知識(shí)點(diǎn)一 向量的夾角
知識(shí)點(diǎn)二 向量數(shù)量積的概念
知識(shí)點(diǎn)三 投影向量
如圖1，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq \(AB,\s\up16(→))=a，eq \(CD,\s\up16(→))=b，我們考慮如下的變換：過(guò)eq \(AB,\s\up16(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq \(CD,\s\up16(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up16(→))，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量beq \(□,\s\up4(01))投影，eq \(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \(□,\s\up4(02))投影向量．
如圖2，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq \(OM,\s\up16(→))=a，eq \(ON,\s\up16(→))=b.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，
垂足為M1，則eq \(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量．
知識(shí)點(diǎn)四 向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律
(1)向量的數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
①a·e=e·a=eq \(□,\s\up4(01))|a|csθ.
②a⊥b?eq \(□,\s\up4(02))a·b=0.
③當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=eq \(□,\s\up4(03))|a||b|.
當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=eq \(□,\s\up4(04))－|a||b|.
④a·a=eq \(□,\s\up4(05))|a|2或|a|=eq \r(a·a)=eq \r(a2).
⑤csθ=eq \(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|).
⑥|a·b|eq \(□,\s\up4(07))≤|a||b|.
(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①eq \(□,\s\up4(08))a·b=b·a(交換律)．
②(λa)·b=eq \(□,\s\up4(09))λ(a·b)=eq \(□,\s\up4(10))a·(λb)(結(jié)合律)．
③eq \(□,\s\up4(11))(a＋b)·c=a·c＋b·c(分配律)．
1．對(duì)數(shù)量積的理解
(1)求a，b的數(shù)量積需知道三個(gè)量，即|a|，|b|及a，b的夾角，這三個(gè)量有時(shí)并不是直接給出來(lái)的，需根據(jù)題意去巧妙求解．
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的運(yùn)算，其結(jié)果不再是向量，而是數(shù)量，它的符號(hào)由夾角確定，當(dāng)夾角為銳角或0時(shí)，符號(hào)為正；當(dāng)夾角為鈍角或π時(shí)，符號(hào)為負(fù)；當(dāng)夾角為直角時(shí)，其值為零．
向量的投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．
(3)兩個(gè)向量a，b的數(shù)量積與代數(shù)中兩個(gè)數(shù)a，b的乘積ab是兩碼事，但表面看來(lái)又有點(diǎn)相似，因此要注意兩個(gè)向量a，b的數(shù)量積是記作a·b，中間的實(shí)心小圓點(diǎn)不能省略，也不能把實(shí)心小圓點(diǎn)用乘號(hào)“×”代替，寫(xiě)成a×b.
2．要靈活掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)
(1)a⊥b?a·b=0，既可以用來(lái)證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．
(2)a·a=a2=|a|2與|a|=eq \r(|a|2)=eq \r(a2)也用來(lái)求向量的模，以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．
(3)用csθ=eq \f(a·b,|a||b|)求兩向量的夾角，且?jiàn)A角的取值與a·b的符號(hào)有關(guān)．
設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，則
當(dāng)θ=0時(shí)，csθ=1，a·b=|a||b|；
當(dāng)θ為銳角時(shí)，csθ>0，a·b>0；
當(dāng)θ為鈍角時(shí)，csθ0，∴eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=－eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))

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