【例題選講】
[例8] (41)過(guò)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，則雙曲線離心率e的取值范圍為( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
答案 B 解析 將x＝c代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得y＝±eq \f(b2,a)，不妨取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b2,a)．將x＝c代入雙曲線的漸近線方程y＝±eq \f(b,a)x，得y＝±eq \f(bc,a)，不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(bc,a)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(bc,a)))，所以|CD|＝eq \f(2bc,a)．因?yàn)閨AB|≥eq \f(3,5)|CD|，所以eq \f(2b2,a)≥eq \f(3,5)×eq \f(2bc,a)，即b≥eq \f(3,5)c，則b2≥eq \f(9,25)c2，即c2－a2≥eq \f(9,25)c2，即eq \f(16,25)c2≥a2，所以e2≥eq \f(25,16)，所以e≥eq \f(5,4)，故選B．
(42)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線l：4x－3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝6，點(diǎn)P到直線l的距離不小于eq \f(6,5)，則橢圓離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
答案 C 解析 如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，∵點(diǎn)P到直線l∶4x＋3y＝0的距離不小于eq \f(6,5)，∴eq \f(|3b|,\r(16＋9))≥eq \f(6,5)，解得b≥2．∴c≤eq \r(9－4)＝eq \r(5)，∴0b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF1是銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是( )
A．(eq \r(2)－1，＋∞) B．(0，eq \r(2)－1) C．(eq \r(2)－1，1) D．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
答案 C 解析 由題意可知，A，B的橫坐標(biāo)均為c，且A，B都在橢圓上，所以eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，從而可得y＝±eq \f(b2,a)，不妨令A(yù)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))．由△ABF1是銳角三角形知∠AF1F20)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線上的點(diǎn)P滿足4|eq \(PF1,\s\up8(→))＋eq \(PF2,\s\up8(→))|≥3|eq \(F1F2,\s\up8(→))|
恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為( )
A．10)上，若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離
心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
53．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，延長(zhǎng)B1F2與A2B2
交于P點(diǎn)，若∠B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_______．
54．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P使∠F1PF2為鈍角，
則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
55．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2是以F2P為底邊的
等腰三角形，且60°0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，D為虛軸的一
個(gè)端點(diǎn)，且△ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_______．
57．已知點(diǎn)F為雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝kx(k>0)與E交于不同象限內(nèi)的M，N
兩點(diǎn)，若MF⊥NF，設(shè)∠MNF＝β，且β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．[eq \r(2)，eq \r(2)＋eq \r(6)] B．[2，eq \r(3)＋1] C．[2，eq \r(2)＋eq \r(6)] D．[eq \r(2)，eq \r(3)＋1]
58．過(guò)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線
離心率的取值范圍為_(kāi)_______.
59．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得線段PF1的
中垂線恰好經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F2，則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
60．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，則該橢圓
的離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
61．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若|PF1|2
＝8a|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為( )
A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(0，3) D．(0，3]
62．已知F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上且滿足eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝c2，則
該橢圓離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
63．已知雙曲線M：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c．若雙曲線M的右支上
存在點(diǎn)P，使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(3c,sin∠PF2F1)，則雙曲線M的離心率的取值范圍為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2＋\r(7),3))) C．(1，2) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))
64．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得
eq \f(sin∠MF1F2,a)＝eq \f(sin∠MF2F1,c)，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A．(0，eq \r(2)－1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．(eq \r(2)－1，1)
65．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使eq \f(1－cs 2∠PF1F2,1－cs 2∠PF2F1)
＝eq \f(a2,c2)，該橢圓的離心率的取值范圍為

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