?2018年福建省南平市中考數學試卷
　
一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．﹣3的倒數是（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C． D．
2．如圖所示的幾何體的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
3．如圖，直線a∥b，直線c與a、b分別交于A、B兩點，若∠1=46°，則∠2=（　?。?br />
A．44° B．46° C．134° D．54°
4．下列事件是必然事件的是（　?。?br /> A．某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎
B．一組數據1，2，4，5的平均數是4
C．三角形的內角和等于180°
D．若a是實數，則|a|＞0
5．2016年歐洲杯足球賽中，某國家足球隊首發(fā)上場的11名隊員身高如表：
身高（cm）
176
178
180
182
186
188
192
人數
1
2
3
2
1
1
1[來源:Z*xx*k.Com]
則這11名隊員身高的眾數和中位數分別是（　　）（單位：cm）
A．180，182 B．180，180 C．182，182 D．3，2
6．若正六邊形的半徑長為4，則它的邊長等于（　?。?br /> A．4 B．2 C．2 D．4
7．下列運算正確的是（　　）
A．3x+2y=5xy B．（m2）3=m5 C．（a+1）（a﹣1）=a2﹣1 D． =2
8．下列一元二次方程中，沒有實數根的是（　?。?br /> A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣x+1=0 C．x2+2x+1=0 D．x2=1
9．閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應產業(yè)結構調整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20%，設把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為（　?。?br /> A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120
10．如圖，已知直線l：y=2x，分別過x軸上的點A1（1，0）、A2（2，0）、…、An（n，0），作垂直于x軸的直線交l于點B1、B2、…、Bn，將△OA1B1，四邊形A1A2B2B1、…、四邊形An﹣1AnBnBn﹣1的面積依次記為S1、S2、…、Sn，則Sn=（　?。?br />
A．n2 B．2n+1 C．2n D．2n﹣1
　
二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
11．甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績的平均數相同，方差分別是s=0.2，s=0.5，則設兩人中成績更穩(wěn)定的是______（填“甲”或“乙”）
12．計算：（2）2=______．
13．分解因式：mn2+2mn+m=______．
14．寫出一個y關于x的二次函數的解析式，且它的圖象的頂點在y軸上：______．
15．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別為AB、CD上的點，且AE=CF=AB，點O為線段EF的中點，過點O作直線與正方形的一組對邊分別交于P、Q兩點，并且滿足PQ=EF，則這樣的直線PQ（不同于EF）有______條．

16．如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結論：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不變；
③△PCQ面積的最小值為；
④當點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形，
其中所有正確結論的序號是______．

　
三、解答題（共9小題，滿分86分）
17．計算：（2π）0+|﹣6|﹣．
18．解分式方程： =．
19．解不等式組：．
20．國務院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總統方案》，一年過去了，為了了解足球知識的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專題調查活動，采取隨機抽樣的方法進行問卷調查，調查結果劃分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級，并將調查結果繪制成兩幅不完整的統計圖（如圖），請根據圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）被調查的學生共有______人．
（2）在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數為______度；
（3）從該校隨機抽取一名學生，抽中的學生對足球知識是“基本了解”的概率的是多少？

21．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一點，BD=8，DE⊥AB，垂足為E，求線段DE的長．

22．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，點C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
（1）求證：OC=AD；
（2）若∠P=50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長（精確到0.1）

23．已知正比例函數y1=ax（a≠0）與反比例函數y2=（k≠0）的圖象在第一象限內交于點A（2，1）
（1）求a，k的值；
（2）在直角坐標系中畫出這兩個函數的大致圖象，并根據圖象直接回答y1＞y2時x的取值范圍．

24．（12分）（2016?南平）已知，拋物線y=ax2（a≠0）經過點A（4，4），
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，拋物線上存在點B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點B的坐標：______．
（3）如圖2，直線l經過點C（0，﹣1），且平行與x軸，若點D為拋物線上任意一點（原點O除外），直線DO交l于點E，過點E作EF⊥l，交拋物線于點F，求證：直線DF一定經過點G（0，1）．

25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP＜PD）
（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點P逆時針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G．
①求證：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論．
（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G，你認為（1）中DE、DG、DP之間的數量關系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數量關系式，并說明理由．

　

2018年福建省南平市中考數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．﹣3的倒數是（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C． D．
【考點】倒數．
【專題】常規(guī)題型．
【分析】直接根據倒數的定義進行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，
∴﹣3的倒數是﹣．
故選：D．
【點評】本題考查的是倒數的定義，即乘積是1的兩數互為倒數．
　
2．如圖所示的幾何體的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【考點】簡單幾何體的三視圖．
【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形．
【解答】解：從左面看可得到一個三角形．
故選：A．
【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中．
　
3．如圖，直線a∥b，直線c與a、b分別交于A、B兩點，若∠1=46°，則∠2=（　?。?br />
A．44° B．46° C．134° D．54°
【考點】平行線的性質．
【分析】先根據平行線的性質求出∠3的度數，再由對頂角的定義即可得出結論．
【解答】解：如圖所示：
∵直線a∥b，∠1=46°，
∴∠1=∠3=46°．
∵∠2與∠3是對頂角，
∴∠2=∠3=46°．
故選：B．

【點評】本題考查的是平行線的性質、對頂角相等的性質，熟練掌握兩直線平行，同位角相等是解決問題的關鍵．
　
4．下列事件是必然事件的是（　?。?br /> A．某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎
B．一組數據1，2，4，5的平均數是4
C．三角形的內角和等于180°
D．若a是實數，則|a|＞0
【考點】隨機事件．
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．據此判斷即可解答．
【解答】解：A、某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎為隨機事件，不符合題意；
B、一組數據1，2，4，5的平均數是4是不可能事件，不符合題意；
C、三角形的內角和等于180°為必然事件，符合題意；
D、若a是實數，則|a|＞0為事件事件，不符合題意．
故選C．
【點評】本題主要考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，理解概念是解決基礎題的主要方法．
用到的知識點為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
　
5．2016年歐洲杯足球賽中，某國家足球隊首發(fā)上場的11名隊員身高如表：
身高（cm）
176
178
180
182
186
188
192
人數
1
2
3
2
1
1
1
則這11名隊員身高的眾數和中位數分別是（　?。▎挝唬篶m）
A．180，182 B．180，180 C．182，182 D．3，2
【考點】眾數；中位數．
【分析】依據眾數和中位數的定義求解即可．
【解答】解：∵180出現的次數最多，
∴眾數是180．
將這組數據按照由大到小的順序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、186、188、192．
所以眾數為180．
故選：B．
【點評】本題主要考查的是眾數和中位數的定義，掌握眾數和中位數的定義是解題的關鍵．
　
6．若正六邊形的半徑長為4，則它的邊長等于（　?。?br /> A．4 B．2 C．2 D．4
【考點】正多邊形和圓．
【分析】根據正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形，即可求解．
【解答】解：正六邊形的中心角為360°÷6=60°，那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形，
故正六邊形的半徑等于4，則正六邊形的邊長是4．
故選：A．
【點評】此題主要考查了正多邊形和圓，利用正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形得出是解題關鍵．
　
7．下列運算正確的是（　　）
A．3x+2y=5xy B．（m2）3=m5 C．（a+1）（a﹣1）=a2﹣1 D． =2
【考點】平方差公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；約分．
【分析】根據同類項、冪的乘方、平方差公式以及約分的知識進行判斷即可．
【解答】解：A、3x+2y≠5xy，此選項錯誤；
B、（m2）3=m6，此選項錯誤；
C、（a+1）（a﹣1）=a2﹣1，此選項正確；
D、≠2，此選項錯誤；
故選C．
【點評】本題主要考查了平方差公式、合并同類項、冪的乘方以及約分等知識，解題的關鍵是掌握運算法則．
　
8．下列一元二次方程中，沒有實數根的是（　?。?br /> A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣x+1=0 C．x2+2x+1=0 D．x2=1
【考點】根的判別式．
【分析】分別找出一元二次方程中的二次項系數a，一次項系數b、常數項c，再利用一元二次方程根的判別式（△=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
【解答】解：A、a=1，b=﹣2，c=﹣3，b2﹣4ac=4+12=16＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項錯誤；
B、a=1，b=﹣1，c=1，b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，沒有實數根，故此選項正確；
C、a=1，b=2，c=1，b2﹣4ac=4﹣4=0，有兩個相等的實數根，故此選項錯誤；
D、a=1，b=0，c=﹣1，b2﹣4ac=4＞0，有兩個不相等的實數根，故此選項錯誤；
故選：B．
【點評】此題主要考查了根的判別式，關鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．
　
9．閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應產業(yè)結構調整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20%，設把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為（　?。?br /> A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120
【考點】由實際問題抽象出一元一次方程．
【分析】設把x公頃旱地改為林地，根據旱地面積占林地面積的20%列出方程即可．
【解答】解：設把x公頃旱地改為林地，根據題意可得方程：60﹣x=20%（120+x）．
故選：A．
【點評】本題考查一元一次方程的應用，關鍵是設出未知數以以改造后的旱地與林地的關系為等量關系列出方程．
　
10．如圖，已知直線l：y=2x，分別過x軸上的點A1（1，0）、A2（2，0）、…、An（n，0），作垂直于x軸的直線交l于點B1、B2、…、Bn，將△OA1B1，四邊形A1A2B2B1、…、四邊形An﹣1AnBnBn﹣1的面積依次記為S1、S2、…、Sn，則Sn=（　　）

A．n2 B．2n+1 C．2n D．2n﹣1
【考點】一次函數圖象上點的坐標特征．
【專題】規(guī)律型．
【分析】根據直線l的解析式以及三角形的面積可以找出部分Sn的值，根據數的變化找出變化規(guī)律“Sn=2n﹣1”，此題得解．
【解答】解：觀察，得出規(guī)律：S1=OA1?A1B1=1，S2=OA2?A2B2﹣OA1?A1B1=3，S3=OA3?A3B3﹣OA2?A2B2=5，S4=OA4?A4B4﹣OA3?A3B3=7，…，
∴Sn=2n﹣1．
故選D．
【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及規(guī)律型中的數的變化類，解題的關鍵是找出變化規(guī)律“Sn=2n﹣1”．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據一次函數圖象上點的坐標特征以及三角形的面積找出部分Sn的值，再根據面積的變化找出變化規(guī)律是關鍵．
　
二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
11．甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績的平均數相同，方差分別是s=0.2，s=0.5，則設兩人中成績更穩(wěn)定的是　甲　（填“甲”或“乙”）
【考點】方差；算術平均數．
【分析】由方差反映了一組數據的波動情況，方差越小，則數據的波動越小，成績越穩(wěn)定可以作出判斷．
【解答】解：∵S甲2=0.2，S乙2=0.5，
則S甲2＜S乙2，
可見較穩(wěn)定的是甲．
故答案為：甲．
【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩(wěn)定．
　
12．計算：（2）2=　28?。?br /> 【考點】二次根式的乘除法．
【分析】直接利用二次根式乘法運算法則求出答案．
【解答】解：原式=22×（）2=28．
故答案為：28．
【點評】此題主要考查了二次根式的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．
　
13．分解因式：mn2+2mn+m=　m（n+1）2?。?br /> 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．
【分析】首先提取公因式m，進而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：mn2+2mn+m
=m（n2+2n+1）
=m（n+1）2．
故答案為：m（n+1）2．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵．
　
14．寫出一個y關于x的二次函數的解析式，且它的圖象的頂點在y軸上：　y=x2（答案不唯一）　．
【考點】二次函數的性質．
【專題】開放型．
【分析】根據二次函數的圖象的頂點在y軸上，則b=0，進而得出答案．
【解答】解：由題意可得：y=x2（答案不唯一）．
故答案為：y=x2（答案不唯一）．
【點評】此題主要考查了二次函數的性質，正確得出b的值是解題關鍵．
　
15．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別為AB、CD上的點，且AE=CF=AB，點O為線段EF的中點，過點O作直線與正方形的一組對邊分別交于P、Q兩點，并且滿足PQ=EF，則這樣的直線PQ（不同于EF）有　3　條．

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質．
【分析】能畫3條：①與EF互相垂直且垂足為O，構建直角三角形，可以證明兩直角三角形全等得EF=PQ；
②在AD上截取AP=AD，連接PO延長得到PQ；
③同理在AB了截取BQ=AB，連接QO并延長得到PQ．
【解答】解：這樣的直線PQ（不同于EF）有3條，
①如圖1，過O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，
則PQ=EF；
②如圖2，以點A為圓心，以AE為半徑畫弧，交AD于P，連接PO并延長交BC于Q，則PQ=EF；
③如圖3，以B為圓心，以AE為半徑畫弧，交AB于Q，連接QO并延長交DC于點P，則PQ=EF．



【點評】本題考查了正方形的性質和全等三角形的性質與判定，本題雖然是做一條線段與EF相等，實際上是做好兩件事：①畫線段PQ，②能證明這兩條線段相等，這比證明更為復雜，因此首先要構建直角三角形全等，找到與EF相等的邊長的位置，本題的線段不止一條，容易丟解，要思考周全．
　
16．如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結論：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不變；
③△PCQ面積的最小值為；
④當點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形，
其中所有正確結論的序號是?、佗冖堋。?br />
【考點】幾何變換綜合題．
【分析】①由折疊直接得到結論；
②由折疊的性質求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意義求出∠PCQ=120°；
③先作出△PCQ的邊PC上的高，用三角函數求出QE=CQ，得到S△PCQ=CD2，判斷出△PCQ面積最小時，點D的位置，求出最小的CD=CF，即可；
④先判斷出△APD是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．
【解答】解：①∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴CP=CD=CQ，
∴①正確；
②∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，[來源:學科網]
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）=360°﹣（120°+120°）=120°，
∴∠PCQ的大小不變；
∴②正確；[來源:學|科|網Z|X|X|K]
③如圖，

過點Q作QE⊥PC交PC延長線于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，tan∠QCE=，
∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，
∵CP=CD=CQ
∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=CD2，
∴CD最短時，S△PCQ最小，
即：CD⊥AB時，CD最短，
過點C作CF⊥AB，此時CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF=BC=2，
即：CD最短為2，
∴S△PCQ最小=CD2=×22=2，
∴③錯誤，
④∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，
同理：△BDQ是等邊三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵當點D在AB的中點，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，[來源:Z_xx_k.Com]
∴△DPQ是等邊三角形．
∴④正確，
故答案為：①②④．
【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定，銳角三角函數，極值的確定，三角形的面積公式，解本題的關鍵是判斷出∠PCQ=120°是個定值；（其實這個題目中還有∠PDQ=60°也是定值），解本題的難點是確定出△PCQ面積最小時，點D的位置．
　
三、解答題（共9小題，滿分86分）
17．計算：（2π）0+|﹣6|﹣．
【考點】實數的運算；零指數冪．
【分析】首先計算零次冪、絕對值、開立方，然后計算有理數的加減即可．
【解答】解：原式=1+6﹣2=5．
【點評】此題主要考查了實數的運算，關鍵是掌握零指數冪、開方、絕對值等考點的運算．
　
18．解分式方程： =．
【考點】解分式方程．
【分析】先去分母，再解一元一次方程即可．
【解答】解：去分母得，3（1+x）=4x，
去括號得，3+3x=4x，
移項、合并得，x=3，
檢驗：把x=3代入x（x+1）=3×4=12≠0，
∴x=3是原方程的解．
【點評】本題考查了解分式方程，解分式方程一定要驗根．
　
19．解不等式組：．
【考點】解一元一次不等式組．
【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：由①得，x＜3，由②得，x＞1，
故不等式組的解集為：1＜x＜3．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
　
20．國務院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總統方案》，一年過去了，為了了解足球知識的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專題調查活動，采取隨機抽樣的方法進行問卷調查，調查結果劃分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級，并將調查結果繪制成兩幅不完整的統計圖（如圖），請根據圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）被調查的學生共有　300　人．
（2）在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數為　108　度；
（3）從該校隨機抽取一名學生，抽中的學生對足球知識是“基本了解”的概率的是多少？

【考點】概率公式；扇形統計圖；條形統計圖．
【專題】統計與概率．
【分析】（1）根據統計圖中的數據可以求得本次調查的人數；
（2）根據條形統計圖中的數據可以求得在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數；
（3）根據統計圖中的數據可以求得從該校隨機抽取一名學生，抽中的學生對足球知識是“基本了解”的概率．
【解答】解：（1）由題意可得，
被調查的學生有：60÷20%=300（人），
故答案為：300；
（2）在扇形統計圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數為：360°×=108°，
故答案為：108；
（3）由題意可得，
從該校隨機抽取一名學生，抽中的學生對足球知識是“基本了解”的概率是： =0.4，
即從該校隨機抽取一名學生，抽中的學生對足球知識是“基本了解”的概率是0.4．
【點評】本題考查概率公式、條形統計圖、扇形統計圖，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答問題．
　
21．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一點，BD=8，DE⊥AB，垂足為E，求線段DE的長．

【考點】相似三角形的判定與性質．
【分析】根據相似三角形的判定與性質，可得答案．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
又∠C=90°，
∴∠BED=∠C．
又∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴=，
∴DE===4
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質得出=是解題關鍵．
　
22．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，點C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
（1）求證：OC=AD；
（2）若∠P=50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長（精確到0.1）

【考點】切線的性質．
【分析】（1）只要證明四邊形OADC是矩形即可．
（2）在RT△OBC中，根據sin∠BCO=，求出OC即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，即∠OAD=90°，
∵OC∥AP，
∴∠COA=180°﹣∠OAD=180°﹣90°=90°，
∵CD∥PA，
∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°，
∴四邊形AOCD是矩形，
∴OC=AD．[來源:學*科*網]

（2）解：∵PB切⊙O于等B，
∴∠OBP=90°，
∵OC∥AP，
∴∠BCO=∠P=50°，
在RT△OBC中，sin∠BCO=，OB=4，
∴OC=≈5.22，
∴矩形OADC的周長為2（OA+OC）=2×（4+5.22）=18.4．
【點評】本題考查切線的性質、矩形的判定和性質等知識解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．
　
23．已知正比例函數y1=ax（a≠0）與反比例函數y2=（k≠0）的圖象在第一象限內交于點A（2，1）
（1）求a，k的值；
（2）在直角坐標系中畫出這兩個函數的大致圖象，并根據圖象直接回答y1＞y2時x的取值范圍．

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．
【分析】（1）將A坐標代入雙曲線解析式中，求出k的值，確定出反比例函數解析式，將A坐標代入一次函數解析式中，求出a的值，確定出一次函數解析式；
（2）畫出兩函數圖象，由函數圖象，即可得到y1＞y2時x的取值范圍．
【解答】解：（1）將A（2，1）代入正比例函數解析式得：1=2a，即a=，
故y1=x；
將A（2，1）代入雙曲線解析式得：1=，即k=2，
故y2=；

（2）如圖所示：

由圖象可得：當y1＞y2時，﹣2＜x＜0或x＞2．
【點評】此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，利用了數形結合的思想，數形結合是數學中重要的思想方法．
　
24．（12分）（2016?南平）已知，拋物線y=ax2（a≠0）經過點A（4，4），
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，拋物線上存在點B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點B的坐標：　B（﹣4，4）或（﹣8，16）　．
（3）如圖2，直線l經過點C（0，﹣1），且平行與x軸，若點D為拋物線上任意一點（原點O除外），直線DO交l于點E，過點E作EF⊥l，交拋物線于點F，求證：直線DF一定經過點G（0，1）．

【考點】二次函數綜合題．
【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，
（2）分兩種情況，先確定出直線OB或AB，和拋物線解析式聯立確定出點B的解析式；
（3）先設出點D坐標，確定出點F坐標，進而得出直線DF解析式，將點G坐標代入直線DF看是否滿足解析式．
【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2（a≠0）經過點A（4，4），
∴16a=4，
∴a=，
∴拋物線的解析式為y=x2，
（2）存在點B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，
理由：如圖1，

∵使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形
∴直角頂點是點O，或點A，
①當直角頂點是點O時，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，
∵點A（4，4），
∴直線OA解析式為y=x，
∴直線OB解析式為y=﹣x，
∵，
∴（舍）或，
∴B（﹣4，4），
②當直角頂點為點A，過點A作AB⊥OA，
由①有，直線OA的解析式為y=x，
∵A（4，4），
∴直線AB解析式為y=﹣x+8，
∵，
（舍）或，
∴B（﹣8，16），
∴滿足條件的點B（﹣4，4）或（﹣8，16）；
故答案為B（﹣4，4）或（﹣8，16）；
（3）證明：設點D（m， m2），
∴直線DO解析式為y=x，
∵l∥x軸，C（0，﹣1），
令y=﹣1，則x=﹣，
∴直線DO與l交于E（﹣，﹣1），
∵EF⊥l，l∥x軸，
∴F橫坐標為﹣，
∵點F在拋物線上，
∴F（﹣，）
設直線DF解析式為y=kx+b，
∴，
∴，
∴直線DF解析式為y=x+1，
∴點G（0，1）滿足直線DF解析式，
∴直線DF一定經過點G．
【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，函數圖象的交點坐標，直角三角形的性質，判斷點是否在直線上，解本題的關鍵是確定出點B的坐標，確定出直線DF的解析式是解本題的難點．
　
25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP＜PD）
（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點P逆時針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G．
①求證：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論．
（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G，你認為（1）中DE、DG、DP之間的數量關系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數量關系式，并說明理由．

【考點】四邊形綜合題．
【分析】（1）①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得證；
②由△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根據DG+DF=DG+GH=DH即可得；
（2）過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．
【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵，
∴△HPG≌△DPF（ASA），
∴PG=PF；
②結論：DG+DF=DP，
由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD=DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF=DP；

（2）不成立，數量關系式應為：DG﹣DF=DP，
如圖，過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，

∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵
∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，
∴DG﹣DF=DP．
【點評】本題主要考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的性質的綜合運用，靈活運用全等三角形的判定與性質將待求證線段關系轉移至其他兩線段間關系是解題的關鍵．
　

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