[例1] (1)過橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則△PFQ的周長的最小值為( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 D 解析 由橢圓的對稱性可知，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)F′為橢圓另一焦點(diǎn)，則四邊形PFQF′為平行四邊形，由橢圓定義可知：|PF|＋|PF′|＋|QF|＋|QF′|＝4a＝20，又|PF|＝|QF′|，|QF|＝|PF′|，∴|PF|＋|QF|＝10，又PQ為橢圓內(nèi)的弦，∴|PQ|min＝2b＝8，∴△PFQ周長的最小值為：10＋8＝18．故選D．
(2)已知點(diǎn)F為橢圓C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，3)，則|PQ|＋|PF|取最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
答案 (0，－1) 解析 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2eq \r(2)．當(dāng)P為線段QE的延長線與橢圓的交點(diǎn)時，|PQ|＋|PF|取最大值，此時，直線PQ的方程為y＝x－1，QE的延長線與橢圓交于點(diǎn)(0，－1)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－1)．
(3)橢圓eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長最大時，△FMN的面積是( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(6\r(5),5) C．eq \f(8\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
答案 C 解析 如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，連接MF′，NF′．因?yàn)閨MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以當(dāng)直線x＝m過橢圓的右焦點(diǎn)時，△FMN的周長最大．此時|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(8\r(5),5)，又c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(5－4)＝1，所以此時△FMN的面積S＝eq \f(1,2)×2×eq \f(8\r(5),5)＝eq \f(8\r(5),5)．故選C．
(4)設(shè)P為雙曲線x2－eq \f(y2,15)＝1右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓C1：(x＋4)2＋y2＝4和圓C2：(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，設(shè)|PM|－|PN|的最大值和最小值分別為m，n，則|m－n|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C 解析 由題意得，圓C1：(x＋4)2＋y2＝4的圓心為(－4,0)，半徑為r1＝2；圓C2：(x－4)2＋y2＝1的圓心為(4，0)，半徑為r2＝1．設(shè)雙曲線x2－eq \f(y2,15)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)．如圖所示，連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，則|PF1|－|PF2|＝2．又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5．又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6．故選C．
(5)已知點(diǎn)M(－3，2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q是該拋物線上的一動點(diǎn)，則|MQ|－|QF|的最小值是( )
A．eq \f(7,2) B．3 C．eq \f(5,2) D．2
答案 C 解析 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(1,2)，過Q作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q′，如圖．依據(jù)拋物線的定義，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，則當(dāng)QM和QQ′共線時，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值為eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))＝eq \f(5,2)．
(6)已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－2，4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使△APF的周長最小，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2))) 解析 因?yàn)?－2)2＜8×4，所以點(diǎn)A(－2，4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，連接AQ，由拋物線的定義可知△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點(diǎn)共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|．因?yàn)锳(－2，4)，所以不妨設(shè)△APF的周長最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq \f(1,2)，故使△APF的周長最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
1．已知橢圓的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，過橢圓中心的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則△ABF2
的周長的最小值為________，△ABF2的面積的最大值為________．
2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|
－|PF1|的最小值為________．
3．已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)．則|PA|＋|PF|的最大
值為________，最小值為________．
4．橢圓C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的離心率為eq \f(\r(3),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，過F1的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，
則|AF2|＋|BF2|的最大值等于________．
5．已知圓M：(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1(m>3)的一個焦點(diǎn)，圓M與橢圓C的公共點(diǎn)為A，B，
點(diǎn)P為圓M上一動點(diǎn)，則P到直線AB的距離的最大值為( )
A．2eq \r(10)－5 B．2eq \r(10)－4 C．4eq \r(10)－11 D．4eq \r(10)－10
6．設(shè)P是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|
＋|PN|的最小值和最大值分別為( )
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
7．P是雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙
曲線C的左焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PQ|的最小值為( )
A．1 B．2＋eq \f(\r(15),5) C．4＋eq \f(\r(15),5) D．2eq \r(2)＋1
8．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \f(2\r(3),3)x，一個焦點(diǎn)為F(0，－eq \r(7))，點(diǎn)A(eq \r(2)，0)，點(diǎn)P為雙曲線上在第一
象限內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時，△PAF周長的最小值為( )
A．8 B．10 C．4＋3eq \r(7) D．3＋3eq \r(17)
9．過雙曲線x2－eq \f(y2,15)＝1的右支上一點(diǎn)P，分別向圓C1：(x＋4)2＋y2＝4和圓C2：(x－4)2＋y2＝1作切線，
切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2－|PN|2的最小值為( )
A．10 B．13 C．16 D．19
10．已知點(diǎn)F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，P是該拋物線上任意一點(diǎn)，M(5，3)，則|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
11．已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，若點(diǎn)A(3，2)，則|PA|＋|PF|取最小值時，點(diǎn)
P的坐標(biāo)為________．
12．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，且l過點(diǎn)(－2，3)，M在拋物線C上，若點(diǎn)N(1，
2)，則|MN|＋|MF|的最小值為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知點(diǎn)M(x，y)是拋物線y2＝4x上的動點(diǎn)，則eq \r(?x－2?2＋?y－1?2)＋eq \r(?x－1?2＋y2)的最小值為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
14．已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點(diǎn)，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點(diǎn)，N(1，0)是一個定點(diǎn)，
則|PQ|＋|PN|的最小值為( )
A．3 B．4 C．5 D．eq \r(2)＋1
15．已知以圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為焦點(diǎn)的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點(diǎn)，B點(diǎn)是拋物線C2：
x2＝8y上任意一點(diǎn)，BM與直線y＝－2垂直，垂足為M，則|BM|－|AB|的最大值為( )
A．1 B．2 C．－1 D．8
16．已知拋物線y2＝8x，點(diǎn)Q是圓C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一點(diǎn)，記拋物線上任意一點(diǎn)P到直
線x＝－2的距離為d，則|PQ|＋d的最小值為( )
A．5 B．4 C．3 D．2
17．定長為4的線段MN的兩端點(diǎn)在拋物線y2＝x上移動，設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離
的最小值為( )
A．1 B．eq \f(7,4) C．2 D．5
18．已知拋物線方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距
離為m，到直線l的距離為n，則m＋n的最小值為________．
19．已知點(diǎn)F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M向圓(x－1)2＋y2＝eq \f(1,2)作切
線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形AFBM面積的最小值為________．
20．已知拋物線C：x2＝8y的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)Q在C上，圓Q的半徑為1，過點(diǎn)F的直線與圓Q切于點(diǎn)P，
則eq \(FP,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))的最小值為________．

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