圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.
直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC).
連接圓上任意兩點間的線段叫做弦(如弦AB).
經(jīng)過圓心的弦叫做直徑(如直徑AC).
圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對稱軸.
可利用折疊的方法即可解決上述問題.
1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).
如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？
（1）是軸對稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對稱軸
（2） 線段： AE=BE
弧:AC=BC,AD=BD
把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC , AD分別與BC 、BD重合．
即直徑CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB
垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?br/>在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴點A和點B關于CD對稱.
∵⊙O關于直徑CD對稱,
∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,
在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？
平分弦 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br/>AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.
你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由.
右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)過圓心 (3)平分弦 (4)平分弦所對的優(yōu)弧 (5)平分弦所對的劣弧注意:當具備了(1)(3)時,應對另一 條弦增加”不是直徑”的限制.
例1 如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。
變式： 如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，CD是⊙O的直徑，CD⊥ＡB垂足為E，DE＝2cm,求⊙O的半徑。
1．半徑為4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圓心O到弦AB的距離是 。2．⊙O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的 距離為3cm，則弦AB的長是 。3．半徑為2cm的圓中，過半徑中點且 垂直于這條半徑的弦長是 。
1.如圖,在⊙O中,弦AB的長為8cm,圓心到AB的距離為3cm,則⊙O的半徑為 .
2.弓形的弦長AB為24cm，弓形的高CD為8cm，則這弓形所在圓的半徑為　　　　.
1.垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結合使用。2.解決有關弦的問題時，經(jīng)常（1）連結半徑；（2）過圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件。
例1：趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？
練習：在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．求證：四邊形ＡＤＯＥ是正方形．
如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？
圓的兩條平行弦所夾的弧相等
如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?
老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況:
垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
1.在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度.
2、如圖4，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點，且AC＝BD求證：△OCD為等腰三角形。
3、如圖，兩個圓都以點O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認為AC與BD的大小有什么關系？為什么？
已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直徑為15cm,則弦AB,CD間的距離為( ) ; 或10.5cm D.都不對;
解決有關弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件。
常用輔助線:垂直于弦的直徑
請圍繞以下兩個方面小結本節(jié)課：1、從知識上學習了什么？２、從方法上學習了什么？
圓的軸對稱性；垂徑定理及其推論
（１）垂徑定理和勾股定理結合。（２）在圓中解決與弦有關的問題時常作的輔助線 ——過圓心作垂直于弦的線段； ——連接半徑。
6.已知點P是半徑為5的⊙O內的一定點，且OP=4，則過P點的所有弦中，弦長可能取的整數(shù)值為（ ）
A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
12.已知直徑AB被弦CD分成AE=4,EB=8,CD和AB成300角,則弦CD的弦心距OF=____;CD=_____.
在a,d,r,h中，已知其中任意兩個量,可以求出其它兩個量.
13.已知：如圖，直徑CD⊥AB，垂足為E .⑴若半徑R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的長. ⑵若半徑R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的長.⑶由⑴ 、⑵兩題的啟發(fā)，你還能編出什么其他問題？
已知：AB和CD是⊙O內的兩條平行弦，，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半徑為5cm，
（1）請根據(jù)題意畫出符合條件的圖形
（2）求出AB、與CD間的距離。
1、判斷： ⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對 的兩條弧. （ ）⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所 對的另一條弧. （ ）⑶經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦. （ ）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. ⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ）
3、已知：如圖，⊙O 中， AB為 弦，C 為 弧AB 的中點，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半徑OA.
4、如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA = 10m，　　拱高為4m，求拱橋跨度AB的長。
4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長.

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2.3 垂徑定理

版本： 湘教版

年級： 九年級下冊

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