導(dǎo)語
斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡(jiǎn)約剛毅，力感十足．若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么斜拉索可看成過橋塔上一點(diǎn)與橋面上一點(diǎn)的直線．怎樣表示直線的方程呢？
一、直線的兩點(diǎn)式方程
問題1 我們知道已知兩點(diǎn)也可以確定一條直線，在平面直角坐標(biāo)系中，給定一個(gè)點(diǎn)P0(x0，y0)和斜率k，可得出直線方程．若給定直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直線的方程呢？
提示 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
知識(shí)梳理
經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直線方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，我們把它叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．
注意點(diǎn)：
(1)當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方程表示．
(2)兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān)．
(3)方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等．
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：
(1)求BC邊所在的直線方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
解 (1)BC邊過兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，
由兩點(diǎn)式，得eq \f(y－?－4?,－2－?－4?)＝eq \f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0，
故BC邊所在的直線方程為2x＋5y＋10＝0.
(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(a，b)，
則a＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(－4＋?－2?,2)＝－3，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
又BC邊的中線過點(diǎn)A(－3,2)，
所以eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－?－3?,\f(5,2)－?－3?)，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.
延伸探究
若本例條件不變，試求BC邊的垂直平分線所在的直線方程．
解 kBC＝eq \f(－4－?－2?,5－0)＝－eq \f(2,5)，
則BC邊的垂直平分線的斜率為eq \f(5,2)，
又BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
由點(diǎn)斜式方程可得y＋3＝eq \f(5,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，
即10x－4y－37＝0.
反思感悟 利用兩點(diǎn)式求直線的方程
首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件．
若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)過點(diǎn)A(－2,1)，B(3，－3)的直線方程為____________．
答案 4x＋5y＋3＝0
解析 因?yàn)橹本€過點(diǎn)(－2,1)和(3，－3)，
所以eq \f(y－1,－3－1)＝eq \f(x－?－2?,3－?－2?)，
即eq \f(y－1,－4)＝eq \f(x＋2,5)，
化簡(jiǎn)得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)，求這條直線的方程．
解 由直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．
(1)當(dāng)直線斜率不存在，即m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；
(2)當(dāng)直線斜率存在，即m≠1時(shí)，利用兩點(diǎn)式，可得直線方程為eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0.
綜上可得，當(dāng)m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；
當(dāng)m≠1時(shí)，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.
二、直線的截距式方程
問題2 若給定直線上兩點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？
提示 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
知識(shí)梳理
我們把方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1叫做直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式．直線與x軸的交點(diǎn)(a,0)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距，此時(shí)直線在y軸上的截距是b.
注意點(diǎn)：
(1)如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程．
(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來作圖．
(3)與坐標(biāo)軸平行和過原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示．
(4)過原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為零．
例2 求過點(diǎn)A(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程．
解 (1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí)，可設(shè)直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.又l過點(diǎn)A(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.
所以直線l的方程為eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0時(shí)，即直線l過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，因?yàn)閘過點(diǎn)(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，直線l的方程為y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1.若將點(diǎn)A的坐標(biāo)改為“A(－3，－4)”，其他條件不變，又如何求解？
解 (1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí)，
設(shè)直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，
又l過點(diǎn)A(－3，－4)，所以eq \f(－3,a)＋eq \f(－4,－a)＝1，解得a＝1.
所以直線l的方程為eq \f(x,1)＋eq \f(y,－1)＝1，即x－y－1＝0.
(2)當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，由于l過點(diǎn)(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，解得k＝eq \f(4,3).
所以直線l的方程為4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若將本例中“截距互為相反數(shù)”改為“截距相等”呢？
解 (1)當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l過點(diǎn)(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，
所以直線l的方程為x＋y－7＝0.
(2)當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，
又l過點(diǎn)(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
所以直線l的方程為y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟 截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)
(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．
(2)選用截距式方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向應(yīng)用．
跟蹤訓(xùn)練2 直線l過點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程．
解 設(shè)直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
由題意知，a＋b＋eq \r(a2＋b2)＝12.
所以eq \r(a2＋b2)＝12－a－b.
兩邊平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.①
又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
所以eq \f(4,3a)＋eq \f(2,b)＝1，整理得3ab＝6a＋4b.②
由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(9,2)，,a＝\f(12,5)，))
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
1．知識(shí)清單：
(1)直線的兩點(diǎn)式方程．
(2)直線的截距式方程．
2．方法歸納：分類討論法、數(shù)形結(jié)合法．
3．常見誤區(qū)：利用截距式求直線方程時(shí)忽略過原點(diǎn)的情況導(dǎo)致漏解．
1．在x軸、y軸上的截距分別是－3,4的直線方程是( )
A.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1
C.eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D.eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1
答案 A
2．過(1,2)，(5,3)的直線方程是( )
A.eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1) B.eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1)
C.eq \f(y－1,5－1)＝eq \f(x－3,2－3) D.eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,1－3)
答案 B
解析 ∵所求直線過點(diǎn)(1,2)，(5,3)，
∴所求直線方程是eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1).
3．過點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為________________________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，得直線方程為2x－y＝0；
當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，
可設(shè)直線方程為eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，
將x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直線方程為x－y＋1＝0.
∴直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4．已知點(diǎn)A(3,2)，B(－1,4)，則經(jīng)過點(diǎn)C(2,5)且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)的直線方程為________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，
由直線的兩點(diǎn)式方程可得eq \f(y－3,5－3)＝eq \f(x－1,2－1)，
即2x－y＋1＝0.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
1．過兩點(diǎn)(－2,1)和(1,4)的直線方程為( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案 A
解析 代入兩點(diǎn)式得直線方程為eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x＋2,1＋2)，
整理得y＝x＋3.
2．已知直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案 A
解析 顯然a≠0.把直線l：ax＋y－2＝0化為eq \f(x,\f(2,a))＋eq \f(y,2)＝1.
∵直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，
∴eq \f(2,a)＝2，解得a＝1.
3．若直線eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1過第一、二、三象限，則( )
A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b

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2.2 直線的方程

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