?2017-2018學(xué)年湖北省黃石市大冶市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列是電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo)，屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（3分）成語(yǔ)“水中撈月”所描述的事件是（　?。?br /> A．必然事件 B．隨機(jī)事件 C．不可能事件 D．無(wú)法確定
3．（3分）反比例函數(shù)y=經(jīng)過(guò)（　?。┫笙蓿?br /> A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四
4．（3分）某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，計(jì)劃八、九月份共生產(chǎn)零件146萬(wàn)個(gè)，設(shè)八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是（　?。?br /> A．50（1+x）2=146 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=146
C．50（1+x）+50（1+x）2=146 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=146
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)邊形為（　?。?br /> A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=41 D．（x﹣6）2=41
6．（3分）已知⊙O的半徑是4，OP=3，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．不能確定
7．（3分）將拋物線y=x2向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（　?。?br /> A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1
8．（3分）已知扇形的弧長(zhǎng)為3πcm，半徑為6cm，則此扇形的圓心角為（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．（3分）如圖所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，王慧同學(xué)觀察得出了下面四條信息：
（1）b2﹣4ac＞0； （2）c＞﹣1； （3）2a+b＜0； （4）a+b+c＜0，其中正確的有（　?。來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
10．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線AD→DC→CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是x（s）時(shí)，△APQ的面積是y（cm2），則能夠反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ?。?br /> 12．（3分）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠COB=150°，則∠A=　 　度．

13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∠CDB=30°，CD=2，則陰影部分的面積為　 　．

14．（3分）如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=上，分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=　 　．

15．（3分）一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個(gè)黑球、4個(gè)白球和若干個(gè)紅球．每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4，由此可估計(jì)袋中約有紅球　 　個(gè)．
16．（3分）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a）．如圖，若曲線與此正方形的邊有交點(diǎn)，則a的取值范圍是　 ?。?br />
　
三、解答題（共72分）
17．（7分）計(jì)算：|﹣2|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣．
18．（7分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．
19．（7分）解不等式組：，把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，并寫(xiě)出這個(gè)不等式組的正整數(shù)解．

20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1﹣x2=4，求m的值．
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，求證：CD=HF．

22．（8分）某運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，甲、乙、丙三位同學(xué)參加乒乓球單打比賽，用抽簽的方式確定第一場(chǎng)比賽的人選．
（1）若已確定甲參加第一次比賽，求另一位選手恰好是乙同學(xué)的概率；
（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，寫(xiě)出參加第一場(chǎng)比賽選手的所有可能，并求選中乙、丙兩位同學(xué)參加第一場(chǎng)比賽的概率．
23．（8分）某公司在銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為10元的產(chǎn)品時(shí)，每年總支出為10萬(wàn)元（不含進(jìn)貨支出），經(jīng)過(guò)若干年銷(xiāo)售得知，年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）是銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，并得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：
銷(xiāo)售單價(jià)x（元）
12
14
16
18
年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）
7
6
5
4
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫(xiě)出該公司銷(xiāo)售這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)w（萬(wàn)元）關(guān)于銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)最大？
24．（9分）如圖1，我們定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，則把四邊形ABCD叫做互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形．
（1）如圖2，在等邊△ABE中，D、C分別是邊AE、BE的中點(diǎn)，連接CD，問(wèn)四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖3，在等腰△ABE中，四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，求證：∠ABD=∠BAC=∠AEB．
（3）如圖4，在非等腰△ABE中，若四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，試問(wèn)∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，連結(jié)AC，A（﹣1，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，求四邊形OCPB面積S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值；
（3）若M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線BC上，點(diǎn)N在直線BM上，Q，M，N三點(diǎn)構(gòu)成以MN為底邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

　

2017-2018學(xué)年湖北省黃石市大冶市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列是電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo)，屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；
B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
　
2．（3分）成語(yǔ)“水中撈月”所描述的事件是（　　）
A．必然事件 B．隨機(jī)事件 C．不可能事件 D．無(wú)法確定
【解答】解：水中撈月是不可能事件，
故選：C．
　
3．（3分）反比例函數(shù)y=經(jīng)過(guò)（　　）象限．
A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四
【解答】解：∵反比例函數(shù)y=中k=1＞0，
∴圖象在一三象限，
故選：A．
　
4．（3分）某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，計(jì)劃八、九月份共生產(chǎn)零件146萬(wàn)個(gè)，設(shè)八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是（　　）
A．50（1+x）2=146 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=146
C．50（1+x）+50（1+x）2=146 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=146
【解答】解：根據(jù)題意得：八月份生產(chǎn)零件為50（1+x）（萬(wàn)個(gè)）；九月份生產(chǎn)零件為50（1+x）2（萬(wàn)個(gè)），[來(lái)源:Z_xx_k.Com]
則x滿足的方程是50（1+x）+50（1+x）2=146，
故選：C．
　
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)邊形為（　?。?br /> A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=41 D．（x﹣6）2=41
【解答】解：x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=14，
（x﹣3）2=14．
故選：B．
　
6．（3分）已知⊙O的半徑是4，OP=3，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（　　）
A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．不能確定
【解答】解：∵OP=3＜4，故點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓內(nèi)．
故選：A．
　
7．（3分）將拋物線y=x2向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（　　）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1
【解答】解：將拋物線y=x2向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=（x﹣2）2+1．
故選：C．
　
8．（3分）已知扇形的弧長(zhǎng)為3πcm，半徑為6cm，則此扇形的圓心角為（　?。?br /> A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：解：∵l=，l=3πcm，r=6cm，
∴3π=，
解得n=90°．
故選：D．
　
9．（3分）如圖所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，王慧同學(xué)觀察得出了下面四條信息：
（1）b2﹣4ac＞0； （2）c＞﹣1； （3）2a+b＜0； （4）a+b+c＜0，其中正確的有（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【解答】解：由圖可知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，故（1）正確；
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，c）在（0，﹣1）的上方，
∴c＞﹣1，故（2）正確；
∵對(duì)稱(chēng)軸x=﹣＜1，且a＞0，
∴﹣b＜2a，則2a+b＞0，故（3）錯(cuò)誤；
由圖象知，當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0，故（4）正確；
故選：C．
　
10．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線AD→DC→CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是x（s）時(shí)，△APQ的面積是y（cm2），則能夠反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤x≤1，
y=?AP?AQ=?（2x）?x=x2；
當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1＜x≤3，
y=?AP?AD=?x?2=x；
當(dāng)點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，3＜x≤4，
y=?AP?CB=?x?（8﹣2x）=﹣x2+4x，
故選：A．
　
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是　（﹣1，3）?。?br /> 【解答】解：點(diǎn)P（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3），
故答案為：（﹣1，3）．
　
12．（3分）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠COB=150°，則∠A=　75　度．

【解答】解：∵OC=OB，∠COB=150°，
∴∠OBC=∠OCB=15°，
∴∠AOB=150°，
由圓周角定理得，∠A=∠AOB=75°，
故答案為：75．
　
13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∠CDB=30°，CD=2，則陰影部分的面積為　　．

【解答】解：連接OD．
∵CD⊥AB，[來(lái)源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]
∴CE=DE=CD=（垂徑定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圓周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD==，即陰影部分的面積為．
故答案為：．

　
14．（3分）如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=上，分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=　6?。?br />
【解答】解：∵點(diǎn)A、B是雙曲線y=上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，
則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個(gè)矩形的面積都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．
故答案為6．
　
15．（3分）一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個(gè)黑球、4個(gè)白球和若干個(gè)紅球．每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4，由此可估計(jì)袋中約有紅球　8　個(gè)．
【解答】解：由題意可得，
摸到黑球和白球的頻率之和為：1﹣0.4=0.6，
∴總的球數(shù)為：（8+4）÷0.6=20，
∴紅球有：20﹣（8+4）=8（個(gè)），
故答案為：8．
　
16．（3分）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a）．如圖，若曲線與此正方形的邊有交點(diǎn)，則a的取值范圍是　≤a?。?br />
【解答】解：∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a）．
根據(jù)題意C（a﹣1，a﹣1），
當(dāng)C在曲線時(shí)，則a﹣1=，
解得a=+1，
當(dāng)A在曲線時(shí)，則a=，
解得a=，
∴a的取值范圍是≤a．
故答案為≤a．
　
三、解答題（共72分）
17．（7分）計(jì)算：|﹣2|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣．
【解答】解：原式=2﹣+2﹣1﹣3
=﹣．
　
18．（7分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．
【解答】解：（+）÷
=
=
=，
當(dāng)x=﹣1時(shí)，原式=．
　
19．（7分）解不等式組：，把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，并寫(xiě)出這個(gè)不等式組的正整數(shù)解．

【解答】解：
解不等式①，得x＜4，
解不等式②，得x≥﹣2，
所以，原不等式組的解集是﹣2≤x＜4
在數(shù)軸上表示如下：
[來(lái)源:Z|xx|k.Com]
所以，原不等式組的正整數(shù)解是1，2，3．
　
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1﹣x2=4，求m的值．
【解答】解：
（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，即22﹣4[﹣（m﹣2）]≥0，解得m≥1；
（3）∵x1﹣x2=4，
∴2x1﹣（x1+x2）=4，
又由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=﹣2，
∴2x1+2=4，解得x1=1，
∴1+2﹣（m﹣2）=0，解得m=5．
　
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，求證：CD=HF．

【解答】證明：（1）如圖1，連接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圓O的直徑．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切線；

（2）如圖2，連結(jié)DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE與△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．


　
22．（8分）某運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，甲、乙、丙三位同學(xué)參加乒乓球單打比賽，用抽簽的方式確定第一場(chǎng)比賽的人選．
（1）若已確定甲參加第一次比賽，求另一位選手恰好是乙同學(xué)的概率；
（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，寫(xiě)出參加第一場(chǎng)比賽選手的所有可能，并求選中乙、丙兩位同學(xué)參加第一場(chǎng)比賽的概率．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，甲參加第一場(chǎng)比賽時(shí)，有（甲，乙）、（甲，丙）兩種可能，
∴另一位選手恰好是乙同學(xué)的概率；

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

所有可能出現(xiàn)的情況有6種，其中乙丙兩位同學(xué)參加第一場(chǎng)比賽的情況有2種，
∴選中乙、丙兩位同學(xué)參加第一場(chǎng)比賽的概率為=．
　
23．（8分）某公司在銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為10元的產(chǎn)品時(shí)，每年總支出為10萬(wàn)元（不含進(jìn)貨支出），經(jīng)過(guò)若干年銷(xiāo)售得知，年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）是銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，并得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：
銷(xiāo)售單價(jià)x（元）
12
14
16
18
年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）
7
6
5
4
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫(xiě)出該公司銷(xiāo)售這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)w（萬(wàn)元）關(guān)于銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)最大？
【解答】解：（1）設(shè)y=kx+b，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
則y=﹣x+13；

（2）∵該公司年利潤(rùn)w=（﹣x+13）（x﹣10）﹣10=﹣（x﹣18）2+22，
∴當(dāng)x=18時(shí)，該公司年利潤(rùn)最大，最大值為22萬(wàn)元．
　
24．（9分）如圖1，我們定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，則把四邊形ABCD叫做互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形．
（1）如圖2，在等邊△ABE中，D、C分別是邊AE、BE的中點(diǎn)，連接CD，問(wèn)四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖3，在等腰△ABE中，四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，求證：∠ABD=∠BAC=∠AEB．
（3）如圖4，在非等腰△ABE中，若四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，試問(wèn)∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，
理由：如圖2，∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=BE，
連接AC，BD，
∵點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，
∴BD⊥AE，
∴∠ADB=90°，
同理：∠BCA=90°，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°
∴四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形．

（2）∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，
∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，
同理：∠BAC=∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；

（3）仍然成立；
理由如下：如圖4所示：過(guò)點(diǎn)A、B分別作BD的延長(zhǎng)線與AC的垂線，垂足分別為G、F，
∵四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD和△BFC中，

∴△AGD≌△BFC，
∴AG=BF，
在△ABG和△BAF中，

∴△ABG≌△BAF，
∴∠ABD=∠BAC，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．


　
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，連結(jié)AC，A（﹣1，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，求四邊形OCPB面積S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值；
（3）若M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線BC上，點(diǎn)N在直線BM上，Q，M，N三點(diǎn)構(gòu)成以MN為底邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
當(dāng)y=0時(shí)，﹣x+3=0，
x=3，
∴B（3，0），
∵A（﹣1，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0， 3）代入得：3=a（0+1）（0﹣3），
∴a=﹣1，
∴y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；
（2）如圖1，過(guò)P作PE⊥x軸于E，
∵P（m，n），
∴OE=m，BE=3﹣m，PE=n，
S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BE?PE，
=m（n+3）+n（3﹣m），
=m+n，
∵n=﹣m2+2m+3，
∴S=m+（﹣m2+2m+3）=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，
當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4），
設(shè)直線BM的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：，
解得：，
∴直線BM的解析式為：y=﹣2x+6，
設(shè)N（a，﹣2a+6），Q（n，﹣n+3），
分兩種情況：
①當(dāng)N在射線MB上時(shí)，如圖2，
過(guò)Q作EF∥y軸，分別過(guò)M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，
∵△EQN是等腰直角三角形，
∴MQ=QN，∠MQN=90°，
∴∠EQM+∠FQN=90°，
∵∠EQM+∠EMQ=90°，
∴∠FQN=∠EMQ，
∵∠QEM=∠QFN=90°，
∴△EMQ≌△FQN，
∴EM=FQ，EQ=FN，
∴，
解得：，
當(dāng)a=2時(shí)，y=﹣2a+6=﹣2×2+6=2，
∴N（2，2），
②當(dāng)N在射線BM上時(shí)，如圖3，
同理作輔助線，得△ENQ≌△FQM，
∴EN=FQ，EQ=FM，
∴，
解得：，
∴N（﹣1，8），
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）或（﹣1，8）．

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