1.理解銳角的三角函數(shù)中正切的概念及其與現(xiàn)實生活的聯(lián)系；（重點）2.能在直角三角形中求出某個銳角的正切值，并進(jìn)行簡單計算； (重點)
思考：衡量山“險”與“不險”的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？
想一想:你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？
梯子與地面的夾角∠ＡＢＣ稱為傾斜角
從梯子的頂端A到墻角C的距離，稱為梯子的鉛直高度
從梯子的底端B到墻角C的距離，稱為梯子的水平寬度
問題1:你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？
傾斜角越大——梯子越陡
問題2:如圖，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？
當(dāng)鉛直高度一樣，水平寬度越小，梯子越陡
當(dāng)水平寬度一樣，鉛直高度越大，梯子越陡
問題3:如圖，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？
當(dāng)鉛直高度與水平寬度的比相等時，梯子一樣陡
問題4:如圖，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？
當(dāng)鉛直高度與水平寬度的比越大，梯子越陡.
傾斜角越大，梯子越陡.
若小明因身高原因不能順利測量梯子頂端到墻腳的距離B1 C1 ,進(jìn)而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么錦囊妙計？
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關(guān)系?
(3)如果改變B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
思考：由此你得出什么結(jié)論?
相似三角形的對應(yīng)邊相等
在Rt△ABC中,如果銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做∠A的正切,記作tanA,即
結(jié)論：tanA的值越大，梯子越陡.
定義中的幾點說明：1.初中階段，正切是在直角三角形中定義的， ∠A是一個銳角. 2.tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示為:tan∠BAC.∠1的正切表示為:tan∠﹥0 且沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中銳角∠A的對邊與鄰邊的比（注意順序： ）不表示“tan”乘以“A ”的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).
銳角A的正切值可以等于1嗎？為什么？可以大于1嗎？
對于銳角A的每一個確定的值，tanA都有唯一的確定的值與它對應(yīng).
解：可以等于1，此時為等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于無窮大.
例1： 下圖表示兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡?
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一個銳角的正切表示梯子的傾斜程度.
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，則 tan A=______，tan B =______．
互余兩銳角的正切值互為倒數(shù).
2.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對邊、鄰邊.
4.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的對邊和鄰邊同時擴大100倍,tanA的值（ ）A.擴大100倍 B.縮小100倍 C.不變 D.不能確定
3.已知∠A,∠B為銳角，(1)若∠A=∠B,則tanA tanB; (2)若tanA=tanB,則∠A ∠B.
求 tan30°，tan60°的值.
從而　AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.
于是 BC = AB ， ∠B=60°.
由此得出 AC = BC.
說一說tan 45°的值
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
　　對于一般銳角α（30°，45°，60°除外）的正切值，我們也可用計算器來求.
用計算器求銳角的正切值或根據(jù)正切值求角
　　如果已知正切值，我們也可以利用計算器求出它的對應(yīng)銳角.
從正弦、余弦、正切的定義看到，任意給定一個銳角α，都有唯一確定的比值sinα(或csα，tanα)與它對應(yīng)，并且我們還知道，當(dāng)銳角α變化時，它的比值sinα (或csα，tanα)也隨之變化. 因此我們把銳角α的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱為角α的銳角三角函數(shù).
定義中應(yīng)該注意的幾個問題:
1.sinA,csA,tanA是在直角三角形中定義的,∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形),csA,tanA是一個完整的符號,分別表示∠A的正弦,余弦,正切 (習(xí)慣省去“∠”號),csA,tanA 是一個比值.注意比的順序.且sinA,csA,tanA均﹥0,無單位,csA,tanA的大小只與∠A的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長無關(guān).5.角相等,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個銳角相等.
例2 求下列各式的值：
提示：cs260°表示(cs60°)2，即(cs60°)×(cs60°).
解：cs260°+sin260°
(1) cs260°+sin260°；
計算：(1) sin30°+ cs45°；
(2) sin230°+ cs230°－tan45°.
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 與 ∠B 滿足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，試判斷 △ABC 的形狀．
∴ tanA＝1，sinB＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是銳角三角形．
∴ tanB＝ ，sinA＝ ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
1. 已知：| tanB－ | ＋ (2 sinA－ )2 ＝0，求∠A，∠B的度數(shù).
2. 已知 α 為銳角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一 個根，求 2 sin2α + cs2α － tan (α+15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cs2α － tan (α+15°) = 2 sin245°+cs245°－ tan60°
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AC=12,tanA=( ).
(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ).
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= , AC=( ).
2.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA= （ ）
A. B.C. D.
3.如圖,P是 的邊 OA 上一點，點 P的坐標(biāo)為 ，則 =__________.
記得構(gòu)造直角三角形哦！
5.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
提示:過點A作AD垂直于BC于點D.求銳角三角函數(shù)時,勾股定理的運用是很重要的.
解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D， ∴在Rt△ABD中， 易知BD=5，AD=12.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.
7. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、csA、tanA的值．
變式1：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝ ，求sinA、tanA的值．
設(shè)AC=15k，則AB=17k
變式2：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA、csB的值．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P(x,y)是第一象限內(nèi)直線y=-x+6上的點, 點A(5,0)，O是坐標(biāo)原點，△PAO 的面積為S.（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)S=10時,求tan∠PAO 的值.
解：(1)過點P作PM⊥OA于點M，
（2）當(dāng)S=10時,求tan∠PAO 的值.
又∵點P在直線y=-x+6上，
∴AM=OA-OM=5-2=3.
正切的概念：在直角三角形中，銳角α的對邊與鄰邊的比叫做角α的正切
正弦的性質(zhì)：α確定的情況下，tanα為定值，與三角形的大小無關(guān)

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4.2 正切

版本： 湘教版

年級： 九年級上冊

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