數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值 【課時安排】3課時【第一課時】【教學(xué)目標(biāo)】1．了解數(shù)軸的概念，如何畫數(shù)軸，知道如何在數(shù)軸上表示有理數(shù)，能說出數(shù)軸上表示有理數(shù)的點所表示的數(shù)，知道任何一個有理數(shù)在數(shù)軸都有唯一的點與之對應(yīng)。2．通過現(xiàn)實生活中的例子，從直觀認識到理性認識，從而建立數(shù)軸概念；通過學(xué)習(xí)，初步體會對應(yīng)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想。【教學(xué)重難點】重點：理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，掌握數(shù)軸畫法和用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)。難點：正確理解有理數(shù)和數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課（一）問題：讓機器人在一條直路上做走步取物試驗。根據(jù)指令：它由O處出發(fā)，向西走3m到達A處，拿取物品，然后，返回O處將物品放入藍中，在向東走2m到達B處取物。1．在下面的直線上畫出A、B兩處的位置。 2．把向東走記作“＋”，向西走記作“－”，在上面的直線上標(biāo)出與A、B相對應(yīng)的數(shù)。（二）問題：觀察溫度計，在溫度計上有刻度，刻度上有度數(shù)，根據(jù)溫度計的液面的不同位置就可以讀出不同的數(shù)，從而得到所測的溫度。在0上10個刻度，表示10℃；在0下5個刻度，表示－5℃。溫度計可以看作表示正數(shù)、0、負數(shù)的直線嗎？它和剛才那個的圖有什么共同點，有什么不同點？教師：由上述兩問題我們得到什么啟發(fā)？你能用一條直線上的點表示有理數(shù)嗎？與溫度計類似，我們也可以在一條直線上畫出刻度，標(biāo)上讀數(shù)，用直線上的點表示正數(shù)、負數(shù)和零。具體方法如下（邊說邊畫）：1．畫一條水平的直線，在這條直線上任取一點作為原點（通常取適中的位置，如果所需的都是正數(shù)，也可偏向左邊）用這點表示0（相當(dāng)于溫度計上的0℃）；2．規(guī)定直線上從原點向右為正方向箭頭所指的方向，那么從原點向左為負方向相當(dāng)于溫度計上0℃以上為正，0℃以下為負；3．選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，在直線上，從原點向右，每隔一個長度單位取一點，依次表示為1，2，3，……從原點向左，每隔一個長度單位取一點，依次表示為－1，－2，－3，……提問：我們能不能用這條直線表示任何有理數(shù)？在此基礎(chǔ)上，給出數(shù)軸的定義，即：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。進而提問學(xué)生：在數(shù)軸上，已知一點P表示數(shù)－5，如果數(shù)軸上的原點不選在原來位置，而改選在另一位置，那么P對應(yīng)的數(shù)是否還是－5？如果單位長度改變呢？如果直線的正方向改變呢？通過上述提問，向?qū)W生指出：數(shù)軸的三要素——原點、正方向和單位長度，缺一不可。二、應(yīng)用遷移，鞏固提高（一）讀數(shù)軸上的點所表示的數(shù)例：指出下面數(shù)軸上A，B，C，D，E各點分別表示什么數(shù)。  解析：點C在原點表示O，點A在原點左邊距離原點2個單位長度，表示－2。同理，點B表示－3.5。點D在原點右邊距離原點2個單位長度，表示2。（二）將有理數(shù)用數(shù)軸上的點表示例：畫一個數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點：＋4，－，，－1.25，－4最后引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可用原點左邊的點表示，零用原點表示。（三）變式題1．下列圖形是數(shù)軸的是（    ）   2．數(shù)軸上一動點A表示的數(shù)為－2，現(xiàn)在Ａ點向右移動2個單位長度到B，在向右移動3個單位長度到C。（1）在數(shù)軸上標(biāo)出A，B，C三點表示的數(shù)；（2）點C向哪個方向移動多少個單位長度又回到A點？3．在數(shù)軸上與表示－1的點的距離為2個單位長度的點有幾個？請你在數(shù)軸上表示出來，它們分別表示什么數(shù)？三、總結(jié)反思，拓展升華指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材后指出：數(shù)軸是非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和直線上的點建立了對應(yīng)關(guān)系，它揭示了數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，為我們研究問題提供了新的方法。本節(jié)課要求同學(xué)們能掌握數(shù)軸的三要素，正確地畫出數(shù)軸，在此還要提醒同學(xué)們，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點來表示，但是反過來不成立，即數(shù)軸上的點并不是都表示有理數(shù)，至于數(shù)軸上的哪些點不能表示有理數(shù)，這個問題以后再研究。【第二課時】【教學(xué)目標(biāo)】1．使學(xué)生理解相反數(shù)的意義；2．給出一個數(shù)能求出它的相反數(shù)；3．會根據(jù)相反數(shù)的意義簡化一個有理數(shù)的符號；4．體驗數(shù)行結(jié)合思想。【教學(xué)重難點】重點：相反數(shù)的概念。難點：相反數(shù)在數(shù)軸上表示的點的特征和雙重符號的簡化。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課（一）問題：首先，畫一條數(shù)軸，然后在數(shù)軸上標(biāo)出下列各點：2與－3，4與－4，與－請同學(xué)們觀察：1．上述這三對數(shù)有什么特點？2．表示這三對數(shù)的數(shù)軸上的點有什么特點？3．請你再寫出同樣的幾對點來？ 顯然：1．上面的這三對數(shù)中，每一對數(shù)，只有符號不同。2．這三對數(shù)所對應(yīng)的點中每一組中的兩個點，一個在原點的左邊，一個在原點的右邊，而且離開原點的距離相同。3．我們還規(guī)定：0的相反數(shù)是0。說明：（1）只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，如－1999與1999互為相反數(shù)。（2）從數(shù)軸上看，位于原點兩旁，且與原點距離相等的兩點所表示的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。如4與－4是互為相反數(shù)。（3）0的相反數(shù)是0，也只有0的相反數(shù)是它的本身。（4）相反數(shù)是表示兩個數(shù)的相互關(guān)系，不能單獨存在。（二）相反數(shù)的表示在一個數(shù)的前面添上“－”號就成為原數(shù)的相反數(shù)。若表示一個有理數(shù)，則的相反數(shù)表示為－，在一個數(shù)的前面添上“+”號仍與原數(shù)相聯(lián)系同。例如，＋7=7，特別地，＋0=0，－0=0。（三）相反數(shù)的特性若、互為相反數(shù)，則；反之若，則、互為相反數(shù)。二、應(yīng)用遷移，鞏固提高（一）例：分別寫出下列各數(shù)的相反數(shù)：解：3的相反數(shù)是－3；－7的相反數(shù)是7；－2.1的相反數(shù)是2.1；的相反數(shù)是；的相反數(shù)是；0的相反數(shù)是0；20的相反數(shù)是－20。可以看出：一個正數(shù)的相反數(shù)是一個負數(shù)，而一個負數(shù)的相反數(shù)是一個正數(shù)。（二）判斷相反數(shù)1．例：指出下列各對數(shù)中哪幾對互為相反數(shù)？（1）+（－3）與－3       （2）+（+8）與8（3）－（+3）與3        （4）－（－7）與－72．由上面的這個例題可以看出：在一個數(shù)前面添上“－”號，用這個新數(shù)表示原來那個數(shù)的相反數(shù)；在一個數(shù)的前面添上“+”號，表示這個數(shù)本身。（三）多重符號化簡1．相反數(shù)的意義是簡化多重符號的依據(jù)。如－（－1）是－1的相反數(shù)，而－1的相反數(shù)為+1，所以－（－1）＝＋1＝1。2．多重符號化簡的結(jié)果是由“－”號的個數(shù)決定的。如果“－”號是奇數(shù)個，則結(jié)果為負；如果是偶然數(shù)個，則結(jié)果為正?？珊唽憺?/span>“奇負偶正”。由此可見，化簡一個數(shù)就是把多重符號化成單一符號，若結(jié)果是“+”號，一般省略不寫。3．例：簡化下列各數(shù)的符號：（1）－（+7）；（2）+（－5）；（3）－（－3.1）；（4）－[+（－2）]；（5）－[－（－6）]解：三、總結(jié)反思，拓展升華我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了相反數(shù)，歸納如下：（一）________________的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)。（二）＋表示求的_____________，－表示的_____________。【第三課時】【教學(xué)目標(biāo)】1．借助數(shù)軸初步理解絕對值的概念，熟悉絕對值符號，理解絕對值的幾何意義和作用；2．給一個數(shù)，能求它的絕對值。3．在絕對值概念形成過程中，滲透數(shù)形結(jié)合等思想方法，并注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。【教學(xué)重難點】重點：絕對值的幾何意義，代數(shù)定義的導(dǎo)出。難點：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題：在練習(xí)本上畫一個數(shù)軸，并標(biāo)出表示－6，，0及它們的相反數(shù)的點。學(xué)生活動：一個學(xué)生板演，其他學(xué)生在練習(xí)本上畫。教法說明：絕對值的學(xué)習(xí)是以相反數(shù)為基礎(chǔ)的，在學(xué)生動手畫數(shù)軸的同時，把相反數(shù)的知識進行復(fù)習(xí)，同時也為絕對值概念的引入奠定了基礎(chǔ)，這里老師不包辦代替，讓學(xué)生自己練習(xí)。二、探索新知，導(dǎo)入新課（一）師：同學(xué)們做得非常好！－6與6是相反數(shù)，它們只有符號不同，它們什么相同呢？學(xué)生活動：思考討論，很難得出答案。師：在數(shù)軸上標(biāo)出到原點距離是6個單位長度的點。學(xué)生活動：一個學(xué)生板演，其他學(xué)生在練習(xí)本上做。師：顯然A點（表示6的點）到原點的距離是6，B點（表示－6的點）到原點距離是6個單位長嗎？學(xué)生活動：產(chǎn)生疑問，討論。師：＋6與－6雖然符號不同，但表示這兩個數(shù)的點到原點的距離都是6，是相同的。我們把這個距離叫＋6與－6的絕對值。教法說明：針對“互為相反數(shù)的兩數(shù)只有符號不同”提出問題：“它們什么相同呢？”在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生疑問，激發(fā)了學(xué)生探索知識的欲望，但這時學(xué)生很難回答出此問題，這時教師注意引導(dǎo)再提出要求：“找到原點距離是6個單位長度的點”這時學(xué)生就有了一個攀登的臺階，自然而然地想到表示＋6，－6的點到原點的距離相同，從而引出了絕對值的概念，這樣一環(huán)緊扣一環(huán)，時而緊張時而輕松，不知不覺學(xué)生已獲得了知識。（二）師：－6的絕對值是表示－6的點到原點的距離，－6的絕對值是6；6的絕對值是表示6的點到原點的距離，6的絕對值是6。提出問題：1．－3的絕對值表示什么？2．的絕對值呢？3．的絕對值呢？學(xué)生活動：第1、2題根據(jù)教師的引導(dǎo)學(xué)生口答，第3題討論后口答。（三）絕對值的概念：一個數(shù)的絕對值是數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離。數(shù)的絕對值是||。1．教法說明：由－6，6，－3，這些特殊的數(shù)的絕對值引出數(shù)的絕對值，逐層鋪墊，由學(xué)生得出絕對值的幾何意義，既理解了一個數(shù)的絕對值的含義也訓(xùn)練了學(xué)生口頭表達能力，突破了難點。如下圖所示：在數(shù)軸上表示－5的點與原點的距離是5，即－5的絕對值是5，記作|－5|=5。同樣，，表示0的點與原點的距離是0，所以|0|=0。2．下面咱們根據(jù)絕對值的定義，來看一組題目：觀察上面這三組題目會發(fā)現(xiàn)：（1）組中要求絕對值的數(shù)全是正數(shù)，而求出的絕對值也是正數(shù)，恰恰是它本身，而（2）組中0的絕對值是0，（3）組中要求絕對值的數(shù)全是負數(shù)，而求得的絕對值全都是正數(shù)，因而全都是其相反數(shù)，3．由此可以得到：（1）一個正數(shù)的絕對值是它本身。（2）一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。（3）0的絕對值是0。（四）因為正數(shù)可用a>0來表示，負數(shù)可用a<0來表示，所以上述三條可改寫成：1．如果a>0，那么|a|=a，（2）如果a<0，那么|a|=－a，（3）如果a=0，那么|a|=0。上面這幾個式子可合并寫成：由上面的幾個式子可以看出，不論a取何值，它的絕對值總是正數(shù)或0（通常也稱為非負數(shù)），即對任意有理數(shù)a而言，總有：。2．這是一條非常重要的性質(zhì)，這里的“非負”就是“不是負數(shù)”，而有可能是正數(shù)或者是0。上面的這幾個式子還告訴咱們怎樣求一個數(shù)的絕對值：（1）如果求一個正數(shù)的絕對值，根據(jù)法則，就直接寫出結(jié)果即可。（2）如果求一個負數(shù)的絕對值，根據(jù)法則，就需要找它的相反數(shù)。（3）而就“0”而言，它的絕對值就是它本身。三、應(yīng)用遷移，鞏固提高根據(jù)上面的這些法則來看例子：（一）求下列各數(shù)的絕對值：解：（二）化簡：解：      （三）回答下列問題：1．絕對值是12的數(shù)有幾個？是什么？2．絕對值是0的數(shù)有幾個？是什么？3．有沒有絕對值是－3的數(shù)？為什么？答：1．絕對值是12的數(shù)有兩個：+12和－12。因為絕對值是代表數(shù)a表示的點到原點的距離，而在數(shù)軸上，到原點距離為12的點共有兩個，它們是+12和－12。2．絕對值是0的數(shù)僅有一個，因為只有0的絕對值才是零。3．沒有。因為根據(jù)絕對值的意義可知：不論a取值為何數(shù)，它的絕對值總是正數(shù)或0，而沒有負數(shù)。因而沒有絕對值為－3的數(shù)。（四）設(shè)a、b是有理數(shù)，判斷下列語句是否正確，并簡要說明理由，若不正確，也可舉出反例。1．若a=b，則|a|=|b|；2．若|a|=|b|，則a=b。解：1．正確。因為兩個數(shù)若是相等，則表示它到原點的距離相等，因而|a|=|b|。2．不正確。因為絕對值相等的兩個數(shù)，它們不僅可以相等，而且還可以互為相反數(shù)，比如|3|=|－3|，但3≠－3。因而原語句錯誤。（五）數(shù)軸上與原點距離小于3的且表示整數(shù)的點有多少個？絕對值小于2的整數(shù)有多少個？它們是什么？解：先觀察數(shù)軸：經(jīng)過觀察，發(fā)現(xiàn)：在數(shù)軸上與原點距離小于3的點有無數(shù)個，但是表示整數(shù)的點卻只有－2，－1，0，1，2這樣5個，而絕對值小于2的整數(shù)則有3個，它們分別是0，1，－1。 

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初中數(shù)學(xué)滬科版七年級上冊電子課本 舊教材

1.2 數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值

版本： 滬科版

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