新教材(輔導班)高一數(shù)學寒假講義14《6.4.2余弦定理與正弦定理》課時(原卷版)學案-學案下載-教習網(wǎng)

6.4.3　余弦定理、正弦定理第1課時　余弦定理知識點一　　　余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．知識點二　　　余弦定理的推論cosA＝，cosB＝，cosC＝.知識點三　　　解三角形(1)把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．(2)已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．知識點四　　　余弦定理及其推論的應用應用余弦定理及其推論可解決兩類解三角形的問題：一類是已知兩邊及其夾角解三角形，另一類是已知三邊解三角形．1．對余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．(2)結構特征：“平方”“夾角”“余弦”．(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關系的互化． 2．判定三角形的形狀(1)有關三角形邊角關系解三角形問題，就是從“統(tǒng)一”入手，體現(xiàn)轉化思想．判斷三角形的形狀有兩條思路：①化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關系式．②化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關系式．(2)判定三角形形狀時經(jīng)常用到下列結論：①在△ABC中，若a2<b2＋c2，則0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，則a2<b2＋c2.例如：在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a2<b2＋c2，可得角A的范圍是.②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，則A＝90°；反之，若A＝90°，則a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2>b2＋c2，則90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，則a2>b2＋c2.1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及其夾角的情況．(　　)(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．(　　)(3)已知△ABC中的三邊，可結合余弦定理判斷三角形的形狀．(　　) 2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，則B＝________.(2)已知△ABC的三邊分別為2,3,4，則此三角形是________三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，則角C的大小為________．(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，則AC等于________．題型一已知兩邊及一角解三角形例1　在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解這個三角形．　已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)已知兩邊和兩邊夾角，直接應用余弦定理求出第三邊，然后根據(jù)邊角關系應用余弦定理求解．(2)三角形中已知兩邊和一邊的對角，解法如下：利用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出第三邊的長．(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊c的值是(　　)A．8 B．2 C．6 D．2(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和邊a. 題型二已知三邊(三邊關系)解三角形例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　)A． B． C． D．(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求此三角形的最大邊長． [條件探究]　若本例(1)中條件不變，如何求最大角的余弦值呢？　已知三邊求解三角形的方法(1)已知三角形的三邊求角時，可先利用余弦定理求解出各角的大?。?/span>(2)若已知三角形三邊的比例關系，常根據(jù)比例的性質引入k，從而轉化為已知三邊求解．在已知三邊求三個角時，一般先求小角后求大角．(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則此三角形的最大內角為________；(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，試求AC邊上的中線長．題型三判斷三角形的形狀例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，試確定△ABC的形狀．　利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(1)利用余弦定理(有時還要結合三角恒等變換等知識)把已知條件轉化為邊的關系，通過因式分解、配方等方法得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀． 1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosB等于(　　)A． B． C． D．2．在△ABC中，已知a＝2，則bcosC＋ccosB等于(　　)A．1 B． C．2 D．43．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，則△ABC的最大角的度數(shù)為________．4．在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，則邊a＝________.5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，試判斷△ABC的形狀．第2課時　正弦定理知識點　　　正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即＝＝.利用正弦定理可以解決的兩類解三角形問題：①已知任意兩角與一邊，求其他兩邊和一角．②已知任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，進一步求出其他的邊和角．1．深入理解正弦定理(1)適用范圍：正弦定理對任意三角形都成立．(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式．(3)揭示規(guī)律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關系．若A<B，則a<b.反之，若a<b，則A<B．(4)主要功能：實現(xiàn)三角形中邊角關系的轉化．2．正弦定理的變形設三角形的三邊長為a，b，c，外接圓的半徑為R，正弦定理有如下變形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(4)＝＝＝. 3．三角形解的個數(shù)的確定已知兩邊和其中一邊的對角不能唯一確定三角形，解這類三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角”及幾何圖形幫助理解，此時一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理討論：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，無解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或兩解．(2)利用余弦定理討論：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，這是關于c的一元二次方程．若方程無解或無正數(shù)解，則三角形無解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形有一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解．4．三角形形狀的判定方法判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理、余弦定理，化邊為角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷．此時注意一些常見的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關系．如：sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，如：sinA＝，cosA＝等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關系進行判斷．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正弦定理只適用于銳角三角形．(　　)(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB．(　　)(3)在△ABC中，若A＞B，則必有sinA＞sinB．(　　) 2．做一做(1)已知△ABC外接圓的半徑是2，∠A＝60°，則BC邊長為________．(2)在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，則C＝________.(3)在△ABC中，若＝，則B＝________.(4)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，則＝________. 題型一已知兩角及一邊解三角形例1　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，邊b，c. 　已知三角形的兩角和任一邊解三角形的基本思路(1)當所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，由三角形內角和定理求出第三個角，再由正弦定理求第三邊．(2)當所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(這時應注意角的轉化，即將非特殊角轉化為特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根據(jù)上述思路求解．(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為________；(2)已知三角形的兩角分別是45°和60°，它們所夾邊的長為1，則最小邊的長為________．題型二已知兩邊及一邊的對角解三角形例2　根據(jù)下列條件解三角形：(1)b＝，B＝60°，c＝1；(2)c＝，A＝45°，a＝2. [變式探究]　在本例(1)中若改為b＝1，c＝，其他條件不變，又如何求解？　已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．(2)如果已知的角為大邊所對的角，由三角形中“大邊對大角，大角對大邊”的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角(唯一)．(3)如果已知的角為小邊所對的角，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求得兩個角，要分類討論．(1)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是(　　)A．{x|x>2} B．{x|x<2} C．{x|2<x<2} D．{x|2<x<2}(2)已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對角，先判斷三角形是否有解，有解的作出解答．①b＝4，c＝8，B＝30°；②a＝7，b＝8，A＝105°. 題型三判斷三角形的形狀例3　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷三角形的形狀．　判斷三角形形狀的方法(1)判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關系入手，也可以從三個內角的關系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進行代換、轉化，呈現(xiàn)出邊與邊的關系或求出角與角的關系或大小，從而作出準確判斷．(2)利用正弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．(3)判斷三角形的形狀，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，則△ABC的形狀是(　　)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形或直角三角形題型四三角形解的個數(shù)的判斷例4　已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°. 從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a，b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：續(xù)表 (1)已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得(　　)A．一解 B．兩解 C．無解 D．解的個數(shù)不確定(2)滿足a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的個數(shù)為________．題型五正弦定理與三角恒等變換的工具作用例5　已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，acosC＋asinC－b－c＝0.求A．正弦定理在研究三角形邊角關系中，可以適當?shù)剡M行轉變，邊轉化成角或角轉化為邊，利用三角恒等變換或解方程求解．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC．(1)求角C的大小；(2)求sinA－cos的最大值，并求取得最大值時角A，B的大?。?/span> 題型六正、余弦定理的綜合運用例6　△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．　三角形面積計算的解題思路對于此類問題，一般用公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB進行求解，可分為以下兩種情況：(1)若所求面積為不規(guī)則圖形，可通過作輔助線或其他途徑構造三角形，轉化為求三角形的面積．(2)若所給條件為邊角關系，則需要運用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，再利用三角形面積公式進行求解．如圖所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長． 1．在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＝2asinB，則角A等于(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于(　　)A．4 B．4 C．4 D．3．在△ABC中，若sinA>sinB，則角A與角B的大小關系為(　　)A．A>B B．A<B C．A≥B D．A，B的大小關系不能確定4．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，則B＝________.5．在△ABC中，角A，B所對的邊分別為a，b，且A＝60°，a＝，b＝4，那么滿足條件的△ABC有幾個？

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