1．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6，求BC的長．
【點撥】構(gòu)造中心對稱圖形，把已知條件轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．
解：∵D是BC的中點，∴將△ABC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到△ECB，連接DE，如圖所示．易知A，D，E三點共線，且AE＝2AD＝12，EB＝AC＝13.在△ABE中，∵AB2＋AE2＝52＋122＝169，EB2＝132＝169，∴AB2＋AE2＝EB2.
2．如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求∠BPC的度數(shù)．
【點撥】利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出直角三角形和等邊三角形是解題的關鍵．
解：如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDA，連接PD.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB，∠DBP＝∠ABC＝60°，∴△BDP是等邊三角形．∴PD＝PB＝4，∠BDP＝60°.
∵AD2＋DP2＝32＋42＝25，PA2＝52＝25，∴AD2＋DP2＝PA2.∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°.∴∠ADB＝∠BDP＋∠ADP＝60°＋90°＝150°.∴∠BPC＝∠ADB＝150°.
4．【問題提出】如圖①，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四邊形ABCD的面積．【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．
(1)如圖②，連接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可將△DCB繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，則△BDB′的形狀是____________；
【點撥】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝B′D，∠BDB′＝60°，∠DAB′＝∠C.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°.∴∠BAD＋∠DAB′＝180°，即B，A，B′三點共線．∴△BDB′是等邊三角形．
(2)在(1)的基礎上，求四邊形ABCD的面積．
解：如圖②，連接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可將△BCD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△B′AD，連接BB′，過點B′作B′E⊥AB，交BA的延長線于E.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BCD≌△B′AD，∴S四邊形ABCD＝S四邊形BDB′A.∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BCD＋∠BAD＝360°－∠ABC－∠ADC＝360°－75°－60°＝225°.
∵∠B′AD＝∠BCD，∴∠B′AD＋∠BAD＝225°.∴∠BAB′＝360°－(∠B′AD＋∠BAD)＝360°－225°＝135°.∴∠B′AE＝180°－∠BAB′＝180°－135°＝45°.∴△B′EA是等腰直角三角形．

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