2022-2023學(xué)年湖北省黃石市大冶市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）用配方法解一元二次方程，下列變形中正確的是(    )A.  B.  C.  D. 下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B.
C. 且 D. 且如圖，在長為米，寬為米的矩形場(chǎng)地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為米，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D. 根據(jù)表格中二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值，可以判斷方程的一個(gè)解的范圍是(    ) A.  B.  C.  D. 對(duì)于二次函數(shù)，下列說法正確的是(    )A. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 B. 當(dāng)時(shí)，有最大值
C. 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D. 圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)將拋物線向左平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度，得到的拋物線的函數(shù)解析式為(    )A.  B.
C.  D. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到若點(diǎn)恰好落在邊上，且，則的度數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)均在上，是直徑且，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 已知二次函數(shù)、、為常數(shù)，且圖象的對(duì)稱軸為直線，其圖象如圖所示．則下列結(jié)論：；；若為任意實(shí)數(shù)，則有；當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，方程的兩根為，，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(    )A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共8小題，共28.0分）方程的根是______．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______．如果、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則______．如圖，是的直徑，弦，垂足為，如果，，那么線段的長為______ ．
 若拋物線與坐標(biāo)軸有個(gè)公共點(diǎn)，則的值是______ ．半徑為的中，弦，弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為______．點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是：______________ ．如圖，中，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，則的最小值是______．
  三、解答題（本大題共7小題，共62.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
解下列方程：
；
．本小題分
如圖，在和中，，，，且點(diǎn)在線段上，連．
求證：≌；
若，求的度數(shù)．
本小題分
如圖，利用函數(shù)的圖象，直接回答：
方程的解是______；
當(dāng)時(shí)，隨的增大而______；
當(dāng)滿足______時(shí)，函數(shù)值大于；
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．
本小題分
閱讀材料：
材料：若一元二次方程的兩根為、，則，．
材料：已知實(shí)數(shù)、滿足，，且，求的值．
解：由題知、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料，得，．
．
根據(jù)上述材料解決下面的問題：
一元二次方程的兩根為、，則，______；
已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值；
已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．本小題分
某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售價(jià)為元千克時(shí)，每天銷售量為千克當(dāng)產(chǎn)品的銷售價(jià)每千克漲元時(shí)每天銷售量會(huì)減少千克，設(shè)漲價(jià)元千克為正整數(shù)，每天銷售量為千克．
求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
該農(nóng)戶想要每天獲得元的銷售利潤，銷售價(jià)為多少？
每千克漲價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？本小題分
如圖，中，，于，于，，相交于點(diǎn)，以為圓心、為半徑的交于點(diǎn)、，已知，．
求證：是的切線；
求的半徑；
求弦的長．
本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．
求拋物線和直線的解析式；
直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)，重合，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；
設(shè)的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值是多少？

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故選：．
移項(xiàng)，配方，即可得出選項(xiàng)．
本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B.不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
本題考查了中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后和原圖形重合．
 3.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式的意義可得且，求出的取值范圍即可．
本題考查了一元二次方程為常數(shù)根的判別式當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．
【解答】
解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
且，
且，
且，
故選：．  4.【答案】 【解析】解：設(shè)道路的寬為米，則綠化的部分可合成長米，寬米的矩形，
依題意得：．
故選：．
設(shè)道路的寬為米，則綠化的部分可合成長米，寬米的矩形，根據(jù)綠化的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：觀察表格可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
方程為常數(shù)的一個(gè)解的范圍是．
故選：．
利用二次函數(shù)和一元二次方程的性質(zhì)求解．
本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到值由負(fù)變?yōu)檎龝r(shí)，自變量的取值即可．
 6.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象開口向下，
且當(dāng)時(shí)，有最大值．
當(dāng)時(shí)，，方程無解，則拋物線與軸沒有交點(diǎn)．
故選：．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)、、進(jìn)行判斷；通過解方程可對(duì)進(jìn)行判斷．
本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
 7.【答案】 【解析】解：將拋物線向左平移個(gè)單位長度所得拋物線解析式為：；
再向下平移個(gè)單位為：，即．
故選：．
根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由三角形的內(nèi)角和定理可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：連接，

，
，
是直徑且，
半徑，
由勾股定理得：，
故選：．
連接，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．
本題考查了圓周角定理和勾股定理，能熟記同弧所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的倍是解此題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：拋物線開口向上，
，
拋物線對(duì)稱軸為直線，
，
拋物線與軸交點(diǎn)在軸下方，
，
，正確；
拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
，正確；
由圖象可得時(shí)，取最小值，
，
，正確；
圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
在函數(shù)圖象上，
和是的兩個(gè)解，
，
，，
，錯(cuò)誤．
綜上，是正確的，
故選：．
由拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與軸交點(diǎn)位置可判斷，由拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷；由圖象可得時(shí)函數(shù)取最小值可判斷；由拋物線的對(duì)稱性及拋物線經(jīng)過可得方程的兩個(gè)解為，從而判斷．
本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
 11.【答案】， 【解析】解：，
，
，
，，
，，
故答案為：，．
移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中．
 12.【答案】 【解析】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為．
根據(jù)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為即可得到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
 13.【答案】 【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
、是一元二次方程的兩個(gè)根，
，
．
故答案為：．
先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則，于是原式可化簡為，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再利用整體代入的方法計(jì)算．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，也考查了一元二次方程的解．
 14.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了垂徑定理，勾股定理有關(guān)知識(shí)，連接，由直徑與弦垂直，根據(jù)垂徑定理得到為的中點(diǎn)，由的長求出的長，又由直徑的長求出半徑的長，在直角三角形中，由及的長，利用勾股定理即可求出的長．
解：如圖所示，連接．
弦，為圓的直徑，
為的中點(diǎn)，
又，
，
又，
，
，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得：，
，
則的長度為．  15.【答案】或 【解析】解：當(dāng)時(shí)，
拋物線和軸一定有交點(diǎn)，
故拋物線與坐標(biāo)軸有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則該拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
即，解得，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，該拋物線和坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；
故答案為或．
當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，該拋物線和坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即可求解．
本題考查的是拋物線與軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．
 16.【答案】或 【解析】解：設(shè)直徑于點(diǎn)，連接，，，，，如圖所示．
，為直徑，
．
在中，，，
，
，
，
，
．
同理，可得出，，
，．
故答案為：或．
設(shè)直徑于點(diǎn)，連接，，，，，利用垂徑定理可得出，的長，在中，通過勾股定理可求出的度數(shù)，利用圓周角定理可求出的度數(shù)，由和互余可求出的度數(shù)，同理可求出，的度數(shù)，進(jìn)而可得出弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)．
本題考查了垂徑定理、圓周角定理以及解直角三角形，通過解直角三角形及圓周角定理，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時(shí)考查了函數(shù)的對(duì)稱性及增減性．
根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)，其對(duì)稱軸為，圖象開口向下，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可判斷．
【解答】解：，
對(duì)稱軸為，
，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，
，
，
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
故，
故答案為  18.【答案】 【解析】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作交于，如圖：

，，
，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)，，，共線時(shí)，的值最小，最小值即為的長，
在中，，，
，，
，
，
故答案為：．
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作交的延長線于，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)，，，共線時(shí)，的值最小，最小值即為的長，解直角三角形求出即可．
本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題．
 19.【答案】解：，
，
則，
或，
解得，；
，
，
或，
解得，． 【解析】利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．
利用直接開平方法求解即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法．
 20.【答案】證明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
． 【解析】可利用證明結(jié)論；
由全等三角形的性質(zhì)可得，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解的度數(shù)，進(jìn)而可求可求解
本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】，  增大  或   【解析】解：由圖象可得，方程的解為，，
故答案為：，；
函數(shù)的對(duì)稱軸為，
又，開口向上，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；
故答案為：增大；
由函數(shù)圖象可得，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值大于，
故答案為：或；
由得，函數(shù)對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，即最小值為，
到對(duì)稱軸的距離為，到對(duì)稱軸的距離為，
，
時(shí)，函數(shù)值最大，為，
綜上：．
故答案為：．
根據(jù)函數(shù)圖象，可以得到方程的解；
根據(jù)函數(shù)圖象，可以寫出當(dāng)為何值時(shí)隨的增大而增大；
根據(jù)函數(shù)圖象可以寫出，當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)值大于；
根據(jù)函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合求解是關(guān)鍵．
 22.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩根為、，
，．
故答案為：；

，滿足，，
，可看作方程的兩實(shí)數(shù)根，
，．
；

設(shè)，代入化簡為，
則與即為方程的兩實(shí)數(shù)根，
，，
．
直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解；
利用、滿足的等式，可把、可看作方程的兩實(shí)數(shù)解，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再把分解得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算；
先設(shè)，代入化簡得到，根據(jù)與滿足的等式可把與即看作為方程的兩實(shí)數(shù)解，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再利用完全平方公式變形得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，以及代數(shù)式求值．此類題型的特點(diǎn)是：利用根與系數(shù)的關(guān)系以及方程解的定義找到相等關(guān)系，再把所求的代數(shù)式化簡后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．
 23.【答案】解：則由題意得：，
，
，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為，且為整數(shù)；
設(shè)利潤為元，
則由題意得：，
該農(nóng)戶想要每天獲得元的銷售利潤，
，
解得：，舍去，
銷售價(jià)為元，
農(nóng)戶想要每天獲得元的銷售利潤，銷售價(jià)為元；
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
每千克漲價(jià)元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是元． 【解析】根據(jù)當(dāng)產(chǎn)品的銷售價(jià)每千克漲元時(shí)每天銷售量會(huì)減少千克，進(jìn)行求解即可；
設(shè)利潤為元，則由可得每天銷售量為千克，每天的每千克的獲利為，由此可得，再把代入進(jìn)行求解即可；
由得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意找到關(guān)系式進(jìn)行求解．
 24.【答案】證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，
平分，
，，
半徑，
是的切線．
解：由勾股定理可得，，，
則，
由勾股定理可得：，
由題意可得：為中線，
，
由勾股定理可得：，
由可得，
，
∽，
，
即，
解得：，即半徑為．
解：連接，
由題意可得：，，
，
在中，
由勾股定理可得：，
，
在中，
由勾股定理可得：，
． 【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)得到即可；
利用勾股定理求得，從而得到，再由勾股定理求得，則，再由勾股定理得到，由∽得到，即可求解；
連接，求得，利用勾股定理得到，即可求解．
此題考查了圓的綜合應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線的判定，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：將、點(diǎn)、點(diǎn)代入拋物線解析式可得，解得，即拋物線為．
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)、點(diǎn)代入得解得，即直線的解析式為．
綜上：，．
解：由題意可得，拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)，
則，所以，
點(diǎn)，，點(diǎn)．
連接，如圖：

四邊形是平行四邊形，
，即，
化簡可得：，解得，舍去，
即，四邊形是平行四邊形；
連接、，如圖：

由題意可得：，
，
，開口向下，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，面積最大，為． 【解析】利用待定系數(shù)法求解析式即可；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，得到關(guān)于的方程，求解即可；由題意可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與幾何的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，正確求得解析式．
 

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