問題1、經(jīng)過平面上一個已知點，作已知圓的切線會有怎樣的情形？
問題2、經(jīng)過圓外一點P，如何作已知⊙O的切線？
思考：假設(shè)切線PA已作出，A為切點，則∠OAP=90°，連接OP，可知A在圓上
在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長
切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系：
（1）切線是一條與圓相切的直線；
（2）切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長
若從⊙O外的一點引兩條切線PA，PB，切點分別是A、B，連結(jié)OA、OB、OP，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論
證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論
PA、PB分別切⊙O于A、B
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提 供了新的方法
我們學(xué)過的切線，常有 性質(zhì)：1、切線和圓只有一個公共點；2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3、切線垂直于過切點的半徑；4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心；
6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.
若連結(jié)兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.
證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點A，B是切點 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 ∴OP垂直平分AB
（3）連結(jié)圓心和圓外一點
（1）分別連結(jié)圓心和切點
反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
例1 已知：如圖29-4-5，過點P的兩條直線分別與⊙O相切于點A，B，Q為劣弧 上異于點A，B的任意一點，過點Q的切線分別與切線PA，PB相交于點C，D.求證：△PCD的周長等于2PA.
證明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切線，∴PA=PB，CQ=CA，DQ=DB.∴△PCD的周長=PC+PD+CD=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA.
例2 用尺規(guī)作圓，使其與已知三角形的共邊都相切．已知：如圖29-4-6，△ABC.求作：⊙I，使它與△ABC的三邊都相切．分析：要求作的圓與△ABC的三邊都相切，則這個圓的圓心到△ABC三邊的距離都相等，所以圓心是三角形兩個內(nèi)角平分線的交點，圓的半徑是交點到三角形一邊的垂線段的長．作法：如圖29-4-7.
（1）分別作∠B和∠C的平分線BM和CN．設(shè)BM與CN交于點I.
（2）過點I作ID⊥BC，垂足為D.
（3）以點I為圓心、ID的長為半徑作⊙I. ⊙I即為所求．如圖29-4-8，作IE⊥AC，IF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．由作圖過程ID=IE=IF．因為⊙I的半徑為ID，所以⊙I與△ABC的三邊AB，AC分別相切于點F，D，E.
外切圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點外切圓的半徑：交點到三角形任意一個定點的距離
內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點內(nèi)切圓的半徑：交點到三角形任意一邊的垂直距離
分析題目已知：如圖， △ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC 、CA、 AB 分別相交于點D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米，CA ＝13厘米，求AF、BD、CE的長
過⊙O外一點作⊙O的切線
如圖所示PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周長．(2) 如果∠P=46°，求∠COD的度數(shù)
1.一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓；
2.一個圓有無數(shù)個外切三角形；
3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平 分線的交點；
4. 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等
選做題：如圖，AB是⊙O的直徑，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點，若BC=9，AD=4，求OE的長.

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29.4 切線長定理

版本： 冀教版

年級： 九年級下冊

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