福建省2018年中考數(shù)學試卷（B卷）（含解析）

這是一份福建省2018年中考數(shù)學試卷（B卷）（含解析），共28頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（4.00分）在實數(shù)|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的數(shù)是（ ）
A．|﹣3|B．﹣2C．0D．π
2．（4.00分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（ ）
A．圓柱B．三棱柱C．長方體D．四棱錐
3．（4.00分）下列各組數(shù)中，能作為一個三角形三邊邊長的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，5
4．（4.00分）一個n邊形的內(nèi)角和為360°，則n等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（4.00分）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．（4.00分）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則下列事件為隨機事件的是（ ）
A．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于1
B．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1
C．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于12
D．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于12
7．（4.00分）已知m=+，則以下對m的估算正確的（ ）
A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6
8．（4.00分）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載”繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4.00分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，AC交⊙O于點D，若∠ACB=50°，則∠BOD等于（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
10．（4.00分）已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數(shù)根，下列判斷正確的是（ ）
A．1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4.00分）計算：（）0﹣1= ．
12．（4.00分）某8種食品所含的熱量值分別為：120，134，120，119，126，120，118，124，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 ．
13．（4.00分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中點，則CD= ．
14．（4.00分）不等式組的解集為 ．
15．（4.00分）把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD= ．
16．（4.00分）如圖，直線y=x+m與雙曲線y=相交于A，B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為 ．

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17．（8.00分）解方程組：．
18．（8.00分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O且與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)．求證：OE=OF．
19．（8.00分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中m=+1．
20．（8.00分）求證：相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比．
要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；
②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程．
21．（8.00分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過點D．
（1）求∠BDF的大?。?br>（2）求CG的長．
22．（10.00分）甲、乙兩家快遞公司攬件員（攬收快件的員工）的日工資方案如下：
甲公司為“基本工資+攬件提成”，其中基本工資為70元/日，每攬收一件提成2元；
乙公司無基本工資，僅以攬件提成計算工資．若當日攬件數(shù)不超過40，每件提成4元；若當日攪件數(shù)超過
40，超過部分每件多提成2元．
如圖是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攪件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計圖：
（1）現(xiàn)從今年四月份的30天中隨機抽取1天，求這一天甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40（不含40）的概率；
（2）根據(jù)以上信息，以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù)，并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬件員的
攬件數(shù)，解決以下問題：
①估計甲公司各攬件員的日平均件數(shù)；
②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘攬件員，如果僅從工資收入的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計知識幫他選擇，井說明理由．
23．（10.00分）空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．
（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．
如圖1，求所利用舊墻AD的長；
（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩
形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．
24．（12.00分）如圖，D是△ABC外接圓上的動點，且B，D位于AC的兩側(cè)，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F．BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，F(xiàn)B的延長線交于點P，且PC=PB．
（1）求證：BG∥CD；
（2）設△ABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大?。?br>25．（14.00分）已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個內(nèi)角為60°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若MN與直線y=﹣2x平行，且M，N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，解決以下問題：
①求證：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的縱坐標的取值范圍．

2018年福建省中考數(shù)學試卷（B卷）
參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（4.00分）在實數(shù)|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的數(shù)是（ ）
A．|﹣3|B．﹣2C．0D．π
【分析】直接利用利用絕對值的性質(zhì)化簡，進而比較大小得出答案．
【解答】解：在實數(shù)|﹣3|，﹣2，0，π中，
|﹣3|=3，則﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的數(shù)是：﹣2．
故選：B．

2．（4.00分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（ ）
A．圓柱B．三棱柱C．長方體D．四棱錐
【分析】根據(jù)常見幾何體的三視圖逐一判斷即可得．
【解答】解：A、圓柱的主視圖和左視圖是矩形，但俯視圖是圓，不符合題意；
B、三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，但俯視圖是三角形，不符合題意；
C、長方體的主視圖、左視圖及俯視圖都是矩形，符合題意；
D、四棱錐的主視圖、左視圖都是三角形，而俯視圖是四邊形，不符合題意；
故選：C．

3．（4.00分）下列各組數(shù)中，能作為一個三角形三邊邊長的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，5
【分析】根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
【解答】解：A、1+1=2，不滿足三邊關系，故錯誤；
B、1+2＜4，不滿足三邊關系，故錯誤；
C、2+3＞4，滿足三邊關系，故正確；
D、2+3=5，不滿足三邊關系，故錯誤．
故選：C．

4．（4.00分）一個n邊形的內(nèi)角和為360°，則n等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，如果已知多邊形的內(nèi)角和，就可以得到一個關于邊數(shù)的方程，解方程就可以求n．
【解答】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得：
（n﹣2）?180=360，
解得n=4．
故選：B．

5．（4.00分）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進而求出∠ECB=45°，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分線，
∵點E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故選：A．

6．（4.00分）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則下列事件為隨機事件的是（ ）
A．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于1
B．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1
C．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于12
D．兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于12
【分析】根據(jù)事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件進行分析即可．
【解答】解：A、兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于1，是必然事件，故此選項錯誤；
B、兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1，是不可能事件，故此選項錯誤；
C、兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于12，是不可能事件，故此選項錯誤；
D、兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于12，是隨機事件，故此選項正確；
故選：D．

7．（4.00分）已知m=+，則以下對m的估算正確的（ ）
A．2＜m＜3B．3＜m＜4C．4＜m＜5D．5＜m＜6
【分析】直接化簡二次根式，得出的取值范圍，進而得出答案．
【解答】解：∵m=+=2+，
1＜＜2，
∴3＜m＜4，
故選：B．

8．（4.00分）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載”繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】設索長為x尺，竿子長為y尺，根據(jù)“索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關于x、y的二元一次方程組．
【解答】解：設索長為x尺，竿子長為y尺，
根據(jù)題意得：．
故選：A．

9．（4.00分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，AC交⊙O于點D，若∠ACB=50°，則∠BOD等于（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A，根據(jù)圓周角定理計算即可．
【解答】解：∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
由圓周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故選：D．

10．（4.00分）已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數(shù)根，下列判斷正確的是（ ）
A．1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根
【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），當b=a+1時，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；當b=﹣（a+1）時，1是方程x2+bx+a=0的根．再結(jié)合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴b=a+1或b=﹣（a+1）．
當b=a+1時，有a﹣b+1=0，此時﹣1是方程x2+bx+a=0的根；
當b=﹣（a+1）時，有a+b+1=0，此時1是方程x2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根．
故選：D．

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4.00分）計算：（）0﹣1= 0 ．
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪：a0=1（a≠0）進行計算即可．
【解答】解：原式=1﹣1=0，
故答案為：0．

12．（4.00分）某8種食品所含的熱量值分別為：120，134，120，119，126，120，118，124，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 120 ．
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù)．
【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)中120出現(xiàn)次數(shù)最多，有3次，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為120，
故答案為：120．

13．（4.00分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中點，則CD= 3 ．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
【解答】解：∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AB=×6=3．
故答案為：3．

14．（4.00分）不等式組的解集為 x＞2 ．
【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式組的解集為x＞2，
故答案為：x＞2．

15．（4.00分）把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=，則CD= ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1，
故答案為：﹣1．

16．（4.00分）如圖，直線y=x+m與雙曲線y=相交于A，B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為 6 ．
【分析】根據(jù)雙曲線y=過A，B兩點，可設A（a，），B（b，），則C（a，）．將y=x+m代入y=，整理得x2+mx﹣3=0，由于直線y=x+m與雙曲線y=相交于A，B兩點，所以a、b是方程x2+mx﹣3=0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根據(jù)三角形的面積公式得出S△ABC=AC?BC=m2+6，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出當m=0時，△ABC的面積有最小值6．
【解答】解：設A（a，），B（b，），則C（a，）．
將y=x+m代入y=，得x+m=，
整理，得x2+mx﹣3=0，
則a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC=AC?BC
=（﹣）（a﹣b）
=??（a﹣b）
=（a﹣b）2
=（m2+12）
=m2+6，
∴當m=0時，△ABC的面積有最小值6．
故答案為6．

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17．（8.00分）解方程組：．
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
則方程組的解為．

18．（8.00分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O且與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)．求證：OE=OF．
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AD∥BC，繼而可證得△AOE≌△COF（ASA），則可證得結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．

19．（8.00分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中m=+1．
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將m的值代入即可解答本題．
【解答】解：（﹣1）÷
=
=
=，
當m=+1時，原式=．

20．（8.00分）求證：相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比．
要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；
②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程．
【分析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；
（2）依據(jù)D是AB的中點，D'是A'B'的中點，即可得到=，根據(jù)△ABC∽△A'B'C'，即可得到=，∠A'=∠A，進而得出△A'C'D'∽△ACD，可得==k．
【解答】解：（1）如圖所示，△A'B′C′即為所求；
（2）已知，如圖，△ABC∽△A'B'C'，===k，D是AB的中點，D'是A'B'的中點，
求證：=k．
證明：∵D是AB的中點，D'是A'B'的中點，
∴AD=AB，A'D'=A'B'，
∴==，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴=，∠A'=∠A，
∵=，∠A'=∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴==k．

21．（8.00分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過點D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的長．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠ADE=∠ACB，進而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵線段AD是由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
（2）由平移的性質(zhì)得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性質(zhì)得，CG=AE=12.5．

22．（10.00分）甲、乙兩家快遞公司攬件員（攬收快件的員工）的日工資方案如下：
甲公司為“基本工資+攬件提成”，其中基本工資為70元/日，每攬收一件提成2元；
乙公司無基本工資，僅以攬件提成計算工資．若當日攬件數(shù)不超過40，每件提成4元；若當日攪件數(shù)超過
40，超過部分每件多提成2元．
如圖是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攪件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計圖：
（1）現(xiàn)從今年四月份的30天中隨機抽取1天，求這一天甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40（不含40）的概率；
（2）根據(jù)以上信息，以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù)，并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬件員的
攬件數(shù)，解決以下問題：
①估計甲公司各攬件員的日平均件數(shù)；
②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘攬件員，如果僅從工資收入的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計知識幫他選擇，井說明理由．
【分析】（1）根據(jù)概率公式計算可得；
（2）分別根據(jù)平均數(shù)的定義及其意義解答可得．
【解答】解：（1）因為今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40的有4天，
所以甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40（不含40）的概率為=；
（2）①甲公司各攬件員的日平均件數(shù)為=39件；
②甲公司攬件員的日平均工資為70+39×2=148元，
乙公司攬件員的日平均工資為
=[40+]×4+×6
=159.4元，
因為159.4＞148，
所以僅從工資收入的角度考慮，小明應到乙公司應聘．

23．（10.00分）空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．
（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．
如圖1，求所利用舊墻AD的長；
（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩
形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．
【分析】（1）按題意設出AD，表示AB構成方程；
（2）根據(jù)舊墻長度a和AD長度表示矩形菜園長和寬，注意分類討論s與菜園邊長之間的數(shù)量關系．
【解答】解：（1）設AD=x米，則AB=
依題意得，
解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用舊墻AD的長為10米．
（2）設AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米
①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意
得：
S=，0＜x＜a
∵0＜α＜50
∴x＜a＜50時，S隨x的增大而增大
當x=a時，S最大=50a﹣
②如按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得
S=，a≤x＜50+
當a＜25+＜50時，即0＜a＜時，
則x=25+時，S最大=（25+）2=
當25+≤a，即時，S隨x的增大而減小
∴x=a時，S最大=
綜合①②，當0＜a＜時，
﹣（）=
＞，此時，按圖2方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米
當時，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等．
∴當0＜a＜時，圍成長和寬均為（25+）米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；
當時，圍成長為a米，寬為（50﹣）米的矩形菜園面積最大，最大面積為（）平方米．

24．（12.00分）如圖，D是△ABC外接圓上的動點，且B，D位于AC的兩側(cè)，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F．BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，F(xiàn)B的延長線交于點P，且PC=PB．
（1）求證：BG∥CD；
（2）設△ABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大?。?br>【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得：∠PCB=∠PBC，由四點共圓的性質(zhì)得：∠BAD+∠BCD=180°，從而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根據(jù)平行線的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直徑，從而得：∠ADC=∠AGB=90°，根據(jù)同位角相等可得結(jié)論；
（2）先證明四邊形BCDH是平行四邊形，得BC=DH，根據(jù)特殊的三角函數(shù)值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分兩種情況：
①當點O在DE的左側(cè)時，如圖2，作輔助線，構建直角三角形，由同弧所對的圓周角相等和互余的性質(zhì)得：∠AMD=∠ABD，則∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得結(jié)論；
②當點O在DE的右側(cè)時，如圖3，同理作輔助線，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四邊形BCDH是平行四邊形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=AC，
∴DH=AC，
①當點O在DE的左側(cè)時，如圖2，作直徑DM，連接AM、OH，則∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②當點O在DE的右側(cè)時，如圖3，作直徑DN，連接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
綜上所述，∠BDE的度數(shù)為20°或40°．

25．（14.00分）已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個內(nèi)角為60°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若MN與直線y=﹣2x平行，且M，N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，解決以下問題：
①求證：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的縱坐標的取值范圍．
【分析】（1）由A的坐標確定出c的值，根據(jù)已知不等式判斷出y1﹣y2＜0，可得出拋物線的增減性，確定出拋物線對稱軸為y軸，且開口向下，求出b的值，如圖1所示，可得三角形ABC為等邊三角形，確定出B的坐標，代入拋物線解析式即可；
（2）①設出點M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），由MN與已知直線平行，得到k值相同，表示出直線MN解析式，進而表示出ME，BE，NF，BF，求出tan∠MBE與tan∠NBF的值相等，進而得到BC為角平分線；
②三角形的外心即為三條垂直平分線的交點，得到y(tǒng)軸為BC的垂直平分線，設P為外心，利用勾股定理化簡PB2=PM2，確定出△MBC外心的縱坐標的取值范圍即可．
【解答】解：（1）∵拋物線過點A（0，2），
∴c=2，
當x1＜x2＜0時，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y(tǒng)1﹣y2＜0，
∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，
同理當x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b=0，
∵以O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點B，C，如圖1所示，
∴△ABC為等腰三角形，
∵△ABC中有一個角為60°，
∴△ABC為等邊三角形，且OC=OA=2，
設線段BC與y軸的交點為點D，則有BD=CD，且∠OBD=30°，
∴BD=OB?cs30°=，OD=OB?sin30°=1，
∵B在C的左側(cè)，
∴B的坐標為（﹣，﹣1），
∵B點在拋物線上，且c=2，b=0，
∴3a+2=﹣1，
解得：a=﹣1，
則拋物線解析式為y=﹣x2+2；
（2）①由（1）知，點M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），
∵MN與直線y=﹣2x平行，
∴設直線MN的解析式為y=﹣2x+m，則有﹣x12+2=﹣2x1+m，即m=﹣x12+2x1+2，
∴直線MN解析式為y=﹣2x﹣x12+2x1+2，
把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2，解得：x=x1或x=2﹣x1，
∴x2=2﹣x1，即y2=﹣（2﹣x1）2+2=﹣x12+4x1﹣10，
作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足為E，F(xiàn)，如圖2所示，
∵M，N位于直線BC的兩側(cè)，且y1＞y2，則y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣＜x1＜x2，
∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3，BE=x1﹣（﹣）=x1+，NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9，BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1，
在Rt△BEM中，tan∠MBE===﹣x1，
在Rt△BFN中，tan∠NBF=====﹣x1，
∵tan∠MBE=tan∠NBF，
∴∠MBE=∠NBF，
則BC平分∠MBN；
②∵y軸為BC的垂直平分線，
∴設△MBC的外心為P（0，y0），則PB=PM，即PB2=PM2，
根據(jù)勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2，
∵x12=2﹣y2，
∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2，即y0=y1﹣1，
由①得：﹣1＜y1≤2，
∴﹣＜y0≤0，
則△MBC的外心的縱坐標的取值范圍是﹣＜y0≤0．