6.2   冪的乘方與積的乘方(1)●教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.經(jīng)歷探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)冪的意義.2.了解冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.(二)能力訓(xùn)練要求1.在探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.2.學(xué)習(xí)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力.(三)情感與價(jià)值觀要求在發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時(shí)，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.●教學(xué)重點(diǎn)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用.●教學(xué)難點(diǎn)冪的運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用.●教學(xué)方法引導(dǎo)——探究相結(jié)合教師由實(shí)際情景引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)绲某朔降倪\(yùn)算性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.●教具準(zhǔn)備投影片三張第一張：做一做，記作(§6.2.1A)第二張：例題，記作(§6.2.1B)第三張：練習(xí)，記作(§6.2.1C)●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.提出問(wèn)題，引入新課［師］我們先來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)是102毫米，你能計(jì)算出它的體積嗎？如果將這個(gè)正方體的邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，則這個(gè)正方體的體積是原來(lái)的多少倍？［生］正方體的體積等于邊長(zhǎng)的立方.所以邊長(zhǎng)為102毫米的正方體的體積V=(102)3立方毫米；如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，即邊長(zhǎng)變?yōu)?/span>102×10毫米即103毫米，此時(shí)正方體的體積變?yōu)?/span>V1=(103)3立方毫米.［師］(102)3，(103)3很顯然不是最簡(jiǎn)，你能利用冪的意義，得出最后的結(jié)果嗎？大家可以獨(dú)立思考.［生］可以.根據(jù)冪的意義可知(102)3表示三個(gè)102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同樣根據(jù)冪的意義可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我們就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米.我們還可以計(jì)算出當(dāng)這個(gè)正方形邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的10倍時(shí)，體積就變?yōu)樵瓉?lái)的1000倍即103倍.［生］也就是說(shuō)體積擴(kuò)大的倍數(shù)，遠(yuǎn)大于邊長(zhǎng)擴(kuò)大的倍數(shù).［師］是的！我們?cè)賮?lái)看(102)3，(103)3這樣的運(yùn)算.102，103是冪的形式，因此我們把這樣的運(yùn)算叫做冪的乘方.這節(jié)課我們就來(lái)研究?jī)绲牡诙€(gè)運(yùn)算性質(zhì)——冪的乘方.Ⅱ.探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)出示投影片(§6.2.1A)做一做：計(jì)算下列各式并說(shuō)明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.［師］我們觀察不難發(fā)現(xiàn)，上面的4個(gè)小題都是冪的乘方的運(yùn)算，下面就請(qǐng)同學(xué)們利用冪的意義和我們學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容解答它們.［生］(1)(62)462·62·62·6262+2+2+2=68.［師］第①步和第②步推出的理由是什么呢？［生］第①步的理由是利用了冪的意義.(62)4表示4個(gè)62相乘；第②步的理由是利用了我們剛學(xué)過(guò)的同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加.［師］觀察上面的運(yùn)算過(guò)程，底數(shù)和指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化？［生］結(jié)果的指數(shù)8=2×4，剛好是原式子中兩個(gè)指數(shù)的積，而運(yùn)算前后的底數(shù)沒(méi)變，還是6.［師］接下來(lái)的(2)、(3)、(4)小題是不是可以同樣地利用冪的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)來(lái)推出結(jié)果呢？［生］可以！［師］下面我們就請(qǐng)三位同學(xué)到黑板上推出，其余的同學(xué)觀察他們做的有無(wú)錯(cuò)誤.［生］(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3;(3)(am)2=am·am=am+m=a2m;(4)(am)n===amn.［師生共析］由上面的“做一做”我們就推出了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，即(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))用語(yǔ)言表述即為：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.在冪的乘方的運(yùn)算中，指數(shù)的運(yùn)算也降了一級(jí).Ⅲ.例題出示投影片(§6.2.1B)［例1］計(jì)算：(1)(102)3；(2)(b5)5;(3)(an)3;(4)－(x2)m;(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6－(a3)4.［例2］如果甲球的半徑是乙球的n倍，那么甲球的體積是乙球的n3倍.地球、木星、太陽(yáng)可以近似地看做是球體.木星、太陽(yáng)的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？圖1－14［師］我們首先看例1的(1)、(2)、(3)題，可以發(fā)現(xiàn)它們都是冪的乘方的運(yùn)算.我們開(kāi)始練習(xí)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，不要著急直接套入公式(am)n=amn中，而應(yīng)進(jìn)一步體會(huì)乘方的意義和冪的意義.我們只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)回答.［生］(1)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；(2)(b5)5=b5·b5·b5·b5·b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25;(3)(an)3=an·an·an=an+n+n=a3n.［師］很好！下面我們?cè)賮?lái)試做例1中(4)、(5)、(6)題.［生］(4)－(x2)m表示(x2)m的相反數(shù)，所以－(x2)m=－=－=－x2m;(5)(y2)3·y中既含有乘方運(yùn)算，也含有乘法運(yùn)算，按運(yùn)算順序，應(yīng)先乘方，再做乘法，所以，(y2)3·y=(y2·y2·y2)·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7;(6)2(a2)6－(a3)4按運(yùn)算順序應(yīng)先算乘方，最后再化簡(jiǎn).所以2(a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12.［師］接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)看冪的乘方在實(shí)際中的應(yīng)用——例2.［生］根據(jù)例2中的前提條件，可得木星的體積是地球體積的103倍；太陽(yáng)的體積是地球體積的(102)3倍即106倍.［師］很好！我們觀察例2圖中的木星、太陽(yáng)、地球的體積不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖直觀地表現(xiàn)了體積擴(kuò)大的倍數(shù)與半徑擴(kuò)大的倍數(shù)之間的關(guān)系.比較木星、太陽(yáng)、地球三個(gè)球體的大小，可知體積擴(kuò)大的倍數(shù)比半徑擴(kuò)大的倍數(shù)大得多.Ⅳ.練一練出示投影片(§6.2.1C)1.計(jì)算：(1)(103)3；(2)－(a2)5;(3)(x3)4·x2;(4)［(－x)2］3;(5)(－a)2(a2)2;(6)x·x4－x2·x3.2.判斷下面計(jì)算是否正確？如有錯(cuò)誤請(qǐng)改正：(1)(x3)3=x6;(2)a6·a4=a24.［師］我們首先來(lái)回顧一下(am)n=amn(m、n都是正整數(shù))是怎樣推出來(lái)的.［生］(am)n表示n個(gè)am相乘，根據(jù)乘方的意義(am)n=，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)，可由==amn.［師］我們能夠很好地體會(huì)和理解了冪的意義和同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，接下來(lái)我們就來(lái)完成“練一練”.［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109；(2)－(a2)5=－a2×5=－a10;(3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14;(4)［(－x)2］3=(－x)2×3=(－x)6=x6;(5)(－a)2·(a2)2=a2·a2×2=a2·a4=a2+4=a6;(6)x·x4－x2·x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0.［師］2.(1)(x3)3=x6不正確，因?yàn)?/span>(x3)3表示三個(gè)x3相乘即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9.或直接根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，得(x3)3=x3×3=x9.(2)a6·a4=a24不正確.因?yàn)?/span>a6·a4=(a·a·a·a·a·a)(a·a·a·a)==a10或根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相加，得a6·a4=a6+4=a10.［師］我們學(xué)習(xí)了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)很容易與同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)混淆.通過(guò)練習(xí)的第2題，同學(xué)們可反思一下做題的過(guò)程，注意冪的意義和乘方的意義，真正地去理解這兩個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)，而不是去單純的記憶.Ⅴ.課時(shí)小結(jié)我們這節(jié)課通過(guò)乘方的意義和冪的意義推出了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并通過(guò)實(shí)際問(wèn)題體會(huì)到了學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)的必要性，從而提高了我們的推理能力，有條理的語(yǔ)言表達(dá)能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.Ⅵ.課后作業(yè)1.課本P26，習(xí)題6.2的第1、2題.2.反思做題過(guò)程，自己對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤加以改正，并寫(xiě)入成長(zhǎng)記錄中.Ⅶ.活動(dòng)與探究觀察下列等式：1×2=×1×2×3，1×2+2×3=×2×3×4，1×2+2×3+3×4=×3×4×5，1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6，……根據(jù)以上規(guī)律，請(qǐng)你猜測(cè)：1×2+2×3+3×4+4×5+…+n(n+1)=       (n為自然數(shù)).［過(guò)程］解這一類(lèi)題目，要用到歸納推理，它是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)史上許多重要的發(fā)現(xiàn)，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由數(shù)學(xué)家的探索、總結(jié)、猜想而得.猜想的結(jié)論是否正確，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明，才能辨明是非，通過(guò)觀察比較，本題的規(guī)律較為明顯.結(jié)論：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)關(guān)于它的證明在以后學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法后一目了然.●板書(shū)設(shè)計(jì)§6.2  冪的乘方與積的乘方(1)一、提出問(wèn)題：(102)3，(103)3如何計(jì)算？二、根據(jù)乘方的意義和冪的意義，推出冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；(103)3=103·103·103=103+3+3=103×3=109；(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=62×4=68；……(am)n===amn得出：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.三、例題四、練習(xí)

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初中數(shù)學(xué)魯教版（五四學(xué)制）（2024）六年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

2 冪的乘方與積的乘方

版本： 魯教版（五四學(xué)制）（2024）

年級(jí)： 六年級(jí)下冊(cè)

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