則n等于 （ ）   A、33      B、34     C、35     D、36 11、方程lgx+lgx3+lgx5+…lgx2n-1=2n2的解為x=___________。 12、     13、解答題：    (2)己知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=12n－n2，求數(shù)列{│an│}前n項(xiàng)和Tn。  14、有10臺(tái)型號(hào)相同的聯(lián)合收割機(jī)，收割一片土地上的莊稼。若同時(shí)投入工作至收割完畢需用24h，但    現(xiàn)在它們是每隔相同的時(shí)間順序投入一臺(tái)工作，每一臺(tái)投入工作后都一直工作到莊稼收割完畢，如    果第一臺(tái)收割機(jī)工作的時(shí)間是最后一臺(tái)的5倍，求用這種收割方法收割完畢這片土地的莊稼需用多長    時(shí)間？　　　四、參考答案：  1、C  2、B   3、180  4、A   5、D  6、C  7、B   8、A  9、C  10、D  11、100       12、 13、(1)      (2)∵Sn=12n－n2，a1=S1=12·1－12=11，      當(dāng)≥2時(shí)，an=Sn－Sn-1=(12n－n2)－[12(n－1)－(n－1)2]=13－2n      在an中，當(dāng)n=1時(shí)，a1=13-2·1=11，∴a1適合an，∴an=13-2n      又an+1－an=13－2(n+1)－(13－2n)=－2，所以{an}是等差數(shù)列。      令an=13－2n≥0，則n≤6.5     ∴當(dāng)n≤6時(shí)，an>0，當(dāng)n≥7時(shí)，an<0      于是當(dāng)n≤6時(shí)│an│=an，∴Tn=Sn=12n－n2      當(dāng)n≥7時(shí)，│an│=－an      ∴Tn=a1+a2+…+a6－a7－a8…－an          =2(a1+a2+…a6)－(a1+a2+a3+…+an)          =2(a1+a2+…+a6)－Sn=n2－12n+72            14、設(shè)從第一臺(tái)投入工作起，這10臺(tái)收割機(jī)工作的時(shí)間依次為a1，a2…，a10小時(shí)，由題意，{an}組成一     個(gè)等差數(shù)列，且每臺(tái)收割機(jī)每小時(shí)工作效率為 ，則                用這種方法收割完成這片土地上的莊稼共需40h.  

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修5電子課本

2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 必修5

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